1、考點33 直線的位置關系（1）能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.（2）能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.（3）掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.一、兩條直線的位置關系斜截式一般式與相交 與垂直與平行且或與重合且注意：（1）當兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率不存在時的情況；（2）當兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況二、兩條直線的交點對于直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，與的交點坐標就是方程組的解（1）方程組有唯一解與相交，交點坐標就是方程組的解；（2）方程組無解；（3）方程組有無

2、數解與重合三、距離問題（1）平面上任意兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離|p1p2|（2）點p0(x0，y0)到直線l：axbyc0的距離d（3）兩條平行線axbyc10與axbyc20(c1c2)間的距離d四、對稱問題（1）中心對稱：點為點與的中點，中點坐標公式為（2）軸對稱：若點關于直線l的對稱點為，則考向一 兩直線平行與垂直的判斷及應用由兩直線平行或垂直求參數的值：在解這類問題時，一定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗答案的正確性，看是否出現增解或漏解.典例1 已知直線經過，兩點，直線的傾斜角為，那么

3、與a垂直b平行c重合d相交但不垂直【答案】a【解析】直線經過，兩點，直線的斜率：，直線的傾斜角為，直線的斜率，.故選a.典例2 若直線與直線互相平行，則的值為a4bc5d【答案】c【解析】直線的斜率為，在縱軸上的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸上的截距不等于，于是有且，解得，故選c【名師點睛】本題主要考查兩直線平行的充要條件，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于簡單題.直接根據兩直線平行的充要條件，列出關于的方程求解即可.1“”是“直線和直線垂直”的a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件2已知直線，（1）若，求實數的值；（2）當時，

4、求過直線與的交點，且與原點的距離為1的直線的方程.考向二 兩直線的相交問題1兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為點的坐標，即交點的坐標.2求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程，利用待定系數法求出直線方程，這樣能簡化解題過程.典例3 已知直線l經過直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點p，且垂直于直線2x+3y+5=0，求直線l的方程.【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即點p的坐標為(2,1),因為直線l與直線2x+3y+5=0垂直,所以直線

5、l的斜率為,由點斜式得直線l的方程為3x-2y-4=0.方法二：由,解得x=2y=1,即點p的坐標為(2,1)，因為直線l與直線2x+3y+5=0垂直，所以可設直線l的方程為3x-2y+c=0，把點p的坐標代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.故直線l的方程為3x-2y-4=0.方法三：直線l的方程可設為2x-y-3+(4x-3y-5)=0(其中為常數),即(2+4)x-(1+3)y-5-3=0,因為直線l與直線2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得=1.故直線l的方程為3x-2y-4=0.3當為何值時，直線與直線的交點在第一象限？考向三 距離問題

6、1.求兩點間的距離，關鍵是確定兩點的坐標，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等.2.解決點到直線的距離有關的問題，應熟記點到直線的距離公式，若已知點到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時必須討論斜率是否存在.3.求兩條平行線間的距離，要先將直線方程中x，y的對應項系數轉化成相等的形式，再利用距離公式求解.也可以轉化成點到直線的距離問題.典例4 （1）若點a(2，3)，b(4，5)到直線l的距離相等，且直線l過點p(1,2)，則直線l的方程為_；（2）若直線m被兩直線l1：xy10與l2：xy30所截得的線段的長為，則直線m的傾斜角( 為銳角)為_ 【答案】（1）x3y50或x

7、1；（2）15°或75°【解析】（1）方法一：當直線l的斜率不存在時，直線l：x1，點a，b到直線l的距離相等，符合題意當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20由題意知，即|3k1|3k3|，解得k直線l的方程為y2(x1)，即x3y50綜上，直線l的方程為x3y50或x1方法二：當abl時，有klkab，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50當l過ab的中點時，由ab的中點為(1,4)，得直線l的方程為x1綜上，直線l的方程為x3y50或x1（2）顯然直線l1l2，直線l1，l2之間的距離，設直線m與l1，l2分別相交于點b，a，則|ab|=

8、，過點a作直線l垂直于直線l1，垂足為c，則|ac|=d=，在中，sinabc=，所以abc=30°，又直線l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為45°30°=15°或45°+30°=75°，故直線m的傾斜角 =15°或75°4若直線與平行，則兩直線間的距離為abcd5已知點,點在直線上運動當最小時，點的坐標是abcd考向四 對稱問題解決對稱問題要抓住以下兩點：（1）已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；（2）以已知點和對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上典例5 已知直線l:3x-y+3=0,求:

9、（1）點p(4,5)關于直線l的對稱點的坐標;（2）直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程.【解析】設p(x,y)關于直線l:3x-y+3=0的對稱點為p'(x',y').kpp'·kl=1，·3=-1，又pp'的中點在直線3x-y+3=0上，3·-+3=0.聯立，解得.（1）把x=4,y=5代入,得x'=-2,y'=7,p(4,5)關于直線l的對稱點p'的坐標為(-2,7).（2）用分別代換x-y-2=0中的x,y，得關于l對稱的直線方程為，即7x+y+22=0.6與直線關于軸對稱的直線方程為a

10、bcd7已知點為直線上任意一點，則的取值范圍是abcd考向五 直線過定點問題求解含有參數的直線過定點問題，有兩種方法：（1）任給直線中的參數賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數直線所過的定點，從而問題得解.（2）分項整理，含參數的并為一項，不含參數的并為一項，整理成等號右邊為零的形式，然后令含參數的項和不含參數的項分別為零，解方程組所得的解即為所求定點.典例6 求證：不論m取什么實數，直線(2m1)x(m3)y(m11)0都經過一個定點，并求出這個定點的坐標【答案】詳見解析.【解析】證法一：對于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y11

11、0；令m1，得x4y100.解方程組得兩直線的交點為(2，3)將點(2，3)代入已知直線方程左邊，得(2m1)×2(m3)×(3)(m11)4m23m9m110.這表明不論m為什么實數，所給直線均經過定點(2，3)證法二：以m為未知數，整理為(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，所以，解得x2，y3.所以所給的直線不論m取什么實數，都經過定點(2，3)8已知點，點，直線l：（其中）（1）求直線l所經過的定點p的坐標；（2）若分別過a，b且斜率為的兩條平行直線截直線l所得線段的長為，求直線的方程1過兩直線3xy1=0與x2y7=0的交點且與第一條直線垂直的直線方

12、程是ax3y7=0 bx3y13=0c3xy7=0 d3xy5=02過點和點的直線與過點和點的直線的位置關系是a平行b重合c平行或重合d相交或重合3在平面直角坐標系內有兩個點，若在軸上存在點，使，則點的坐標是abcd或4直線與直線垂直，垂足為，則a bc d5若點到直線的距離為，則a bc d6若直線l1:y=k(x4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2過定點 a(0,4)b(0,2)c(2,4)d(4,2)7點p（-3，4）關于直線x+y-2=0的對稱點q的坐標是abcd8若三條直線，相交于同一點，則點到原點的距離的最小值為abcd9設直線與直線的交點為，分別為上任意兩點，點為的中點

13、，若，則的值為a bc d10設兩條直線的方程分別為，已知a，b是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是a， b，c， d，11已知點p(m,n)到點a(0,4)和b(-8,0)的距離相等,則(14)m+(12)n的最小值為a-3b3c16d412已知三條直線，不能構成三角形，則實數的取值集合為a bc d13已知直線：恒過點，直線：上有一動點，點的坐標為.當取得最小值時，點的坐標為abcd14若直線2x+ay-7=0與直線(a-3)x+y+4=0互相垂直，則實數a=        

14、60; .15若直線與直線關于直線對稱，則直線恒過定點_16已知實數x，y滿足5x12y60，則x2 y2的最小值等于_.17一張坐標紙對折一次后，點與點重疊，若點與點重疊，則_18設是函數圖象上的動點，當點到直線的距離最小時，_.19一條光線從)發出，到軸上的點后，經軸反射通過點，則反射光線所在直線的斜率為_20已知l1,l2是分別經過a(2,1),b(0,2)兩點的兩條平行直線,當l1,l2之間的距離最大時,直線l1的方程是          .21已知直線l1:x-2y+4=0與l2:x+y-2=0

15、相交于點p（1）求交點p的坐標；（2）設直線l3:3x-4y+5=0，分別求過點p且與直線l3平行和垂直的直線方程.22已知直線l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.（1）若l1l2，求實數a的值；（2）當l1/l2時，求直線l1與l2之間的距離.23在中，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求直線的方程.24光線通過點，在直線上反射，反射光線經過點.（1）求點關于直線對稱點的坐標；（2）求反射光線所在直線的一般式方程25已知直線，點.求：（1）直線關于直線的對稱直線的方程；（2）直線關于點對稱的直線的方程.26已知兩條直線l1:ax

16、-by+4=0和l2:(a-1)x+y-b=0.（1）若l1l2,且l1過點(-3,-1),求實數a,b的值.（2）是否存在實數a,b,使得l1l2,且坐標原點到這兩條直線的距離相等?并說明理由.27已知三條直線l1:2xy+a=0(a>0)，直線l2:4x2y1=0和直線l3:x+y1=0，且l1和l2的距離是.（1）求a的值.（2）能否找到一點p，使得p點同時滿足下列三個條件：p是第一象限的點；p點到l1的距離是p點到l2的距離的；p點到l1的距離與p點到l3的距離之比是?若能，求出p點坐標；若不能，請說明理由.變式拓展1【答案】a【解析】當時，直線的斜率為，直線的斜率為，則兩直線垂

17、直；當時，兩直線也垂直，所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件，故選a.【名師點睛】本題主要考查充分條件與必要條件，兩條直線垂直與斜率的關系，屬于簡單題.對直線位置關系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.2【解析】（1）因為，所以，故.（2）當時，即時，直線與的交點的坐標為，設過交點的直線為（當直線的斜率不存在時顯然不滿足距離為1的條件），根據點到直線的距離公式有：，解得.所以直線的方程為.3【解析】由得，即兩直線

18、的交點坐標為，解得：.4【答案】c【解析】由可得，解得，所以，則兩條平行直線與間的距離故選c5【答案】b【解析】因為點在直線上運動，所以設點的坐標為，由兩點間的距離公式可知：，顯然時，有最小值，最小值為，此時點的坐標是，故選b6【答案】a【解析】設對稱直線上的點為，則其關于軸的對稱點在直線上，所以，即，故選a7【答案】a【解析】當為坐標原點時，此時，為最小值.設關于對稱的點為，則：，解得，此時，又，得直線平行于，可知必構成三角形，即，綜上所述：.故選a.8【解析】（1）直線方程可化為：，由解得即直線l過定點.（2）由平行線的斜率為得其傾斜角為，又水平線段，所以兩平行線間的距離為，而直線被截線段

19、長為，所以被截線段與平行線所成的夾角為，即直線與兩平行線所成的夾角為，所以直線的傾斜角為或由（1），知直線l過定點，則所求直線為或【名師點睛】本題考查了直線方程過定點問題，平行線間的距離及夾角問題，主要是依據圖象判斷各條直線的位置關系，屬于中檔題.（1）根據直線過定點，化簡直線方程，得到關于的表達式，令系數與常數分別為0即可求得過定點的坐標.（2）根據平行線間的距離公式，求得平行線間的距離；由傾斜角與直線的夾角關系，求得直線的方程.考點沖關1【答案】b【解析】由，得，即交點為(1,4)第一條直線的斜率為3，且與所求直線垂直，所求直線的斜率為.由點斜式方程得所求直線方程是y4=(x1)，即x3y

20、13=0.2【答案】c【解析】由題意知：，當時，與沒有公共點，當時，與有公共點，與重合，與平行或重合.故選c.3【答案】d【解析】設，則，則，則：，解得：或，點的坐標為或.故選d.4【答案】b【解析】直線與直線垂直，直線即為將點的坐標代入上式可得，解得將點的坐標代入方程得，解得故選b【名師點睛】本題考查兩直線的位置關系及其應用，考查學生的應用意識及運算能力，解題的關鍵是靈活運用所學知識解題，即明確點是兩直線的交點根據兩直線垂直可得，然后將點的坐標代入直線可得，同理可得，于是可得的值5【答案】b【解析】由題意得.故選b.6【答案】b【解析】因為直線l1:y=k(x4)過定點(4,0)，所以原問題

21、轉化為求(4,0)關于(2,1)的對稱點.設直線l2過定點(x,y)，則，解得x=0,y=2.故直線l2過定點(0,2).7【答案】b【解析】設點p（-3，4）關于直線l：x+y-2=0的對稱點q的坐標為(x,y)，可得pq中點的坐標為（），利用對稱性可得：，且，解得：，y=5，點q的坐標為（-2，5）.故選b8【答案】a【解析】聯立，解得，三條直線，相交于同一點，則點到原點的距離的最小值為原點到直線的距離故選a9【答案】a【解析】根據題意畫出圖形，如圖所示：直線與直線的交點為，為的中點，若，則即解得故選a10【答案】a【解析】是方程的兩個實根，兩條直線之間的距離，兩條直線之間的距離的最大值和

22、最小值分別為，.故選a.【名師點睛】本題考查了平行線之間的距離的求法，函數的最值的求法，考查了計算能力，注意之間的關系，利用其關系進行轉化，屬于中檔題.11【答案】c【解析】因為點p(m,n)到點a(0,4)和b(-8,0)的距離相等,所以m2+(n-4)2=(m+8)2+n2,即2m+n=-6,又(14)m>0,(12)n>0,所以(14)m+(12)n2(14)m·(12)n=2(12)2m+n=2(12)-6=16,當且僅當2m+n=-6(14)m=(12)n,即2m=n=-3時取等號.12【答案】d【解析】因為三條直線，不能構成三角形，所以直線與或平行，或者直線過

23、與的交點，直線與，分別平行時，或，直線過與的交點時，所以實數的取值集合為.故選d.13【答案】c【解析】直線：，即，令，求得，可得該直線恒過點.直線：上有一動點，點的坐標為，故、都在直線：的上方點關于直線：的對稱點為，則直線的方程為，即.聯立，求得，可得當取得最小值時，點的坐標為故選c14【答案】2【解析】由題得，2(a-3)+a×1=0,解得a=2.故答案為2.15【答案】【解析】直線經過定點，點關于直線對稱的點為，點在直線上，即直線恒過定點，故答案為.16【答案】【解析】因為實數x，y滿足5x12y60，所以x2 y2表示原點到直線5x12y60上點的距離所以x2 y2的最小值表

24、示原點到直線5x12y60的距離容易計算，即所求x2 y2的最小值為601317【答案】 【解析】設線段的中點為，則點，則對折后,對折直線l的方程為;設直線的方程為，點在直線上，則直線的方程為;設直線與直線的交點為則解方程組得.即，則，.18【答案】【解析】是函數圖象上的動點，則點到直線的距離為 當時，取得最小值故答案為【名師點睛】本題考查了點到直線的距離公式應用問題，是基礎題由點到直線的距離公式求得的關系式，從而求得距離最小時n的值19【答案】2【解析】如圖所示：作點關于軸的對稱點，則點在直線上，由對稱性可知，則光線所在直線的斜率，故答案為.【名師點睛】本題考查的是反射定律，以鏡面反射為背景

25、的問題，實質就是對稱問題，求解這類問題一般要轉化為求對稱點的問題，判斷點在直線上，是解題的關鍵.20【答案】2x-y-3=0【解析】由平面幾何知識,得當l1ab時,l1,l2之間的距離最大.a(2,1),b(0,2),kab=-12,kl1=2.則直線l1的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.21【解析】（1）由 x-2y+4=0x+y-2=0 ，得x=0y=2  ， p(0,2).（2）與l3平行直線方程y-2=34x，即3x-4y+8=0.與l3垂直的直線方程y-2=-43x，即4x+3y-6=0.22【解析】（1）由l1l2知a+3(a-2)=0

26、，解得a=32.（2）當時，有a(a-2)-3=03a-(a-2)0,解得a=3，l1:3x+3y+1=0,l2:x+y+3=0，即l2:3x+3y+9=0，所求距離為d=|9-1|32+32=423.【名師點睛】本題考查直線與直線之間的位置關系.解答本題時要注意：（1）利用直線垂直，結合斜率之間的關系，建立方程，求解實數的值；（2）利用直線平行，確定參數的值，利用平行直線之間的距離公式，求值計算.23【解析】（1）邊上的高為，故直線的斜率為， 所以直線的方程為，即， 因為直線的方程為，所以 解得，所以.（2）設，由為中點，得的坐標為，則，解得， 所以，又因為，所以直線的方程為，即直線的方程為.24【解析】（1）設點關于直線l的對稱點為，則，解得，即點