1、大連交通大學(xué)2015屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）外文翻譯估計(jì)鐵路軌道特性的概率方法摘要：由于鐵路網(wǎng)絡(luò)的退化和昂貴的維護(hù)費(fèi)用，當(dāng)今鐵路工程面臨著許多問題。再加上缺乏幾何知識(shí)和軌道的力學(xué)參數(shù)，鐵路的優(yōu)化維護(hù)管理變得很艱難。在這種背景下，本文提出一種新的方法分析鐵路軌道的特性。該方法結(jié)合了新的診斷設(shè)備，該設(shè)備能夠獲得許多重要的數(shù)據(jù)，從而得到幾何和力學(xué)參數(shù)以及基于非入侵式方法的統(tǒng)計(jì)量，并且該非入侵式方法能夠加上任何力學(xué)模型。對于研究參數(shù)（參數(shù)之間的相關(guān)性的分布和影響），許多結(jié)果都顯示了這種方法的可行性。在不久的將來，這種方法將會(huì)給鐵路管理人員帶來許多重要的信息，以便進(jìn)行優(yōu)化維護(hù)操作。關(guān)鍵詞：隨機(jī)有限元方法

2、、隨機(jī)配置、拉格朗日多項(xiàng)式、鐵路軌道1. 介紹在當(dāng)代計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域中，均認(rèn)為力學(xué)和幾何參數(shù)對數(shù)值模型有重要的影響。為了滿足這一要求，這有一種可行性：選擇一些特定情況下不定參數(shù)的特殊值（極值、均值）然后估計(jì)這些情況下相應(yīng)的力學(xué)響應(yīng)，最終就一個(gè)給定的破壞準(zhǔn)則而言，其保留了最不利的情況。這種策略通常在試驗(yàn)中使用，但是該策略非常值得商榷，因?yàn)樽畈焕闆r下的選擇是由一連串情況組合的，其中不自然地包含了所有可能的情況。最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q方案實(shí)際上是使用一種基于概率的策略方法（1-8）。在本文中，這種類型的策略，提出了對鐵路軌道特性的概率分析。鐵路工程正遭受著因鐵路網(wǎng)退化帶來的諸多問題，而這些鐵路網(wǎng)需要重要和昂貴的

3、維修工作。由排水問題，相對沉降、層退化帶來的鐵路受損和必要的維修措施造成了路基不同地層的非線性力學(xué)和幾何特征，所以提高軌道水平變得更加艱難。由于缺乏對這些非線性的了解，以及其對軌道行為可能帶來的后果，因此制定一個(gè)優(yōu)化的維護(hù)管理變得更加困難。因此，為了以逼真的方式描述動(dòng)力荷載作用下鐵路軌道的特性，有必要使用一種數(shù)值模型來分析力學(xué)和幾何參數(shù)的不確定性。在過去的幾十年，已經(jīng)利用了幾個(gè)基于有限元（FE）方法來研究鐵路軌道的整體與局部的特性（9）。為了考慮這個(gè)隨機(jī)不確定性，我們很自然想到利用隨機(jī)有限元法（SFE）（10-20）。本文選擇的解決方案是以分析不確定性傳播為目的，通過數(shù)值模型來描述軌道段的力學(xué)

4、特性。通過此方案，鐵路管理者就可以對不同的解決辦法進(jìn)行分析和比較。本文的結(jié)構(gòu)如下。第3節(jié)將涉及鐵路公司使用的診斷方法。特別是，對新設(shè)備曾經(jīng)記錄的力學(xué)和幾何數(shù)據(jù)進(jìn)行了描述。然后，提出了確定的有限元（FE）軌道模型。第4節(jié)的側(cè)重于不確定數(shù)據(jù)的概率模型建立和選擇概率方法中的控制變量。第5節(jié)提出SFE方法（基于隨機(jī)配置法）。第6節(jié)主要詳解一些針對鐵路問題的數(shù)值應(yīng)用程序（參數(shù)相關(guān)性的分布和影響、傳播的不確定性），最后在第7節(jié)我們可以從實(shí)際的角度通過鐵路管理者優(yōu)化維護(hù)得出的一些結(jié)論來詮釋這個(gè)方法。2.軌道不平順圖1.軌道結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)的鐵路軌道結(jié)構(gòu)是一個(gè)分層的系統(tǒng)（圖.1）。其組成部分包括道渣，底渣和路基土，并

5、且它們承受軌道、軌枕傳遞下來的荷載。道渣層（粉碎的巖石形成的粒狀材料）通過抵抗和消散軌枕傳遞下來的豎向、橫向和縱向力，來保持上層建筑在要求位置的結(jié)構(gòu)的完整。軌道結(jié)構(gòu)承載著通過輪軌接觸傳遞下來的移動(dòng)荷載。我們提醒大家關(guān)注這樣一個(gè)事實(shí):這個(gè)工作,我們不考慮軌道面的幾何形狀的不規(guī)則,這個(gè)參數(shù)我們進(jìn)行常規(guī)的測量和校正（打磨的鋼軌）。為了估計(jì)軌道質(zhì)量，需要定義傳統(tǒng)的不規(guī)則性測量。當(dāng)這些量超過允許的臨界值時(shí)，必須進(jìn)行維護(hù)操作。對于任何鐵路基建經(jīng)理，執(zhí)行養(yǎng)路工作都是是一項(xiàng)最重要的任務(wù)。這個(gè)任務(wù)需要定期隨訪幾何軌道質(zhì)量和執(zhí)行監(jiān)測干預(yù)。2.1、傳統(tǒng)的診斷方法 鐵路公司使用不同的設(shè)備監(jiān)察養(yǎng)路。對于法國鐵路管理器（

6、SNCF），主要是由Mauzin汽車（圖2）根據(jù)交通密度一年一次或一年幾次進(jìn)行跟蹤檢查。這輛車,它能夠獲得速度為200公里/小時(shí)的跟蹤測量數(shù)據(jù)。利用這些測量數(shù)據(jù), 幾個(gè)代表軌道幾何的軌道質(zhì)量指標(biāo)就可以計(jì)算出來（NL：縱向找平，NT：橫向水平，D：提高等）。縱向找平(NL)是由變量構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，它是在Mauzin車側(cè)輪中心垂直位移和所有相應(yīng)側(cè)輪22平均垂直位移之間，通過對一段200米的距離進(jìn)行每10厘米的測量方式得到的。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，使用的Mauzin車具有8車軸并且其速度為160公里/小時(shí)。此標(biāo)準(zhǔn)偏差被認(rèn)為是軌道和維護(hù)操作的一個(gè)劣化指標(biāo)，并且軌道和維護(hù)的運(yùn)行是根據(jù)這個(gè)指標(biāo)進(jìn)化編程操作

7、的。 一個(gè)使用軌道幾何測量和維護(hù)操作數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序稱為TIMON，目前在法國應(yīng)用。這個(gè)應(yīng)用程序演示了軌道的演變,提供了一個(gè)系統(tǒng)的隨訪和前瞻性分析。瑞典鐵路管理器（Banverket）使用滾動(dòng)剛度測量車輛（RSMV）。這種技術(shù)是基于軌道剛度的測量，它是用來標(biāo)記沿線鐵路需要進(jìn)行維護(hù)的位置。在英國，落錘彎彎沉儀（FWD）26：使用從測試中獲得的偏轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)，對軌道下部的彈性模量的值進(jìn)行估計(jì)。2.2、互補(bǔ)的診斷設(shè)備 對于鐵路結(jié)構(gòu)每個(gè)組件的或者可變性來說，之前提出的方法不能夠評(píng)估和分離物理力學(xué)特征。在過去的十幾年里軌道診斷工具的進(jìn)程已經(jīng)完成：幾個(gè)技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，來測量連續(xù)或定位點(diǎn)（26）。考慮到變異量雖

8、然是隨機(jī)的，但過程還是可能的。最近在工作中設(shè)備的測試及使用被提出。三種不同的設(shè)備在本研究中已被使用：地面穿透雷達(dá)（GPR），光動(dòng)針入度（Panda）和地緣內(nèi)鏡檢查。所述GPR是一種快速，非破壞性檢查裝置來估計(jì)鐵路軌道子結(jié)構(gòu)的完整性（27）。 如圖3所示,非接觸式測量裝置允許數(shù)據(jù)收集操作的速度。探地雷達(dá)提供連續(xù)top-ofrail子結(jié)構(gòu)層和厚度的測量（道砟，底砟，路基）。應(yīng)該注意到,測量水分含量和敏感材料密度。GPR也可能能夠從干凈的道砟中區(qū)別出結(jié)垢的道砟（27）。 光動(dòng)力觸探（Panda）（28、29）可以測量土的垂直方向的抗力。測試使用驅(qū)動(dòng)錐(2、4或10 平方厘米)且在最后一組棒使用錘子。

9、對于槌的每次打擊，滲透和沖擊能量的深度被記錄來計(jì)算動(dòng)態(tài)錐阻力（QD）與荷蘭式相應(yīng)的深度。與獲得原位測試標(biāo)準(zhǔn)比較，以前的研究已經(jīng)證明了結(jié)果的可靠性30。然后使用Buisman對土體模量進(jìn)行近似估計(jì)：第一錐形阻力涉及體側(cè)限壓縮彈性模量（）（31、32）而體側(cè)限壓縮彈性模量是與上述彈性模量（E）有關(guān)，具體如下： （1） 其中，取決于土壤性質(zhì)，是泊松比取等于0.3。為了使用這些相關(guān)性，就必須有一個(gè)土壤表征。這可以通過使用地緣內(nèi)鏡檢查來實(shí)現(xiàn)。地緣內(nèi)鏡檢查（33）由一個(gè)小相機(jī)（8.6毫米直徑），用于從與滲透試驗(yàn)（圖4）執(zhí)行的所述腔收集的圖像。該設(shè)備所允許的土壤聽診多達(dá)8米深。圖像處理后，就可以得到該結(jié)構(gòu)的

10、表征：厚度不同的層，土壤分類和材料氫氣的狀態(tài)。這些技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)包括在很短的時(shí)間內(nèi)能快速設(shè)置和執(zhí)行大量的測試，而且不會(huì)干擾土體。它們允許一個(gè)收集物理和鐵路結(jié)構(gòu)的不同層的機(jī)械特性和它們的變異性的評(píng)估。可以區(qū)分兩種變異：第一個(gè)是被鏈接到實(shí)驗(yàn)測量和第二個(gè)是所考慮的參數(shù)的空間變化。在這個(gè)初步研究，我們只專注于實(shí)驗(yàn)變異。2.3、現(xiàn)場測量統(tǒng)計(jì)分析 根據(jù)莫爾斯34和馬格南35，由于它們的性質(zhì)和所處的的環(huán)境，提供的土層特性可變性的一般估計(jì)變得困難。此外36表明，這種變化時(shí)常是具體到現(xiàn)場和物業(yè)分析。從原位測量進(jìn)行了4個(gè)不同的真實(shí)現(xiàn)場（2個(gè)位點(diǎn)上的高速軌道和2個(gè)位點(diǎn)上“經(jīng)典”軌道），鐵路平臺(tái)的各層的彈性模量的厚度和的

11、變異已經(jīng)表征。以這種方式，以下的策略已被通過：l 統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)l 通過使用2測試實(shí)驗(yàn)樣本的同質(zhì)性分析l 使用2和Kolmogorov-Smirnov測試樣品進(jìn)行充足性測試?yán)碚摲植挤治鰠?shù)之間的相關(guān)性 圖2.Mauzin車及實(shí)例記錄圖3.探地雷達(dá)測試設(shè)備用于軌道檢查(27)的例子圖4.Penetrometric（Panda型）試驗(yàn)和地緣內(nèi)鏡檢查原則圖5.直方圖（和厚度）圖6.詳細(xì)的有限元模型網(wǎng)格對于各層的各種部位突出的特性的分析，根據(jù)軌道和網(wǎng)站，而具有的機(jī)械特性大幅優(yōu)于其它層中間層的重要性的可變性。此外，參數(shù)之間的相關(guān)性的研究表明一個(gè)弱相關(guān)（通常小于50）。這種分析面臨著兩種類型的問題：l 第一個(gè)

12、被連接到的是經(jīng)常發(fā)生原位調(diào)查的數(shù)據(jù)樣本的異質(zhì)性l 為了提供對鐵路軌道參數(shù)的變異性的可靠描述，第二連接于樣品的尺寸必須包含至少80的測試，每個(gè)測試要具備50米的網(wǎng)格劃分。在均勻性已被證實(shí)的樣品中,充足的理論分布與對數(shù)正態(tài)分布證實(shí)了Magnan和Baghery關(guān)于的土壤特性研究的一致性。從這些結(jié)果可知，似乎是進(jìn)行該參數(shù)分布的敏感性分析和突出其對模型響應(yīng)的影響。3 確定性建模 鐵軌是一個(gè)異構(gòu)系統(tǒng)，它由填入垛鎮(zhèn)之間，固定的枕木支撐的的兩個(gè)鋼軌組成。而枕木由以路基為基礎(chǔ)，壓實(shí)的壓艙層所支撐。在過去幾十年來，幾個(gè)基于有限元（FE）數(shù)值方法，已經(jīng)提出了描述鐵路軌道的全局或局部行為。這些模型已經(jīng)開發(fā)了用于靜態(tài)

13、和/或動(dòng)態(tài)分析。對大多數(shù)這些模型中，軌道的垂直運(yùn)行狀況是研究的參數(shù)，而這些參數(shù)采用彈性或彈塑性本構(gòu)關(guān)系38。由于路基的屬性和參與測試的費(fèi)用的可變性，以建立一個(gè)適當(dāng)?shù)膹椥阅Ａ繛樵O(shè)計(jì)目的，對于從業(yè)者的經(jīng)驗(yàn)是個(gè)大挑戰(zhàn)。因此，路基模量可以從實(shí)驗(yàn)室測試來確定（修改樣品,耗時(shí)），如重復(fù)三軸試驗(yàn)或反算非破壞性測試的數(shù)據(jù)（39）。在這項(xiàng)研究中路基模量需要使Panda和地緣內(nèi)鏡測量，在第2.2節(jié)已經(jīng)獲得。3.1、有限元模型為了描述鐵路軌道的一部分的動(dòng)態(tài)，非線性有限元模型已被使用其一般形式如下： （2）有限元模型代表著部分的傳統(tǒng)鐵路，它由一個(gè)軌道構(gòu)成（UIC60），軌道墊，混凝土軌枕，以及四層使得軌道的構(gòu)成。對上

14、層建筑（鐵路枕木墊）和非壓實(shí)鎮(zhèn)流器層，要選擇彈性線性特性。因?yàn)閷号撐锖妥拥燃?jí)層為的不可逆轉(zhuǎn)的類型的重要性（子壓艙物，形式層和自然地）有彈性塑料利用使行為變強(qiáng)硬的線性類型被選擇。為了最大限度地減少參數(shù)的數(shù)量，則各成分的應(yīng)變硬化的模數(shù)（H）都從從彈性模量E推導(dǎo)而來。 邊界條件決定模型結(jié)果的有效性。傳統(tǒng)上,減少邊界錯(cuò)誤的方法是將邊界盡可能遠(yuǎn)離感興趣的區(qū)域。在這個(gè)實(shí)際研究中,支管和下邊界的正常位移被阻止，參數(shù)分析表明：模型長度約30米(50軌枕)可以限制側(cè)向邊界的影響。該部分的網(wǎng)格是由12792矩形線性單元和13577的節(jié)點(diǎn)（參照圖6）組成。行駛的火車被簡化為在3米長的距離上以160km/h的速度移

15、動(dòng)的兩對集中荷載（每對為85KN）圖7. 垂直加速度（G）和偏轉(zhuǎn)(m)20軌枕3.2、模型的驗(yàn)證 如前所述,大量的注意力被放到數(shù)值模擬的特定問題如模型的域的大小或FE離散等。在枕木42驗(yàn)證的Boussinesq的標(biāo)準(zhǔn)，鐵路偏轉(zhuǎn)靜載荷41和壓力下的再分配：首先，在靜態(tài)情況下的一些參數(shù)進(jìn)行了研究。然后，驗(yàn)證是在一個(gè)動(dòng)態(tài)上下文通過比較下枕木，以記錄在傳統(tǒng)的鐵路軌道43 ，并通過另一個(gè)代碼提供的結(jié)果實(shí)驗(yàn)值的垂直加速度和偏轉(zhuǎn)的數(shù)值（ Dynavoice 2.0 ）44 。作為說明，圖7示出該比較對于在20軌枕中間的垂直加速度和撓度。我們可以觀察到的有限元模型給出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。備注：具有彈塑性的四

16、層，這相當(dāng)于總元件的大致60，變得或多或少塑料在動(dòng)態(tài)加載期間依賴于隨機(jī)參數(shù)輸出的值。因此,我們發(fā)現(xiàn),對于一些參數(shù)設(shè)置,近一半的點(diǎn)的集成發(fā)展不可逆轉(zhuǎn)的應(yīng)變。4 概率模型這里所研究的量（厚度和楊氏模量）的變化可以從不同的觀點(diǎn)進(jìn)行研究。自然的方式來模擬他們是用隨機(jī)領(lǐng)域考慮到這些數(shù)量的空間變異，但難度在于對他們實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)特性的估計(jì)。因此，作為第一次嘗試，我們忽略這些量的空間變異性，所以我們仿照他們用隨機(jī)變量4.1、不確定參數(shù)建模對于本文的這項(xiàng)研究，有限元模型的不確定參數(shù)是四地層每個(gè)的厚度和楊氏模量而這四地層支持者著鐵路。這些參數(shù),分別用表示道砟, 表示底砟, 表示形式層，表示自然地層，并被隨機(jī)參數(shù)用下列

17、模型表示： （3）這個(gè)8維隨機(jī)向量Y=是的不確定參數(shù)的概率模型。其概率模型我們事先不知道。然而，來自實(shí)施Panda貫入現(xiàn)場測量結(jié)果和地緣內(nèi)鏡檢查的統(tǒng)計(jì)分析（見2.3節(jié)）表明：以下兩個(gè)假設(shè)都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合：l Y的某些組件是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的（見6.3節(jié)）l Y的每個(gè)組件遵循對數(shù)正態(tài)分布 這兩部分信息已經(jīng)考慮到這項(xiàng)研究中。但其他假設(shè)也被認(rèn)為是在與Y的邊緣分布連接（參見6.2節(jié)）。均值的實(shí)驗(yàn)值，的標(biāo)準(zhǔn)偏差和變異系數(shù),Y的各個(gè)成分列于表一。（確定性參數(shù)的值列于表2）變異系數(shù)的大的值，應(yīng)注意，這表明所考慮的隨機(jī)參數(shù)的極大散射。需要注意的是確定性微分方程（2）： （2）其中的功能是從 轉(zhuǎn)化為。例如：其中是一個(gè)

18、矢量包含一些不確定參數(shù)，而這些參數(shù)被用來構(gòu)建隨機(jī)變量的模型。隨機(jī)向量Y為y的概率模型。該解是一個(gè)實(shí)數(shù)確定的函數(shù)依賴于y值。因此當(dāng)y建模為Y時(shí)，這個(gè)函數(shù)變成一個(gè)值由隨機(jī)過程的表示。這個(gè)過程是與y的概率模型Y關(guān)聯(lián)q的概率模型。4.2、控制變量 控制變量是一個(gè)隨機(jī)變量M（通常標(biāo)量）與一個(gè)標(biāo)量或矢量觀察值 的反應(yīng)過程中，并且其起著控制中起重要作用的結(jié)構(gòu)的可靠性。因此，必須知道它的概率分布，或者至少它的一些統(tǒng)計(jì)特性，如平均值，方差，偏度，或峰度。目前學(xué)習(xí)中，要考慮四個(gè)控制變量： l 第25軌枕（幾何模型的中心）的偏轉(zhuǎn)在研究期間的最大值：l 第25軌枕最大的加速度： l 在幾何模型的中心的最大的軌道偏轉(zhuǎn)：

19、 l 整平指標(biāo)：定義為通過該變化構(gòu)成的數(shù)字樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，計(jì)算任意離散時(shí)間內(nèi)距離為50米的標(biāo)準(zhǔn)差，且該值在裝載模型的最外側(cè)輪的垂直位（簡化的Mauzin車，時(shí)速為160km/h,且在每一側(cè)有四個(gè)輪子）與四個(gè)相應(yīng)側(cè)輪的垂直位移的平均值之間進(jìn)行計(jì)算（注意：符號(hào)NL這個(gè)指示器與2.1節(jié)“實(shí)驗(yàn)”整平指示器NL不同，兩者的差異在于負(fù)載的數(shù)量和采樣的長度）。表1.平均值 的實(shí)驗(yàn)值，的標(biāo)準(zhǔn)偏差和的變異系數(shù)0.26m0.64m0.97m1.62m38.91MPa26.55MPa9.21MPa10.74MPa0.11m0.25m0.59m0.69m11.27MPa18.27MPa5.84MPa8.06MPa0.

20、420.390.610.430.290.690.630.75表2 確定性參數(shù)值楊氏模量（E）泊松比v厚度h體積的質(zhì)量非壓實(shí)道砟200.30.21m1300軌道20000000.3UIC60profile7850軌枕400.259000m900枕木300000.250.21m2400這些控制變量表示，如下所示： （6）被建議SFE方法非常適合于這些隨機(jī)變量的二階統(tǒng)計(jì)計(jì)算。5、提出SFE方法在隨機(jī)力學(xué)領(lǐng)域，主要使用兩大類數(shù)值方法：蒙特卡洛（MC）方法和隨機(jī)有限元（SFE）的方法。MC方法相關(guān)性非常明顯（46-59,6）。他們已經(jīng)流行了超過半世紀(jì)，在今天眾多科學(xué)領(lǐng)域起到參考方法的作用. 大約20年來

21、，無數(shù)使用SFE方法的作品見證了SFE方法巨大的進(jìn)步與成功。該方法屬于這一類的方法。假象一下計(jì)算與相應(yīng)過程有關(guān)的控制變量統(tǒng)計(jì)矩，它是一種基于隨機(jī)搭配程序旨在減少計(jì)算時(shí)間，同時(shí)確保結(jié)果的準(zhǔn)確性的方法。這樣的方法已被Baroth等人在靜態(tài)環(huán)境下使用（10）。有的方法被應(yīng)用于動(dòng)態(tài)環(huán)境下（12）。5.1、問題陳述在這個(gè)研究中考慮的一般問題的形式為： (6)其中是維的隨機(jī)過程，是一個(gè)維的隨機(jī)過程， 具有從 到 特定的功能。 是一個(gè)維隨機(jī)向量，并且均是整數(shù)值，如下這樣：，還有 是 的確定性元素。H是一個(gè)從的特定函數(shù)，其中被公式（5）所定義。g具有特定的功能即從到，其中“a.s.”含義為“幾乎可以肯定”。映

22、射矢量都是給定的。Y的概率分布是已知的。正如4.1節(jié)中提到的,這種隨機(jī)向量的概率模型是向量y收集的不確定參數(shù)的有限元模型結(jié)構(gòu)。功能和隨機(jī)過程的Q分別代表節(jié)點(diǎn)外激勵(lì)（假定這是確定性的）和該模型的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)位移；過程Z表示特定的隨機(jī)節(jié)點(diǎn)位移或感興趣的局部隨機(jī)力學(xué)量的研究，如應(yīng)變或應(yīng)力。公式（7）是SFE模型描述觀察Z的鐵路軌道的一個(gè)確定性激勵(lì)通過火車在軌道上運(yùn)行的誘導(dǎo)響應(yīng)Q的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)不確定參數(shù)集被建模為一個(gè)隨機(jī)向量y。該研究的目的,然后，給定Y，初始條件和確定性函數(shù)，以估計(jì)該過程Z的二階統(tǒng)計(jì)，這是它的平均值其相關(guān)函數(shù) ,其中 表示的數(shù)學(xué)期望。5.2、解決方法所提出的方法的第一步驟是重

23、寫方程（7）在一個(gè)高斯文章通過表達(dá)隨機(jī)向量Y作為p維標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，這個(gè)操作始終是可行的。事實(shí)上，如果 表示p維標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)向量，這總能找到一個(gè)正則變換T例如Y可以被表示為：。結(jié)果，設(shè)定 對于所有，這個(gè)問題可以如下方法解決： （8） 讓我們注意到，在系統(tǒng)（8）中反應(yīng)過程Q和觀測步驟Z取決于X.所以，我們可以這樣寫， 其中 和 是 分別轉(zhuǎn)化為確定映射，同時(shí) 。通過使用一個(gè)隨機(jī)搭配方法 可以解決問題（8）。這個(gè)方法是:對于中所有既定的t，都遵循近似的映射如下： （11） 其中 是的通用點(diǎn)，是p的正整數(shù)，是的向量，是與整數(shù)相關(guān)的配置點(diǎn)，還有X的概率密度函數(shù)（PDF）：通過以下公式給予： （12）同

24、時(shí)是根據(jù)該配置點(diǎn)的 階多項(xiàng)式拉格朗日函數(shù)。為了評(píng)估未知功能以下策略被使用：我們考慮確定性微分方程 （13） 確定性變量代替來源于系統(tǒng)（8）的兩個(gè)第一方程式。我們探索方程（13）的解： （14） 插入公式（14）帶入公式（13），然后設(shè)定 并且使用拉格朗日的特性值，我們獲得對于條件 每個(gè)函數(shù)的滿足方程： （15）其中,。一旦我解決了這些確定性微分方程，那么作用于的功能就被知道，同時(shí)公式（11）就近似完全被制定。使用這個(gè)結(jié)果和公式（10），那么我們可以近似線性映射G如下： （16） 其中被公式（11）確定。映射 近似依次如下： （17）其中是的向量，并且通過公式（17）在配置點(diǎn)下計(jì)算出。還有使用特

25、性，我們獲得： （18）同時(shí)為公式（15）的一個(gè)解。 通過公式（9），（16），（17）和公式（18），過程能用過程近似代替，如下： （19）其結(jié)果是，平均 和Z的相關(guān)函數(shù)的可以近似由下式表示： （20） （21） 在這里有 是與配置點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的權(quán)重，相對于的坐標(biāo)值。這些點(diǎn)是高斯 - 埃爾米特多項(xiàng)式的根和關(guān)聯(lián)的權(quán)重線性系統(tǒng)的解： （22）備注：（二階特征與Z相關(guān)的控制變量）一旦知道Z的近似(19),很容易地按照這個(gè)步驟估計(jì)任何與Z相關(guān)的控制的二階統(tǒng)計(jì)變量。作為一個(gè)例子，我們假設(shè)，（因此，g是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)和Z是一個(gè)標(biāo)量過程）并且考慮下面的標(biāo)量控制變量： （23）其中T是公式（19）中的一個(gè)給定的時(shí)

26、間間隙，使用配點(diǎn)法可以很容易證明（12）中均值和方差能近似通過下算式得出：（24） （25） （26） （27） （28）6 數(shù)值應(yīng)用程序本節(jié)的目的是要提出一個(gè)第一次使用隨機(jī)配置法的鐵路軌道的問題。如上所述，配置法的優(yōu)點(diǎn)之一在于該方法是非侵入性;這一點(diǎn)上，結(jié)合Cast3m（gibiane）的內(nèi)部的語言，允許在新的程序形式下一個(gè)簡單方法的實(shí)施，而這一程序與大多數(shù)工業(yè)軟件程序不大相同。第一個(gè)應(yīng)用程序問題是確定最優(yōu)數(shù)量的搭配點(diǎn)(收斂性研究)。然后我們估計(jì)對輸入?yún)?shù)的統(tǒng)計(jì)分布的影響，以及在第三段輸入變量之間的相關(guān)性。然后我們建議，以便估計(jì)該問題的不同參數(shù)的散射的影響的不確定性傳播解析。圖8. 相對于M

27、C模擬次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（左）和平均值（右）的參數(shù)估計(jì)的收斂情況圖9. 相對于配置點(diǎn)的數(shù)目的標(biāo)準(zhǔn)差（左）和平均值（右）的參數(shù)估計(jì)6.1、數(shù)值收斂研究所提出的SFE方法相對于配置點(diǎn)的數(shù)目的數(shù)值收斂在靜態(tài)情況下對一些機(jī)械非線性問題已經(jīng)被（10-11）等人研究。此處給出的結(jié)果涉及本文所考慮的非線性動(dòng)力學(xué)問題和在下述條件下已得到:l 只有一個(gè)隨機(jī)參數(shù)考慮：壓載厚度l 這隨機(jī)變量遵循對數(shù)正態(tài)分布具有均值，并在表1中給出標(biāo)準(zhǔn)偏差 l 其他不確定參（數(shù)被假定為確定的和等于其在表1中給出平均值l 所考慮的控制變量是軌枕偏轉(zhuǎn) 中l(wèi) 七個(gè)值被認(rèn)為是搭配點(diǎn)的數(shù)量： l 通過平均值和標(biāo)準(zhǔn)差 研究數(shù)值收斂，通過使用蒙特卡洛（

28、MC）的方法可以得到的目標(biāo)值。圖8展示了關(guān)系的曲線圖，其中是MC模擬次數(shù).從中我們可以得到一個(gè)滿意的收斂，對于，值分別為和。 這些值視為“確切”值，雖然樣品的數(shù)量是低于這種計(jì)算的：它應(yīng)當(dāng)注意到，這樣的計(jì)算是很費(fèi)時(shí)（約40分鐘的CPU時(shí)間為一個(gè)確定性的計(jì)算）。圖9顯示了圖片函數(shù)為。我們能夠觀察到，從4個(gè)配置點(diǎn)來看，觀察到的數(shù)量的變化都是圍繞水平線代表蒙特卡羅模擬的結(jié)果小。必須指出,正如前面提到的,這些值不是絕對引用,因?yàn)樯倭康拿商乜_模擬計(jì)算成本。更完整的研究中，各隨機(jī)參數(shù)已先行單獨(dú)考慮，那么，所有的隨機(jī)參數(shù)已經(jīng)考慮在一起，導(dǎo)致了同樣的結(jié)論。這就是為什么所有的其它數(shù)值的應(yīng)用已經(jīng)取為。 作為一個(gè)例

29、子，表3比較了SFE模型（帶有4個(gè)配置點(diǎn)）和控制變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差通過MC模型兩者得到的結(jié)果。從這些結(jié)果,我們可以先說,控制變量的變異系數(shù)比較小(從1%到5%)，除了(18%)。表3通過SFE和對于控制變量的蒙特卡洛方法模型得出的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差提出的方法（4配置點(diǎn)）蒙特卡洛法0.002320m0.000026m0.002320m0.000023m0.002581m0.000038m0.002580m0.0000440m0.000226m0.0000114m0.000225m0.0000112m就所提出的SFE模型而言，我們能看到其結(jié)果與通過蒙特卡羅模型得到的結(jié)果是一致的，其中平均值得相對誤差

30、從0%至0.44%；對于標(biāo)準(zhǔn)偏差的相對誤差（1.78%至14%）除了值為44%，尤為重要：在控制變量與重要的波動(dòng)情況下，這一重要價(jià)值與數(shù)量太小的搭配點(diǎn)有關(guān)（這些通過在5配置點(diǎn)下相對誤差減少到15%這一事實(shí)得到證實(shí)）。此外，只需4個(gè)調(diào)用有限元程序（一個(gè)調(diào)用可以對應(yīng)每一個(gè)配置點(diǎn)），該方法比蒙特卡羅方法（其方法需要調(diào)用1000個(gè)有限元方程）更節(jié)省時(shí)間。節(jié)省時(shí)間對于所提出的方法具有很大的優(yōu)勢。6.2、對隨機(jī)參數(shù)的分布的影響 在本節(jié)中我們通過一個(gè)簡單的例子，說明了Y在控制變量上分布的影響。事實(shí)上，我們已經(jīng)知道在第2.3節(jié)知道來自實(shí)驗(yàn)測量的統(tǒng)計(jì)信息難以解釋的，這似乎對于估計(jì)分布性質(zhì)的研究方法的靈密度是重要

31、的。所采用的條件如下：只有隨機(jī)參數(shù)被考慮。其他的隨機(jī)參數(shù)被認(rèn)為是確定的并且等于表1中的平均值。因此，。隨機(jī)變量的是相互獨(dú)立的。所考慮的控制變量是軌枕偏轉(zhuǎn)。上Y的分布影響作用是通過的分布量和其平均值被研究的，它的標(biāo)準(zhǔn)差，它的偏斜度 ，它的峰度，其中是的k階中心矩。 對于Y要考慮4個(gè)分布量：一個(gè)均勻分布，一個(gè)高斯分布，一個(gè)對數(shù)正態(tài)分布和一個(gè)截止分（2）。注意，這個(gè)假設(shè)是等價(jià)的，既然Y的各個(gè)部分是相互獨(dú)立的，對于下面這一條：Y的所有組成部分都依次遵循一個(gè)均勻分布，一個(gè)高斯分布，一個(gè)對數(shù)正態(tài)分布和一個(gè)截止分布。在截尾對數(shù)正態(tài)分布的情況下，兩個(gè)替代公式被認(rèn)為是這種分布支持體S（Y）的兩個(gè)選擇：替代公式1

32、： （29）代替公式2： （30） 其中是Y的組成的標(biāo)準(zhǔn)差、或者分別構(gòu)成與替代公式1（公式2）相關(guān)的截尾正態(tài)分布。平均值值和的標(biāo)準(zhǔn)差列在表1中，其中。我們注意下：因?yàn)榈母鞑糠质窍嗷オ?dú)立的，所以轉(zhuǎn)換量在第5.2節(jié)采取特殊形式： （31）其中是標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量的四維列向量。（因此，隨機(jī)變量的是隨機(jī)獨(dú)立的，且每個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量的列向量）。是第個(gè)坐標(biāo)值，是的映射，其中是分布的支持量。對于每個(gè)所要考慮的分布，我們記得下面的轉(zhuǎn)換表達(dá)式：l 遵循一個(gè)均勻分布： （32）其中：（33）是標(biāo)準(zhǔn)高斯分布函數(shù)通過下面公式給出：（34）是此分布的一個(gè)區(qū)間。l 遵循一個(gè)高斯分布： (35)l 遵循一個(gè)對數(shù)正態(tài)分布分

33、布： (36)其中： (37)l 在區(qū)間上遵循一個(gè)截尾對數(shù)正態(tài)分布分布： (38)其中是非線性系統(tǒng)的解： 圖10.對于每個(gè)Y分布的的概率密度函數(shù)：均勻，高斯，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和在區(qū)間 、上的截尾正態(tài)分布表4.Y分布的控制變量的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，偏斜度和峰度的分布均勻分布高斯分布對數(shù)正態(tài)分布截尾對數(shù)正態(tài)分布支持量支持量 2.872.642.842.532.636.883.972.692.102.10 0.830.840.370.370.24 2.132.284.612.242.37 (39)和： （40） 由所提出的方法Y的每個(gè)考慮分配所提供的統(tǒng)計(jì)信息的值、列于表4中。圖表10展示了的概率密度函數(shù) 這

34、些不同的結(jié)果表明Y的分布對于有明顯的影響。其他的應(yīng)用程序（特別是關(guān)于其他控制變量M2，M3，M4）就不介紹了，它們得出相同的結(jié)論。因此，慎重選擇在實(shí)際應(yīng)用中的Y的分布變得很重要。我們注意到，在圖10每個(gè)圖實(shí)際上是從一個(gè)基于 和之間的概率仿真和使用顯式的（拉格朗日）的多項(xiàng)式鏈路從所采用的隨機(jī)配置法推導(dǎo)蒙特卡洛方法得到的近似圖。通過這個(gè)步驟，可以實(shí)現(xiàn)對的模擬（由于兩者間的顯式聯(lián)系），同時(shí)因此可以獲得一個(gè)近似的準(zhǔn)確估計(jì)值。6.3、相關(guān)性的影響在這節(jié)將說明對于控制變量Y的分量之間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性的影響。因此，前段研究的延續(xù)影響著輸入變量的分布。以下的情況相對于所呈現(xiàn)的結(jié)果：l 所考慮的隨機(jī)參數(shù)與先前的應(yīng)用是

35、相同的。也就是說，其他參數(shù)被假定為確定性參數(shù)，同時(shí)等于表1中給出的平均值。因此，。l 隨機(jī)向量Y服從對數(shù)正態(tài)分布，給定的平均值 和協(xié)方差矩陣如下： （41） （42） （43） （44）其中是相關(guān)系數(shù)。平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，列在表1中。對于相關(guān)的系數(shù)，分為兩種情況考慮：l 情況1：，其中是克羅內(nèi)克符號(hào)（Y 的分布是不相關(guān)的，并且由于Y是對數(shù)正態(tài)分布，因此它們之間相互獨(dú)立。）l 情況2：這些系數(shù)的值是從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中得到的，表5中已經(jīng)列出。 需要考慮的控制變量是軌枕傾斜度。我們注意下：在一般的情況下的分布是相關(guān)聯(lián)的，對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)有下列表達(dá)式： （45） 其中 表示乘積，是矩

36、陣的行列式，是集合 的指示函數(shù)，是的通用元素，是有限集： （46）并且我們已經(jīng)列好表：表5對相關(guān)系數(shù)的實(shí)驗(yàn)，其中 1.000.390.190.500.391.000.260.340.190.261.000.150.500.340.151.00表6當(dāng)Y是對數(shù)正態(tài)相關(guān)的組件和相關(guān)組件時(shí)控制變量的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，偏斜度和峰度與Y相關(guān)的組件與Y不相關(guān)的組件2.802.842.432.96-0.5120.375.064.61 （47） （48）在這種情況下，轉(zhuǎn)換量T在 5.2節(jié)介紹中采取以如下形式： （49）其中是四維標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量，其中通過公式（48）已經(jīng)給出。是下三角形矩陣的第秩，這樣使

37、，其中通過公式（47）和（48）給出。 表6分別給出了在兩種情況（相關(guān)與不相關(guān)情況）下的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，偏斜度和峰度。這些結(jié)果是通過圖11補(bǔ)充的，圖11描繪了分別在這兩種情況下的PDF圖像（這個(gè)PDF圖像是近似的且在第6.2節(jié)估計(jì)中被提到）。 可以看出，隨機(jī)變量M1對Y分量的相關(guān)性敏感。在分布的情況下，其他的應(yīng)用，研究了這種影響，并導(dǎo)致相同的結(jié)論。作為一個(gè)結(jié)果，這也將是非常重要的，在實(shí)際應(yīng)用中對于仔細(xì)地選擇這些統(tǒng)計(jì)量6.4、不確定性傳播 我們提出在本節(jié)參數(shù)研究的結(jié)果旨在定量分析在控制變量的隨機(jī)變異方面每個(gè)不確定參數(shù)散射的影響。圖11同時(shí)在兩種情況下對于Y的相關(guān)性的的概率密度函數(shù)圖像：相關(guān)情況下

38、和不相關(guān)情況以這種方式，該應(yīng)用程序可被列為不確定性傳播的研究。它已在下列條件下進(jìn)行： 只有一個(gè)不確定的參數(shù)被認(rèn)為是再一次模擬為一個(gè)對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量。因此，陸續(xù)地，同時(shí)在平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)下服從一個(gè)對數(shù)正態(tài)分布。當(dāng)把不確定參數(shù)比作為一個(gè)隨機(jī)變量，那么的平均值被固定為表1所給的實(shí)驗(yàn)值同時(shí)三個(gè)實(shí)驗(yàn)值被認(rèn)為是的變異系數(shù)：它的實(shí)驗(yàn)值（在表1已經(jīng)給出），80%的實(shí)驗(yàn)值和120%的實(shí)驗(yàn)值。其他的不確定參數(shù)被假定為確定的和等于它表1中實(shí)驗(yàn)平均值。對于每個(gè)所需考慮的隨機(jī)變量來說，在控制變量的隨機(jī)變異方面它的散射影響，通過估計(jì)控制變量的變異系數(shù)被定量分析，對于每個(gè)所選的值（0.8,1.2）來說。換句話說

39、，這個(gè)定量分析由下列構(gòu)成：四個(gè)函數(shù)，三個(gè)點(diǎn)：0.8,1.2，。備注.這個(gè)參數(shù)研究提供了關(guān)于當(dāng)一個(gè)輸入?yún)?shù)是變化的，但不是由于機(jī)械模型的非線性的總方差的響應(yīng)的方差信息。這可以通過計(jì)算Sobol的例如系數(shù)獨(dú)立的參數(shù)來完成，但是這很耗時(shí)且是本文的目的。作為一個(gè)例子，圖12展示了控制變量的變異系數(shù)的演變，根據(jù)每個(gè)隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)，對于0.8。為了清楚的闡明在控制變量下隨機(jī)參數(shù)的散射影響，我們已經(jīng)對每個(gè)進(jìn)行評(píng)估，每一個(gè)的增量與增量相一致。得到的結(jié)果列于表7中。這些結(jié)果表明最有影響力的參數(shù)是形成層的楊氏模量。參數(shù)同樣也具有重要影響力。對于自然接地層的厚度，這些結(jié)果必定會(huì)謹(jǐn)慎考慮，由于很難采取徹底的措施測

40、量長度，所以這是困難的對于準(zhǔn)確估計(jì)來自現(xiàn)場測量方法的定量。表7也顯示了隨機(jī)參數(shù)對的散射有小的影響。表7對于每一個(gè)隨機(jī)參數(shù)，對應(yīng)于的值（%）0.713.64.68.011.2310.6315.89.91圖12. 根據(jù)各隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)，變異系數(shù)的演化圖13. 對于每一個(gè)隨機(jī)參數(shù)，值圖13給出了另一種方式來表示這個(gè)結(jié)果參數(shù)研究。對于每個(gè)隨機(jī)參數(shù)，此圖描述了所有控制變量的。能觀察到楊氏模量（壓載），（碴子），（形式層），（自然接地層）對多數(shù)控制量有重大影響。尤其相對于每個(gè)控制變量，我們可以觀察具有最大影響的隨機(jī)參數(shù)是的，的，的和的。反之，具有最小影響的隨機(jī)參數(shù)是和 的，的，的。更一般地，力學(xué)參數(shù)（

41、楊氏模量）的散射比幾何參數(shù)（厚度）的相應(yīng)散射更為顯著。另一種量化散射隨機(jī)參數(shù)對控制變量的影響是利用不確定性傳播的因素，不確定性傳播的因素是積極與各控制變量的相關(guān)系數(shù)。不確定性傳播因子相對于控制變量通過下面公式被定義: （50） 其中（j）是變異系數(shù)的增量，且與變異系數(shù)的增量相關(guān)。對于給定的控制變量 ，對應(yīng)的這一因素的最大值的隨機(jī)參數(shù)是其散射對具有最大影響的隨機(jī)參數(shù)。圖14. 每個(gè)控制變量的不確定性傳播因子圖14顯示每個(gè)考慮控制變量（，）的不確定性傳播因素。我們可以看到，得到的結(jié)果證實(shí)了以前的研究。特別是，他們突出的力學(xué)參數(shù)（楊氏模量，）對控制變量的散射比的幾何參數(shù)的影響更為重要（厚度，）。7、

42、結(jié)論目前，鐵路工程沒有方法使得軌道變化一體化或者提供維護(hù)操作對軌道特性的實(shí)際影響。因此，對于鐵路軌道管理者來說，確定一個(gè)具體的維護(hù)操作的方案相較于他人是有些困難。通常，在不考慮當(dāng)?shù)貭顩r和軌道不同組分變化的情況下，從道砟搗固到軌道的完整更新的維護(hù)干預(yù)的選擇，是基于測量的經(jīng)驗(yàn)方法和全球軌道剛度與幾何形狀的發(fā)展。其結(jié)果是：鐵道工程不能建立一個(gè)適用于各種類型缺陷的維護(hù)管理政策，并且它能對不同缺陷分別采取不同的維護(hù)操作。 本文提出了一種基于隨機(jī)配置方法SFE法。這種方法非常適合于與鐵路軌道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)聯(lián)系的控制變量的二階統(tǒng)計(jì)的計(jì)算。結(jié)合蒙特卡洛仿真程序，它也可以在一個(gè)小的計(jì)算工作量下估計(jì)這些變量的概率密度

43、函數(shù)。這種非侵入式的方法被應(yīng)用于鐵路軌道參數(shù)的研究。本文提出的新的調(diào)查技術(shù)，能夠進(jìn)行了大量的測試，由于它們的快速設(shè)置，因而能得到現(xiàn)實(shí)的統(tǒng)計(jì)特性通過可靠性分析研究維護(hù)操作在路軌特性變異方面的影響，SFE方法可以幫助管理者進(jìn)行量化和考慮軌道參數(shù)。在第一篇文章中，提出的方法和結(jié)果確認(rèn)其特性（收斂，對輸入?yún)?shù)的敏感性分布.）。從實(shí)用的角度來看，它可以比較不同的維護(hù)操作（道碴搗固，提高了軌道，碴子層的處理）這些操作不僅利用可靠性分析，還利用在模型響應(yīng)的變異性以及失效概率方面的影響分析。其中實(shí)效概率被定義為閾值，該閾值取自鐵路管理人員設(shè)定的一組準(zhǔn)則（比如速度的限制）。要做到這一點(diǎn)，軌道特性的維護(hù)行動(dòng)的影響

44、要進(jìn)行估計(jì)。這些工作實(shí)際上都在進(jìn)行中。以目前的形式，該方法只可用于不定參數(shù)隨機(jī)變量的問題上。這個(gè)方法的廣義版本，在闡述的過程中就可以考慮概率模型隨機(jī)域類型。8、致謝 這項(xiàng)工作是在INNOTRACK項(xiàng)目的框架下進(jìn)行的，INNOTRACK項(xiàng)目是一個(gè)第六框架計(jì)劃內(nèi)的歐洲研究項(xiàng)目。該項(xiàng)目的目標(biāo)是提供創(chuàng)新的解決方案，提高trackrelated鐵路部門的競爭力。作者感謝RFF允許使用網(wǎng)絡(luò)測量結(jié)果。9、參考文獻(xiàn)1 Ditlevsen O. Structural reliability codes for probabilistic designa debate paper based on element

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