1、110 極限及其運算極限的概念及其滲透的思想，在數學中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.舊教材中原有的數列極限一直是歷年高考中重點考查的內容之一.本節內容主要是指導考生深入地理解極限的概念，并在此基礎上能正確熟練地進行有關極限的運算問題. 難點磁場( )求1122limnnnnnaa. 案例探究例 1已知limx(12xxaxb)=0,確定 a 與 b 的值 . 命題意圖：在數列與函數極限的運算法則中，都有應遵循的規則，也有可利用的規律，既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統掌握能力.屬級題目. 知識依托： 解決本題的閃光點是對式子進行有理化處理，這

2、是求極限中帶無理號的式子常用的一種方法. 錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯. 技巧與方法：有理化處理. 解：baxxxbaxxxbaxxxxx1)()1(lim)1(lim2222baxxxbxabxax1)1()21()1(lim2222要使上式極限存在，則1a2=0, 當 1a2=0 時，01)21(1)21(1111)21(lim1)1()21(lim22222aabaabaxbxxxbabbaxxxbxabxx由已知得上式01)21(012aaba解得211ba例 2設數列a1,a2,an,的前 n 項的和 sn和 an的關系是sn=1bannb)1(1,其

3、中b 是與 n 無關的常數，且b 1. (1)求 an和 an1的關系式；(2)寫出用 n 和 b 表示 an的表達式；(3)當 0b1 時，求極限limnsn. 命題意圖：歷年高考中多出現的題目是與數列的通項公式，前n 項和 sn等有緊密的聯系.有時題目是先依條件確定數列的通項公式再求極限，或先求出前n 項和 sn再求極限，本題考查學生的綜合能力.屬級題目. 111 知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關系. 錯解分析：本題難點是第(2)中由 (1)中的關系式猜想通項及n=1 與 n=2 時的式子不統一性. 技巧與方法：抓住第一步的遞推關系式，去尋找規律. 解： (1)an

4、=snsn1=b(anan1)1)1(1)1(1nnbb=b(anan1)+nbb)1(n2) 解得 an=11)1(1nnbbabb(n2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1)1(11)1(,111)2(bbabbbbbabbabbbbabbbbbbbabbbbbbbabbbbbabbbbabbabbasannnnnnnnnnnnnnn),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112bbbbbbbbbbb

5、bbbbasbnbbbbbbbbbannnnnnnnnnnnnnn.1lim,0)11(lim,0lim,10nnnnnnsbbb時錦囊妙計1.學好數列的極限的關鍵是真正從數列的項的變化趨勢理解數列極限. 學好函數的極限的關鍵是真正從函數值或圖象上點的變化趨勢理解函數極限. 2.運算法則中各個極限都應存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限. 3.注意在平時學習中積累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim,0)1(limaannnnn時當不存在時當時當lklklkbabxbxbaxaxallkkkn,0,lim

6、001110110112 殲滅難點訓練一、選擇題1.( )an是(1+x)n展開式中含x2的項的系數， 則)111(lim21nnaaa等于 ( ) a.2 b.0 c.1 d.1 2.( )若三數 a,1,c 成等差數列且a2,1,c2又成等比數列，則nncaca)(lim22的值是( ) a.0 b.1 c.0 或 1 d.不存在二、填空題3.( )(limxxxxn=_. 4.( )若)12(lim2nbnnan=1,則 ab 的值是 _. 三、解答題5.( )在數列 an 中，已知 a1=53,a2=10031,且數列 an+1101an 是公比為21的等比數列，數列 lg( an+1

7、21an 是公差為 1 的等差數列 . (1)求數列 an 的通項公式；(2)sn=a1+a2+an(n1),求limnsn. 6.( )設 f(x)是 x 的三次多項式， 已知axxfaxxfanan4)(lim2)(lim42=1,試求axxfn3)(lim的值 .(a 為非零常數 ). 7.( )已知數列 an, bn 都是由正數組成的等比數列，公式分別為p、 q,其中 pq,且 p1,q1,設 cn=an+bn,sn為數列 cn的前 n 項和，求1limnnnss的值 . 8.( )已知數列 an 是公差為 d 的等差數列， d0 且 a1=0,bn=2na(nn*),sn是 bn的前

8、 n 項和， tn=nnbs(n n*). (1)求 tn的通項公式；(2)當 d0 時，求limntn. 參考答案難點磁場113 )(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim22lim,2;41)2(221)2(lim22lim,22;1)2()2(11lim22lim,22:11111111111211111111為偶數為奇數時當時當時當時或當解nnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn殲滅難點訓練一、 1.解析：)111(21,2)1(c2nnannann

9、n，2)11(2lim)111(lim21naaannn答案： a 2.解析：6222,12222222cacacacacaca或得答案： c 二、 3.解析：xxxxxxxxxxxxxxlim)(lim.21111111lim23xxxx答案：214.解析：原式 =112)2(lim12)12(lim22222222222nbnnaananbanbnnabnnnann422120222babbaab=82答案： 82114 三、 5.解： (1)由an+1101an是公比為21的等比數列，且a1=53,a2=10031, an+1101an=(a2101a1)(21)n-1=(1003153

10、101)(21)n-1=1121)21(41nn, an+1=101an+121n又由數列 lg( an+121an) 是公差為 1 的等差數列，且首項lg(a221a1) =lg(100312153)=2, 其通項lg(an+121an)=2+(n1)(1)= (n+1), an+121an=10(n+1),即 an+1=21an+10(n+1) 聯立解得an=25(21)n+1(101)n+1(2)sn=)101()21(2511111nknkkknkka9111011)61(211)21(25lim22nns6.解：由于axxfax2)(lim2=1，可知， f(2a)=0 同理 f(4

11、a)=0 由可知f(x)必含有 (x2a)與(x4a)的因式，由于f(x)是 x 的三次多項式，故可設f(x)=a(x2a)(x4a)(x c),這里 a、c 均為待定的常數，,1)(4(lim2)(4)(2(lim,12)(lim222cxaxaaxcxaxaxaaxxfaxaxax即由1)2)(42(caaaa得,即 4a2a2aca= 1 同理，由于axxfax4)(lim4=1,得 a(4a 2a)(4ac)=1,即 8a2a2aca=1 由得c=3a,a=221a,因而 f(x)=221a(x2a)(x4a)(x3a), 21)(21)4)(2(21lim3)(lim2233aaaa

12、xaxaaxxfaxax1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7nnnnnnnnnnnnnqpbpqapbqaqpbpqapbqaqqbppaqqbppassqqbppas解由數列 an、bn都是由正數組成的等比數列，知p 0,q0 115 .01)1(00)1(01)(1(1)1()1()1()(1()1()1()1(lim)1()1()1()1()1()1()1()1(limlim111111111111111111111111ppqaqappqpbpqappbqapqpbqappbqapqpbpqapbqapqpbpqapbqasspnnnnnnnnnnnnnnn時當當 p1 時,q1,0limlimlimlim11nnnnnnnnqqpp1lim1nnnss8.解： (1