1、11.51.5函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性2內(nèi)容小結內(nèi)容小結一、一、 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點二、二、 連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的四則運算連續(xù)函數(shù)的四則運算連續(xù)函數(shù)的復合運算連續(xù)函數(shù)的復合運算三、三、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大最小值定理與有界性定理最大最小值定理與有界性定理零點定理與介值定理零點定理與介值定理31. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy 自變量自變量0 x稱差稱差0 xxx 為自變量在為自變量在, x0 x

2、的增量的增量;函數(shù)隨著從函數(shù)隨著從)(0 xf),(xf稱差稱差)()(00 xfxxf 為函數(shù)的為函數(shù)的增量增量. .如圖如圖:xxx 0一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf0 xxx 0)(xfy y )(0 xfx ) )( (xxf+0 0) )( (xxf+0 042.連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點0 x的某一領域內(nèi)有定義的某一領域內(nèi)有定義.定義定義1如果當自變量在點如果當自變量在點 的增量的增量 趨于零時趨于零時,0 xx 函數(shù)函數(shù))(xfy 對應的增量對應的增量y 也趨于零也趨于零, 即即0lim0

3、 yx或或, 0)()(lim000 xfxxfx則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在在 處處連續(xù)連續(xù),)(xf0 x0 x稱為稱為 的的連續(xù)點連續(xù)點.)(xf注注: 該定義表明該定義表明, 函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)特征是函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)特征是:自自變量變化很小時變量變化很小時, 對應的函數(shù)值的變化也很小對應的函數(shù)值的變化也很小.5,0 xxx 設設),()(0 xfxfy 0 x,0 xx 即為即為0 y).()(0 xfxf即為即為定義定義2 2若若),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x0處處連續(xù)連續(xù). .xyOxyO)(xfy 0 xxxx=+0 0 x y )(0 xf0

4、xxxx=+0 0)(xfy y )(0 xfx ) )( () )( (xfxxf=+0 0) )( () )( (xfxxf=+0 06連續(xù)定義的連續(xù)定義的f (x)在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3)(0 xf 三要素三要素: :)( , 0 定義定義3 3, 0 .)()(0 xfxf恒有恒有存在存在;極限與連續(xù)之間的關系極限與連續(xù)之間的關系: f (x)在在x0點連續(xù)點連續(xù) f (x)在在x0點存在極限點存在極限, 0時時使得當使得當 xx7例例 1試證函數(shù)試證函數(shù) 0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).

5、證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f),0()(lim0fxfx 由定義由定義2知，知，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù).8例例2 2 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解解)(lim1xfx 2 1 11 1 =) )( (f)(lim1xfx 處極限不存在處極限不存在.1)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以所以.1處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxyO19例例 3已知函數(shù)已知函數(shù) 0,20, 1)(2xbxxxxf在點在點0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 求求b的值的值.解解)(lim0 xf

6、x , 1 )(lim0 xfx , b 因為因為)(xf點點0 x處連續(xù)，處連續(xù)，則則 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即. 1 b)1(lim20 xx)2(lim0bxx ,)0(bf10例例4 4.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a1 1要要使使0 00 0=+) )( (l li im m) )( (l li im mxf

7、xfxx113.函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義定義3如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在點在點0 x處不連續(xù)處不連續(xù), ,則稱則稱)(xf在點在點0 x處間斷處間斷, , 稱點稱點0 x為為)(xf的間斷點的間斷點. .由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知, , 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在點在點0 x處滿足下列三個條件之一處滿足下列三個條件之一, ,則點則點0 x為為)(xf的間斷點的間斷點: :)()1(xf在點在點0 x處沒有定義處沒有定義;)(lim)2(0 xfxx不存在不存在;(3)在點在點0 x處處)(xf有定義有定義, ,且且)(lim0 xfxx存在存在, ,但但).()(

8、lim00 xfxfxx12各類間斷點圖示各類間斷點圖示可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點無窮型間斷點無窮型間斷點振蕩型間斷點振蕩型間斷點連續(xù)連續(xù)13例例6 6 , 0,1, 0,)(xxxxxf函函數(shù)數(shù)處處在在0)( xxf有定義有定義,0)(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx故故為為f (x)的間斷點的間斷點, 且是跳躍間斷點且是跳躍間斷點.xyO10 x)(lim)(lim00 xfxfxx14例例7 7.1, 1,11, 10, 1,2)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxxf討論討論解解, 2)(lim1xfx2)(lim1 xfx),

9、1(f 1 x為函數(shù)的間斷點為函數(shù)的間斷點. 且是可去間斷點且是可去間斷點., 2)1( f若令若令 , 1,1, 10,2)(xxxxxf則則連續(xù)連續(xù).1)1( fxyO112xy2 xy 1處處在在1 x, 2)(lim1xfx15,1112處沒有定義處沒有定義在點在點函數(shù)函數(shù) xxxy11lim21 xxx如如補充補充定義定義:, 2)1( f令令.1處處連連續(xù)續(xù)所所給給函函數(shù)數(shù)在在則則 x. 1稱為函數(shù)的可去間斷點稱為函數(shù)的可去間斷點所以所以 x.1不連續(xù)不連續(xù)所以函數(shù)在點所以函數(shù)在點 x如如 21lim1 xx但但xyO112可去間斷點只要可去間斷點只要改變或者補充改變或者補充間斷處

10、函數(shù)的定義間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.注注:16例例8 8,1)(xxf 函數(shù)函數(shù)xxf1)( 由于函數(shù)由于函數(shù)處處在在0)( xxf無定義無定義,0 x故故為為f(x)的間斷點的間斷點.)(lim0 xfx )(lim0 xfx 皆不存在皆不存在.且是且是無窮型間斷點無窮型間斷點., xyO17是函數(shù)的間斷點，是函數(shù)的間斷點，處沒有定義，所以點處沒有定義，所以點在在22 xxxytan9正切函數(shù)正切函數(shù)例例18例例1010 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函數(shù)函數(shù)處處在在0)( xxf有定義有定義,xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故為為f (

11、x)的間斷點的間斷點.且是且是振蕩型間斷點振蕩型間斷點.在在時時但但當當xx1sin,01 , 1 xy1sin 之間來回無窮次振蕩之間來回無窮次振蕩,xyO19o1x2x3xyx)(xfy 判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:20總結兩類間斷點總結兩類間斷點: :第一類間斷點第一類間斷點: 跳躍型跳躍型, ,第二類間斷點第二類間斷點: 無窮型無窮型, ,可去型可去型無窮次振蕩型無窮次振蕩型214.函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)若函數(shù)若函數(shù))(xf在在,(0 xa內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點在點0 x處處左連續(xù)左連續(xù);0 x

12、左連續(xù)左連續(xù) xyO0 x右連續(xù)右連續(xù) xyO若函數(shù)若函數(shù))(xf在在),0bx內(nèi)有定義內(nèi)有定義, , 且且)(lim0 xfxx ),(0 xf 則稱則稱)(xf在點在點0 x處處右連續(xù)右連續(xù). .22定理定理1 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù). .)(lim0 xfxx )(0 xf)(lim0 xfxx235. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間與連續(xù)區(qū)間上的上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). . 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函

13、數(shù), 稱為該區(qū)間稱為該區(qū)間,)(. , )(baCxfbaxf 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間這時也稱該區(qū)間為這時也稱該區(qū)間為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù), ,連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間. .在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點左端點ax 右端點右端點bx continuous左連續(xù)左連續(xù)),()(baCxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù))(xf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .24例例5 5.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos

14、( xx ),(sin xxy對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)),(cos xy)sin(xx xsin 都是連續(xù)的都是連續(xù)的.類似可證類似可證,是連續(xù)的是連續(xù)的.0lim0 yx122 x x 0 x 即即0lim0 yx 022sinxx 251.連續(xù)函數(shù)的四則運算連續(xù)函數(shù)的四則運算定理定理1若函數(shù)若函數(shù))(),(xgxf在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則則),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,在在,sin xxcos),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故,cossintanxxx ,sincosc

15、otxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .二、二、 連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算262.復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3設函數(shù)設函數(shù))(xu 在點在點0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且,)(00ux 而函數(shù)而函數(shù))(ufy 在點在點0uu 處連續(xù)處連續(xù),則復合函數(shù)則復合函數(shù))(xf 在點在點0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .例如例如, ,xu1 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)uysin 在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,函數(shù)函數(shù)xy1sin 在在), 0()0 ,( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .所以所以27注注: 根據(jù)這個定理根據(jù)這個定理

16、, 求復合函數(shù)求復合函數(shù))(xf 的極限的極限時時, 極限符號與函數(shù)符號極限符號與函數(shù)符號f可以交換次序可以交換次序,即即).(lim)(lim00 xfxfxxxx 例例10 xxxxxx1010)1(limln)1ln(lim. 1ln e求求.)1ln(lim10 xxx 解解283.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理4一切初級函數(shù)一切初級函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定理定理4的結論非常重要的結論非常重要, 因為微積分的研究對象主因為微積分的研究對象主函數(shù)基本上是初等函數(shù)函數(shù)基本上是初等函數(shù), 其連續(xù)性的條件總是滿足其連續(xù)性的條件總是滿足的的, 從而使微積

17、分具有強大的生命力和廣闊的應用從而使微積分具有強大的生命力和廣闊的應用前景前景. 此外此外,根據(jù)定理根據(jù)定理4, 求初等函數(shù)在其定義區(qū)求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限間內(nèi)某點的極限, 只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值即即 00)()(lim0 xxfxfxx定義區(qū)間定義區(qū)間).要是連續(xù)或分段連續(xù)的函數(shù)要是連續(xù)或分段連續(xù)的函數(shù). .而一般應用中遇到的而一般應用中遇到的29例例 11 求求.12lim2 xexx解解因為因為12)( xexfx是初等函數(shù)是初等函數(shù) , 且且20 x是其定義區(qū)間內(nèi)的點是其定義區(qū)間內(nèi)的點 , 所以所以12)( xexfx在點在點20 x處連續(xù)

18、處連續(xù) , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 30 小小值值上上必必能能取取得得最最大大值值和和最最在在則則上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若baxfbaxfy,三、三、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理5 (最值定理最值定理).,)(,)(上上有有界界在在則則上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設baxfbaxf定理定理631內(nèi)有解”內(nèi)有解”“閉區(qū)間連續(xù)則開區(qū)間“閉區(qū)間連續(xù)則開區(qū)間該定理可概括為該定理可概括為定理定理8 (介值定理介值定理)b12amMc 在在此此區(qū)區(qū)間間并并記記設設xfbaCxf, ,McmmM ，則對任意，則對任意和和上的最大最小值分別為上的最大最小值分別為 使使得得內(nèi)內(nèi)必必至至少少存存在在一一點點在在, ba cf 注注零值定理零值定理bamM32定理定理7 (零值定理零值定理)()(,)(bfafbaCxfy和和且且設設函函數(shù)數(shù) 使使得得則則至至少少存存在在一一點點即即異異號號),(),0)()(babfaf 0)( f注注1注注2 即即個個方方法法內(nèi)內(nèi)有有根根的的一一在在程程零零值值定定理理提提供供了了判判定定方方,0baxf baCfbfaf, 0 且且在在端端點點處處有有.,否則結論未必成立否則結論未必成立“連續(xù)于閉區(qū)間”“連