1、考點18 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.（3）會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，

2、有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).三、平面向量的坐標(biāo)運算1向量坐標(biāo)的求法（1）若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).（2）設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.2向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x

3、2，y2），則abx1y2x2y1=0.4向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，則aob=（0°180°）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作ab.考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用1應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的2應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要

4、條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等3用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運算（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達(dá)式.典例1 如圖所示，在中，與相交于點，設(shè)，.（1）試用向量，表示；（2）過點作直線，分別交線段，于點，.記，求證：為定值.【解析】（1）由，三點共線，可設(shè)，由，三點共線，可設(shè)，解得，.（2）由，三點共線，設(shè)，由（1）知，為定值.【名師點睛】

5、本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，以及平面向量的線性運算，其中根據(jù)三點共線，合理設(shè)出向量，列出方程組求解是解答本題的關(guān)鍵，同時要熟記向量的基本概念和基本的運算公式是解答向量問題的基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題1如圖，在中，分別為邊，上的點，且，相交于點，若，則a bc d考向二 平面向量的坐標(biāo)運算1向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)2解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.牢記：向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)

6、系兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的典例2 已知a(-3,0)，b(0,2)，o為坐標(biāo)原點，點c在aob內(nèi)，且aoc=45，設(shè)oc=oa+(1-)ob(r)，則的值為ab c d【答案】c【解析】aoc=45，設(shè)c(x,-x)，則oc=(x,-x)，又a(-3,0)，b(0,2)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算知oa+(1-)ob=(-3,2-2)，所以.故選c.典例3 已知，設(shè)，.（1）求；（2）求滿足的實數(shù)，.【解析】（1）由已知得，則.（2），.2把點按向量移到點，若（為坐標(biāo)原點），則點的坐標(biāo)為abcd考向三 向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在

7、求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為 ()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，則的充要條件是”解題比較方便3三點共線問題a，b，c三點共線等價于與共線4利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解.典例4 已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，ab=2e1+e2，be=e1+e2，ec=2e1+e2，且a,e,c三點共線.（1）求實數(shù)的值;（2）若e1=(2,1),e2=(2,2),求bc的坐標(biāo);（3）已知點d(3,5)，在（

8、2）的條件下，若a,b,c,d四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點a的坐標(biāo).【解析】（1）ae=ab+be=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2.a,e,c三點共線,存在實數(shù)k,使得ae=kec，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，即(1+2k)e1+(1+k)e2=0.e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,1+2k=0且1+k=0,解得k=,=.故實數(shù)的值為.（2）由（1）知,be=e1e2,則bc=be+ec=3e1e2=3(2,1)(2,2)=(6,3)(1,1)=(7,2).故bc的坐標(biāo)為(7,2).（3）a,b,c,d四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,ad=bc

9、.設(shè)a(x,y)，則ad=(3x,5y).由（2）知,bc=(7,2),解得,點a的坐標(biāo)為(10,7).3已知，若，則a bc d1在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)是a bc d2下列各組向量中，能作為平面上一組基底的是a， b，c， d，3已知，若，則點的坐標(biāo)為abcd4已知向量，若向量與向量平行，則實數(shù)a4 b2c4 d25在中，點在邊上，且，設(shè)，則abcd6已知向量，平面上任意向量都可以唯一地表示為，則實數(shù)的取值范圍是a bc d7已知在中，兩直角邊，是內(nèi)一點，且，設(shè)，則a bc3 d8在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，若點滿足,則_.9已知向量，若，則_10已知向量，若，則的值為_1

10、1如圖，在中，an=23nc，p是bn上一點，若ap=tab+13ac，則實數(shù)t的值為_12已知點，設(shè)向量.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量的坐標(biāo).13如圖，在平行四邊形中，是上一點，且.（1）求實數(shù)的值；（2）記，試用表示向量，.14已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.1（2019年高考全國ii卷文數(shù)）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a-b|=ab2c5d502（2017江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°若，則 3（2018新課標(biāo)全國文科）已知向量，若，則_4（2017年高考山東卷文數(shù)）已知向量a=

11、（2,6）,b= ,若,則_變式拓展1【答案】c【解析】設(shè)，則，因為，三點共線，所以，同理由，三點共線，得.所以，.所以.故選c【名師點睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決2【答案】c【解析】因為點按向量移動后得到點，所以，設(shè)，則,，又，所以，解得，所以.故選c.【名師點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)表示和運算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.3【答案】b【解析】，=（1，2）+（0，2）=（1，4），k=

12、8故選b【名師點睛】本題考查用向量坐標(biāo)來表示兩個向量平行的關(guān)系.解本題時，先求出，再由，能求出k=8考點沖關(guān)1【答案】d【解析】因為a(2，2)，b(1，1)，所以故選d2【答案】d【解析】對于a，向量共線，不能作為基底；對于b，零向量不能作為基底；對于c，向量共線，不能作為基底；對于d，向量不共線，可作為基底.故選d【名師點睛】本題考查了向量共線的判定、基底的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.注意只有兩向量不共線才可以作為基底，判定各組向量是否共線即可.3【答案】d【解析】設(shè)，則，根據(jù)得，即，解得，故選d4【答案】d【解析】由向量，得，則，向量與向量平行，得，故選d【

13、名師點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5【答案】a【解析】在中，因為，所以，又因為,所以，故選a6【答案】c【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示為，則向量，不共線，由，得，解得，即實數(shù)的取值范圍是故選7【答案】a【解析】如圖，以a為原點，以ab所在的直線為x軸，以ac所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則b點坐標(biāo)為（1，0），c點坐標(biāo)為（0，2），因為dab=60°，所以可設(shè)d點坐標(biāo)為（m，），則=（1，0）+（0，2）=（，2）=m，=，所以故選a【名師點睛】本題主要

14、考查平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出b、c點坐標(biāo)，由于dab=60°，可設(shè)d點坐標(biāo)為（m，），再由平面向量坐標(biāo)表示，即可求出和8【答案】【解析】因為，所以為的重心，故的坐標(biāo)為，即，故.9【答案】【解析】向量，且，解得， ，則，故答案為.【名師點睛】本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量的線性運算以及向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題.10【答案】2【解析】因為，所以.因為，所以.11【答案】16【解析】由題意知，ap=ab+bp=ab+mbn=ab+m(an-ab)=man+(1-m)ab，又an=23nc，所以an=25ac，ap=25mac+（1m）ab，又ap=ta

15、b+13ac，所以1-m=t25m=13，解得m=56，t=16，故答案為1612【解析】（1）由題得，又不共線，所以由平面向量的基本定理得.（2）由題得，所以.【名師點睛】本題考查了平面向量的線性運算與坐標(biāo)運算的問題，也考查了向量的相等問題以及解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題13【解析】（1）因為，所以，所以，因為三點共線，所以，所以.（2），.14【解析】（1）因為，所以，于是，當(dāng)時，與矛盾，所以，故，所以.（2）由知， ，即，從而，即，于是，又由知，所以或，因此或.直通高考1【答案】a【解析】由已知，所以，故選a.【名師點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能

16、力的考查由于對平面向量的坐標(biāo)運算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯2【答案】3【解析】由可得，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，所以【名師點睛】（1）向量的坐標(biāo)運算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題通過向量的坐標(biāo)運算，可將原問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問題的一般方法（3）向量的兩個作用：載體作用，關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題3【答案】【解析】由題可得，即，故答案為.【名師點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系