1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三講 全等三角形的相關(guān)模型【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn) 結(jié)論：（1）ABD AEC （2）+BOC=180° （3）OA平分BOC變形： 要點(diǎn)二：角平分線模型特點(diǎn)：由角平分線構(gòu)成了的兩個三角形。結(jié)論：（1）AFGAEG （2）FG=GE變形： 要點(diǎn)三：半角模型特點(diǎn)： 結(jié)論：（1）MN=BM+DN （2）CMN的周長=2AB （3）AM、AN分別平分BMN和DNM變形：要點(diǎn)四：等腰直角三角形模型1.在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：（1）將ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使ACMABD，從而

2、推出ADM為等腰直角三角形。（2）過點(diǎn)C作BCMC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論2.定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn)，動點(diǎn)在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等操作過程：連AD. （1）使BF=AE（或AF=CE），導(dǎo)出BDFADE（2）使EDF+BAC=180°，導(dǎo)出BDFADE3.將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖： 要點(diǎn)五：雙垂直模型特點(diǎn)：圖形中包含兩條垂線，且有一組邊或角相等。結(jié)論：若AD=BD,則BH=AC變形： 1=2，則AE=AF 1=2， BAP=DAP，則AE=AF，APCF要點(diǎn)六：三垂直模型特點(diǎn)：圖形中包含三條垂線，且有一組邊。結(jié)論：（1）ABEBCD （2） ED=AE-CD變形：要點(diǎn)七：全等三角形

3、問題中常見的輔助線的作法1.遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形。2.遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形。3.遇到角平分線：（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線；（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形；（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。以上利用的思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形。4.

4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5.截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6.已知某線段的垂直平分線，可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個端點(diǎn)作連線，形成一對全等三角形。7.在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。【典型例題】例1（手拉手模型）：如圖，點(diǎn)C 為線段AB 上一點(diǎn)，ABC、CDE 是等邊三角形，請你證明：

5、。（1）AD=BE （2）ACB=AOB （3）PCQ為等邊三角形 （4）PQAE （5）AP=BQ （6）CO平分AOE （7）OA=OB+OC （8）OE=OC+OD例2（角平分線模型）：如圖，已知1=2，3=4，求證：AP平分BAC。舉一反三：1、如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC，求證A+C=180°2、如圖，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：3、ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。例3（半角模型）：在正

6、方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN=BM +DN，求證：MAN=45°；CMN的周長=2AB；AM、AN分別平分BMN和DNM舉一反三：1、 在正方形ABCD中，已知MAN=45°，若M、N分別在邊CB、DC 的延長線上移動：試探究線段MN、BM 、DN之間的數(shù)量關(guān)系；求證：AB=AH. 2、在四邊形ABCD中，B+D=180°，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD且上，滿足EF=BE+DF.求證：例4（等腰直角三角形模型）： 等腰直角ABC中，BAC=90°，點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動，且MAN=45°，試探究BM、

7、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系。舉一反三：1、兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并證明你的結(jié)論。2.如圖，在等腰直角ABC中，AC=BC，ACB =90°，P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC，AP=AC。求證：BCP=15°例5(雙垂線模型)：如右圖，ABC中，ABC =45°，AC=4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長度為 。舉一反三：1、如圖14-1，在ABC中，BC邊在直線L上，ACBC,且AC=BC。EFP的邊

8、FP也在直線L上，邊EF與AC重合，且EF=FP.(1)猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線L向左平移至圖14-2的位置時，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP、BQ，則BQ與AP滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請猜想并證明；（3）將EFP沿直線L向左平移至圖14-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP、BQ，你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？例6（三垂線模型）：如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAC =90°，D為AC中點(diǎn)，AFBD于E，交BC于F，連接DF.求證：ADB=CDF. 舉一反三：1、 如圖所示，在AB

9、C中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，連接NF.求證：ADB=CDF； BM=AF+FN 2、如圖所示，在ABC中，AB=AC，AM=CN，AFBM于E，交BC于F，連接NF，并分別延長 BM和FN交于點(diǎn)P.求證：PM=PN； PBPF+AF【鞏固練習(xí)】1、 如圖，在四邊形ABCD中，B+D=180°，BC=CD，求證：AC平分BAD.2、如圖,ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF3、如圖所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，并且AB>

10、;AC。求證：BEAC=AE。4、如圖，D、E、F分別是ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，且DCE的面積與DBF的面積相等，求證：AD平分BAC。5、如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D， CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。6、如圖，在ABC中，BAC的角平分線AD交BC于D，且AB=AD, 作CMAD的延長線與M，求證：7、如圖，在ODC中，D=90°，CE是DCO的角平分線，且OECE，過點(diǎn)E作FFOC交OC于點(diǎn)F，猜想：線段OD與EE之間的關(guān)系，并證明 。8、如圖， BD、C E分別是ABC的外角平分線，過點(diǎn)A

11、作ADBD,AECE, 垂足分別是D、E，連接DE.求證：（1）DEBC，且（2）若BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線（如圖2），其他條件不變，則線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）若BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線（如圖3），則線段FG與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？9、如圖，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較 PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由。10.如圖，RtABC 中，AB=AC，BAC =90°，O為BC中點(diǎn)，若M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持AN=CM. （1）判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論. (2)當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？11. 在正方形ABCD中，BE=3 ，EF=5 ，DF=4 ，求BAE+DCF=?13. 如圖，在ABC中，AC=BC，ACB =2A