1、第九節函數與方程最新考綱結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數1函數的零點(1)函數零點的定義對于函數yf(x)(xd)，把使f(x)0的實數x叫做函數yf(x)(xd)的零點(2)三個等價關系方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點(3)函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數yf(x)在區間a，b上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數yf(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2二次函數yax2bxc(a0)的圖

2、象與零點的關系000二次函數yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點零點個數210有關函數零點的三個結論(1)若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點(2)連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號(3)連續不斷的函數圖象通過零點時，函數值可能變號，也可能不變號一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點()(2)函數yf(x)在區間(a，b)內有零點(函數圖象連續不斷)，則f(a)·f(b)0.()(3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)

3、·f(b)0，則函數f(x)在a，b上有且只有一個零點()(4)二次函數yax2bxc在b24ac0時沒有零點()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1已知函數yf(x)的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表：x123456y124.4337424.536.7123.6則函數yf(x)在區間1,6上的零點至少有()a2個b3個c4個 d5個bf(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0，f(4)·f(5)0，故函數f(x)在區間1,6內至少有3個零點2函數f(x)ln x2x6的零點所在的區間是()a(0,1)

4、b(1,2)c(2,3) d(3,4)c由題意得f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，f(4)ln 486ln 420，f(x)的零點所在的區間為(2,3)3函數f(x)ex3x的零點個數是_1由已知得f(x)ex30，所以f(x)在r上單調遞增，又f(1)30，f(0)10，因此函數f(x)有且只有一個零點4函數f(x)x的零點個數為_1作函數y1x和y2的圖象如圖所示由圖象知函數f(x)有1個零點考點1函數零點所在區間的判定判斷函數零點所在區間的方法(1)解方程法，當對應方程易解時，可直接解方程；(2)零點存在性定理；(3)數形結合法，

5、畫出相應函數圖象，觀察與x軸交點來判斷，或轉化為兩個函數的圖象在所給區間上是否有交點來判斷1.函數f(x)ln x的零點所在的區間為()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)b由題意知函數f(x)是增函數，因為f(1)0，f(2)ln 2ln 2ln 0，所以函數f(x)的零點所在的區間是(1,2)故選b.2若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區間()a(a，b)和(b，c)內b(，a)和(a，b)內c(b，c)和(c，)內d(，a)和(c，)內aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(

6、cb)0，由函數零點存在性判定定理可知：在區間(a，b)(b，c)內分別存在一個零點；又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點，因此函數f(x)的兩個零點分別位于區間(a，b)，(b，c)內，故選a.3已知函數f(x)ln x2x6的零點在(kz)內，那么k_.5f(x)20，x(0，)，f(x)在x(0，)上單調遞增，且fln 10，f(3)ln 30，f(x)的零點在內，則整數k5.(1)f(a)·f(b)0是連續函數yf(x)在閉區間a，b上有零點的充分不必要條件(2)若函數f(x)在a，b上是單調函數，且f(x)的圖象連續不斷，則f(a)·f(b)0函數f(x)在區

7、間a，b上只有一個零點考點2函數零點個數的判斷求函數零點個數的基本解法(1)直接法，令f(x)0，在定義域范圍內有多少個解則有多少個零點；(2)定理法，利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；(3)圖象法，一般是把函數分拆為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數(1)(2019·全國卷)函數f(x)2sin xsin 2x在0,2的零點個數為()a2 b3c4 d5(2)函數f(x)的零點個數為()a0 b1c2 d3(3)設函數f(x)是定義在r上的奇函數，當x0時，f(x)exx3，則f(x)的零點個數為()a1 b2c3 d4(1)b(2)d(3)c(1

8、)由f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x·(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kz，又x0,2，x0，2，即零點有3個，故選b.(2)依題意，在考慮x0時可以畫出函數yln x與yx22x的圖象(如圖)，可知兩個函數的圖象有兩個交點，當x0時，函數f(x)2x1與x軸只有一個交點，綜上，函數f(x)有3個零點故選d.(3)因為函數f(x)是定義域為r的奇函數，所以f(0)0，即x0是函數f(x)的1個零點當x0時，令f(x)exx30，則exx3，分別畫出函數yex和yx3的圖象，如圖所示，兩函數圖象有1個交點，所以函數f(

9、x)有1個零點根據對稱性知，當x0時，函數f(x)也有1個零點綜上所述，f(x)的零點個數為3.(1)利用函數的零點存在性定理時，不僅要求函數的圖象在區間a，b上是連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(2)圖象法求函數零點個數的關鍵是正確畫出函數的圖象在畫函數的圖象時，常利用函數的性質，如周期性、對稱性等，同時還要注意函數定義域的限制1.函數f(x)2x|log0.5 x|1的零點個數為()a1 b2c3 d4b令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.設g(x)|log0.5x|，h(x)

10、.在同一坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖象，可以發現兩個函數圖象一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點故選b.2已知函數f(x)若f(0)2，f(1)1，則函數g(x)f(x)x的零點個數為_3依題意得由此解得由g(x)0得f(x)x0，該方程等價于或解得x2，解得x1或x2.因此，函數g(x)f(x)x的零點個數為3.考點3函數零點的應用根據函數零點的情況求參數的三種常用方法(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

11、象，然后數形結合求解根據函數零點個數求參數已知函數f(x)|x23x|，xr，若方程f(x)a|x1|0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是_(0,1)(9，)設y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐標系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的圖象如圖所示由圖可知f(x)a|x1|0有4個互異的實數根等價于y1|x23x|與y2a|x1|的圖象有4個不同的交點且4個交點的橫坐標都小于1，所以 有兩組不同解，消去y得x2(3a)xa0有兩個不等實根，所以(3a)24a0，即a210a90，解得a1或a9.又由圖象得a0，0a1或a9.由函數的零點個數求參數的值或范圍的策略已

12、知函數的零點個數，一般利用數形結合思想轉化為兩個函數圖象的交點個數，這時圖形一定要準確，這種數形結合的方法能夠幫助我們直觀解題根據函數有無零點求參數已知函數f(x)則使函數g(x)f(x)xm有零點的實數m的取值范圍是_(，0(1，)函數g(x)f(x)xm的零點就是方程f(x)xm的根，畫出h(x)f(x)x的大致圖象(圖略)觀察它與直線ym的交點，得知當m0或m1時，有交點，即函數g(x)f(x)xm有零點函數有無零點問題函數圖象與x軸有無公共點問題根據零點的范圍求參數若函數f(x)(m2)x2mx(2m1)的兩個零點分別在區間(1,0)和區間(1,2)內，則m的取值范圍是_依題意，結合函數f(x)的圖象分析可知m需滿足即解得m.此類問題多轉化為討論區間端點處函數值的符號求解1.函數f(x)2xa的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()a(1,3) b(1,2)c(