1、5.35.3 立體幾何大題立體幾何大題1.證明線線平行和線線垂直的常用方法(1)證明線線平行常用的方法:利用平行公理,即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行;利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換;利用三角形的中位線定理證線線平行;利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法:利用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質(zhì);勾股定理;線面垂直的性質(zhì):即要證兩直線垂直,只需證明一直線垂直于另一直線所在的平面即可,即l,ala.2.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為

2、證明線面垂直.(4)證明面面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.3.求幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體,可直接利用公式計(jì)算.對(duì)于某些三棱錐,有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體,可采用割補(bǔ)法求解.(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí),注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用.4.解決平面圖形的翻折問(wèn)題,關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變性,即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長(zhǎng)度、角度等的不變性.5 5. .3 3. .1 1 空間中的平行與幾何體的體積空間中的平行與幾何體的體積考向一考向二考向三平行關(guān)系的證明及求體積平

3、行關(guān)系的證明及求體積例1如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.考向一考向二考向三取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC, 又ADBC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.考向一考向二考向三(2)解 因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為 PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.考向一考向二考向三解題心得(1)證明平行關(guān)系,

4、首先考慮的方法是轉(zhuǎn)化法.若證明線面平行或面面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線線平行;若證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明線面平行或面面平行.若題目中已出現(xiàn)了中點(diǎn),可考慮在圖形中再取中點(diǎn),構(gòu)造中位線進(jìn)行證明.(2)求幾何體的體積也常用轉(zhuǎn)化法,如本例中求幾何體的高和求幾何體底面三角形的高.N到底面的距離轉(zhuǎn)化為P到底面距離的一半;M到BC的距離轉(zhuǎn)化為A到BC的距離.考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017全國(guó),文18)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.(1)證明:直線BC平面PAD;(2)若PCD的面積為2 ,求四棱錐P-ABCD的體

5、積.考向一考向二考向三(1)證明 在平面ABCD內(nèi),因?yàn)锽AD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)解 取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD,所以PMCM.考向一考向二考向三考向一考向二考向三等積法求高或距離等積法求高或距離例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面ABCD是菱形,且ABC=60,M

6、為PC的中點(diǎn).(1)求證:PCAD;(2)求點(diǎn)D到平面PAM的距離.考向一考向二考向三(1)證明 取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OC,AC,如圖,依題意可知PAD,ACD均為正三角形,所以O(shè)CAD,OPAD.又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC.又PC平面POC,所以PCAD.考向一考向二考向三(2)解 點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離.由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO為三棱錐P-ACD的高.考向一考向二考向三解題心得求棱錐的高或點(diǎn)到平面的距離常常利用同一個(gè)三棱錐變

7、換頂點(diǎn)及底面的位置,其體積相等的方法求解.考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2017陜西渭南二模,文19)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn).(1)證明:PFFD;(2)若PA=1,求點(diǎn)E到平面PFD的距離.考向一考向二考向三AD=2,DF2+AF2=AD2,DFAF.又PA平面ABCD,DFPA.又PAAF=A,DF平面PAF.又PF平面PAF,DFPF.(2)解 設(shè)點(diǎn)E到平面PFD的距離為h,考向一考向二考向三定義法求高或距離定義法求高或距離例3(2017全國(guó),文18改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中

8、,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為 ,求該四棱錐的高及四棱錐的側(cè)面積.解 (1)由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.考向一考向二考向三(2)在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD,所以PE為四棱錐P-ABCD的高.考向一考向二考向三解題心得求幾何體的高或點(diǎn)到平面的距離,經(jīng)常根據(jù)高或距離的定義在幾何體中作出高或要求的距離.其步驟為一作,二證,三求.如何作出點(diǎn)到平面的距離是關(guān)鍵,一般的方法是利用輔助面法,所作的輔助面一是要經(jīng)過(guò)該點(diǎn),二是要與所求點(diǎn)到平面的距離的平面垂直,這樣在輔助面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)作交線的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.考向一考向二考向三對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB平面AEC;考向一考向二