1、正弦函數圖象的對稱性【教學目標】1 使學生掌握正弦函數圖象的對稱性及其代數表示形式，理解誘導公式sin(p-x ) =sin x （ x ÎR）與 sin(2p-x ) =-sin x （ x ÎR）的幾何意義，體會正弦函數的對稱性 .2 在探究過程中滲透由具體到抽象，由特殊到一般以及數形結合的思想方 法，提高學生觀察、分析、抽象概括的能力.3 通過具體的探究活動，培養學生主動利用信息技術研究并解決數學問題 的能力，增強學生之間合作與交流的意識.【教學重點】正弦函數圖象的對稱性及其代數表示形式.【教學難點】用等式表示正弦函數圖象關于直線 x =p2對稱和關于點 (p,0)

2、對稱.【教學方法】教師啟發引導與學生自主探究相結合.【教學手段】計算機、圖形計算器（學生人手一臺）.【教學過程】一、復習引入1. 展示生活實例對稱在自然界中有著豐富多彩的顯現，各種對稱圖案、對稱符號也都十 分普遍（見下圖） .12 復習對稱概念初中我們已經學習過軸對稱圖形和中心對稱圖形的有關概念：軸對稱圖形將圖形沿一條直線折疊，直線兩側的部分能夠互相重合； 中心對稱圖形將圖形繞一個點旋轉 180 °，所得圖形與原圖形重合 . 3 作圖觀察請同學們用圖形計算器畫出正弦函數的圖象（見右圖），仔細觀察正弦曲線是否是對稱圖形？是軸對稱圖形還是中心對稱圖形？4 猜想圖形性質經過簡單交流后， 能

3、夠發現正弦曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形， 并能夠猜想出一部分對稱軸和對稱中心 .（教師點評并板書）如何檢驗猜想是否正確？我們知道， 誘導公式 sin( -x) =-sin x （ x ÎR），刻畫了正弦曲線關于原點對稱，而 cos( -x) =cos x （ x ÎR ），刻畫了余弦曲線關于 y 軸對稱 . 從這兩個特殊的例子中我們得到一些啟發，如果我們能夠用代數式表示所發現的對稱性， 就可以從代數上進行嚴格證明 .今天我們利用圖形計算器來研究正弦函數圖象的對稱性 .（板書課題） 二、探究新知分為兩個階段，第一階段師生共同探討正弦曲線的軸對稱性質，第二階 段學生自主探

4、索正弦曲線的中心對稱性質 .（一）對于正弦曲線軸對稱性的研究2第一階段，實例分析對正弦曲線關于直線 x =1直觀探索利用圖形計算器的繪圖功能進行 探索請同學們在同一坐標系中畫出正弦曲線和直線p2對稱的研究.x =p2的圖象，選擇恰當窗口并充分利用畫圖功能對問題進行探索研究（見右圖），在直線 x = 數值有什么變化規律？p2兩側正弦函給學生一定的時間操作、觀察、歸納、交流，最后得出猜想：當自變量在 x =p2左右對稱取值時，正弦函數值相等.從直觀上得到的猜想，需要從數值上進一步精確檢驗 . 2 數值檢驗利用圖形計算器的計算功能進行探索 請同學們思考，對于上述猜想如何取值進行檢驗呢?教師組織學生通

5、過合作的方式，對稱地在 x =p2左右自主選取適當的自變量，并計算函數值,對結果進行列表比較歸納.同時為沒有思路的學生準備參考表 格如下：xp2-2p2-1.5p p p-1 -0.52 2 2p p p p +0.5 +1 +1.52 2 2 2+2sin x給學生一定的時間進行思考、操作，根據情況進行指導并組織學生進行交流，然后請一組學生說明他們的研究過程 .學生可以采用不同的數據采集方法，得到 的結果如下列圖表（表格中函數值精確到 0.001）：3xp2-2p2-1.5p p p-1 -0.52 2 2p p p p +0.5 +1 +1.52 2 2 2+2sin x -0.416 0

6、.071 0.540 0.8781 0.878 0.540 0.071 -0.416 上述計算結果，初步檢驗了猜想，并可以把猜想用等式 sin(p2-x ) =sin(p2+x )（ x ÎR）表示.請同學們利用前面得到的數據，用圖形計算器描點畫圖（見下圖），然后進行觀察比較，思考點 P (p2-x, y ) 和 P (p2+x , y ) 在平面直角坐標系中有怎樣的位置關系？根據畫圖結果，可以看出，點 P (p2-x, y ) 和 P (p2+x , y ) 關于直線 x =p2對稱 . 這樣，正弦曲線關于直線x =p2p p對稱，可以用等式 s in( -x ) =s in( +

7、x )2 2（ x ÎR）表示.這樣的計算是有限的，并受到精確度的影響，還需要對等式進行嚴格證 明 .3嚴格證明證明等式 sin(p p -x ) =sin(2 2+x ) 對任意 x ÎR 恒成立請同學們思考，證明等式的基本方法有哪些？所要證的等式左右兩端有何特 征？有可能選用什么樣的公式？預案一：根據誘導公式 p+x ) .=sin(2sin(p-a)=sinp pa ，有 s in( -x ) =sinp-(2 2+x )4預 案 二 ： 根 據 公 式 sin( p ps i n -(x) =s i n +(x) .2 2p p -x ) =cos x 和 sin(

8、2 2+x ) =cos x ， 有預案三：根據正弦函數的定義，在平面直角坐標系中， 無論 a 取任何實數，角p2-a和p2+a的終邊總是關于 y 軸對稱（見右圖），他們的正弦值恒相等 .這樣我們就證明了等式 sin(p p -x ) =sin(2 2+x ) 對任意 x ÎR 恒成立，也就證明了正弦曲線關于直線 x =p2對稱.事實上，誘導公式 sin(p-x ) =sin x 也可以由等式 sin(p p -x ) =sin(2 2+x ) 推出，即這兩個等式是等價的 . 因此，正弦曲線關于直線 x = sin(p-x ) =sin x （ x ÎR）的幾何意義.p2對

9、稱，是誘導公式階段小結：我們從幾何直觀獲得啟發，又通過數據計算進一步檢驗，得出正弦曲線關于直線 x =p2對稱可以用等式 sin(p p -x ) =sin(2 2+x ) （ x ÎR ）表示，通過對這一等式的嚴格證明，證實了我們猜想的正確性 . 上述等式與誘導公式 sin(p-x ) =sin x （ x ÎR）的等價性，使我們對這一誘導公式有了新的理解.第二階段，抽象概括探索正弦曲線的其他對稱軸.師生、生生交流，步步深入.問題一：正弦曲線還有其他對稱軸嗎？有多少條對稱軸？對稱軸方程形式有 什么特點？可以發現，經過圖象最大值點和最小值點且垂直于 x 軸的直線都是正弦曲線

10、的對稱軸（教師利用課件演示），則對稱軸方程的一般形式為：x =p2+kp（k ÎZ）.問題二：能用等式表示“正弦曲線關于直線 x =5p2+kp（ k ÎZ）對稱”嗎？-根據前面的研究，上述對稱可以用等式 （ k ÎZ， x ÎR）表示.p ps in( +kp-x ) =s in( +kp+x ) 2 2請學生證明上述等式，然后組織學生交流證明思路.證 明 預 案 ： sin(p2+kp-x ) =sinp-(p p -kp+x ) =sin(2 2-kp+x )=sin2kp+(p p -kp+x ) =sin(2 2+kp+x ) .（二）對于正弦

11、曲線中心對稱性的研究我們已經知道正弦函數y =sin x （ x ÎR ）是奇函數，即 sin( -x) =-sin x（ x ÎR），反映在圖象上，正弦曲線關于原點對稱. 那么，正弦曲線還有其他對 稱中心嗎？請同學們參照軸對稱的研究方法，小組合作進行研究.第一階段，對正弦曲線關于點 (p,0) 對稱的研究.1 直觀探索從圖象上探索在點 (p,0) 兩側的函數值的變化規律.2數值檢驗在 x =p左右對稱地選取一組自變量，計算函數值并列表整理.3嚴格證明證明等式 sin(p-x ) =-sin(p+x ) 對任意 x ÎR 恒成立.預案一：根據誘導公式 sin(2p

12、-a) =-sin +x ) .=-sin(pa ，有sin(p-x ) =sin2p-(p+x)預 案 二 ： 根 據 誘 導 公 式 s inp s i np(-x) =-s i np(+x) .(-x ) =s i nx 和 sin(p+x ) =-sin x ， 有預案三：根據正弦函數的定義，在平面直角坐標系中，無論 a 取任何實數，角 p-a和 p+a的終邊總是關于 x 軸對稱（見右圖），他們的正弦值互為相反數 .事 實 上 ， 等 式 s in p(-x) =-s in p(+x) 與 誘 導 公 式ysin(2p-x ) =-sin x 是等價的 . 這樣，正弦曲線關于點 (p,

13、0) 對稱，是誘導公式sin(2p-x ) =-sin x （ x ÎR）的幾何意義.第二階段，探索正弦曲線的其它對稱中心.6O 1+x請同學嘗試解決下列三個問題：1 歸納正弦函數圖象對稱中心坐標的一般形式 .正弦函數圖象對稱中心坐標的一般形式為： 件演示）.( kp,0) （ k ÎZ ）（教師利用課2 用等式表示“正弦曲線關于點 ( kp,0) （ k ÎZ）對稱”.上述對稱可以用等式 sin( kp-x)=-sin( kp+x )（ k ÎZ， x ÎR）表示.3 證明歸納出的等式 . （根據課堂情況可以由學生課后完成證明）三、課堂小結1

14、課堂小結（1）知識上：得出了正弦函數圖象對稱軸方程和對稱中心坐標的一般形式， 研究了對稱性的代數表示形式，并利用誘導公式完成了嚴格的理論證明. 在研究的過程中，對誘導公式 sin(p-x ) =sin x 與 sin(2p-x ) =-sin x （ x ÎR）有了新的 理解，感受了正弦函數的對稱性以及數和形的辨證統一 .（2）方法上：直觀抽象，特殊一般，體驗了觀察歸納猜想嚴格 證明的研究方法.2 作業（1） 總結課上的研究過程和方法，嘗試研究余弦函數圖象的對稱性，并 結合自己的研究過程和結論寫出研究報告，與其他同學交流收獲 .（2） 找一個一般函數，如 y =a +sin x ，

15、a為常數且a ÎR，研究它的圖象及 對稱性；并與正弦函數的圖象及對稱性進行比較 .（3） 思考：如何用等式表示函數 f ( x ) 關于直線 x =a 對稱，以及關于點 ( a, b ) 對稱？（ 4）嘗試證明函數 y =1x的圖象分別關于直線 y =x 和直線 y =-x對稱 .【教學設計說明】1關于教學內容正弦函數和余弦函數的大部分性質是借助函數圖象進行研究的但是，在本 章第五節中，借助單位圓中的三角函數線已經研究了它們的四個重要性質，并歸7納為四組誘導公式，其中公式三、四、五分別刻畫了兩個函數圖象的一部分對稱 性，奇偶性只是特殊的對稱性 .因此，本課時以正弦函數為例補充研究圖象的對 稱性，從函數圖象的特征出發，引導學生利用計算器自主探索，并最終發現與誘 導公式的聯系. 通過本課時的教學，可以使學生在進一步掌握圖象特征的同時， 加深對正弦函數及其誘導公式的理解，既是對以前所學知識的梳理，也為后面進 一步學習和理解“由已知三角函數值求角”奠定基礎.2關于教學設計本課時我采用啟發引導與學生自主探索相結合的教學方法.在回顧舊知識的基礎上提出新的研究問題， 引導學生從形象思維逐步過度 到抽象思維，突破教學難點. 教學設計流