1、2013年廣東省高考數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）設集合M=x|x2+2x=0，xR，N=x|x22x=0，xR，則MN=（）A0B0，2C2，0D2，0，22（5分）定義域為R的四個函數y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數的個數是（）A4B3C2D13（5分）若復數z滿足iz=2+4i，則在復平面內，z對應的點的坐標是（）A（2，4）B（2，4）C（4，2）D（4，2）4（5分）已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數學期望E（X）=（）AB2CD35（5分）某四棱

2、臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）A4BCD66（5分）設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若，m，n，則mnB若，m，n，則mnC若mn，m，n，則D若m，mn，n，則7（5分）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）ABCD8（5分）設整數n4，集合X=1，2，3，n令集合S=（x，y，z）|x，y，zX，且三條件xyz，yzx，zxy恰有一個成立若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項正確的是（）A（y，z，w）S，（x，y，w）SB（y，z，w）S，（x，y，w）SC（y，z，w）S，（x，y，w）

3、SD（y，z，w）S，（x，y，w）S二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分9（5分）不等式x2+x20的解集為 10（5分）若曲線y=kx+lnx在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k= 11（5分）執行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為 12（5分）在等差數列an中，已知a3+a8=10，則3a5+a7= 13（5分）給定區域D：令點集T=（x0，y0）D|x0，y0Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共確定 條不同的直線14（5分）（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C的參數方程為（t為參數），C在點（1，1）

4、處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為 15如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E若AB=6，ED=2，則BC= 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數f（x）=cos（x），xR（）求f（）的值； （）若cos=，（，2），求f（2+）17（12分）某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數，葉為個位數（1）根據莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人根據莖葉圖推斷

5、該車間12名工人中有幾名優秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優秀工人的概率18（14分）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，O為BC的中點將ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎ABCDE，其中AO=（1）證明：AO平面BCDE；（2）求二面角ACDB的平面角的余弦值19（14分）設數列an的前n項和為Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有20（14分）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c0）到直線l：xy2=0的距離為，設P為直線l上

6、的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點（1）求拋物線C的方程；（2）當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|BF|的最小值21（14分）設函數f（x）=（x1）exkx2（kR）（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；（2）當時，求函數f（x）在0，k上的最大值M2013年廣東省高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1（5分）設集合M=x|x2+2x=0，xR，N=x|x22x=0，xR，則MN=（）A0B0，

7、2C2，0D2，0，2【分析】根據題意，分析可得，M=0，2，N=0，2，進而求其并集可得答案【解答】解：分析可得，M為方程x2+2x=0的解集，則M=x|x2+2x=0=0，2，N為方程x22x=0的解集，則N=x|x22x=0=0，2，故集合MN=0，2，2，故選：D【點評】本題考查集合的并集運算，首先分析集合的元素，可得集合的意義，再求集合的并集2（5分）定義域為R的四個函數y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函數的個數是（）A4B3C2D1【分析】根據函數奇偶性的定義及圖象特征逐一盤點即可【解答】解：y=x3的定義域為R，關于原點對稱，且（x）3=x3，所以函數y=x

8、3為奇函數；y=2x的圖象過點（0，1），既不關于原點對稱，也不關于y軸對稱，為非奇非偶函數；y=x2+1的圖象過點（0，1）關于y軸對稱，為偶函數；y=2sinx的定義域為R，關于原點對稱，且2sin（x）=2sinx，所以y=2sinx為奇函數；所以奇函數的個數為2，故選：C【點評】本題考查函數奇偶性的判斷，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握3（5分）若復數z滿足iz=2+4i，則在復平面內，z對應的點的坐標是（）A（2，4）B（2，4）C（4，2）D（4，2）【分析】由題意可得z=，再利用兩個復數代數形式的乘除法法則化為 42i，從而求得z對應的點的坐標【解答】解：復數z

9、滿足iz=2+4i，則有z=42i，故在復平面內，z對應的點的坐標是（4，2），故選：C【點評】本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，復數與復平面內對應點之間的關系，屬于基礎題4（5分）已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數學期望E（X）=（）AB2CD3【分析】利用數學期望的計算公式即可得出【解答】解：由數學期望的計算公式即可得出：E（X）=故選：A【點評】熟練掌握數學期望的計算公式是解題的關鍵5（5分）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）A4BCD6【分析】由題意直接利用三視圖的數據求解棱臺的體積即可【解答】解：幾何體是四棱臺，下底面是邊長為2

10、的正方形，上底面是邊長為1的正方形，棱臺的高為2，并且棱臺的兩個側面與底面垂直，四樓臺的體積為V=故選：B【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，棱臺體積公式的應用，考查計算能力與空間想象能力6（5分）設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A若，m，n，則mnB若，m，n，則mnC若mn，m，n，則D若m，mn，n，則【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n異面；由，m，n，可得mn，或m，n異面；由mn，m，n，可得與可能相交或平行；由m，mn，則n，再由n可得【解答】解：選項A，若，m，n，則可能mn，mn，或m，n異面，故A錯誤；選項B，若，m，n，則mn

11、，或m，n異面，故B錯誤；選項C，若mn，m，n，則與可能相交，也可能平行，故C錯誤；選項D，若m，mn，則n，再由n可得，故D正確故選：D【點評】本題考查命題真假的判斷與應用，涉及空間中直線與平面的位置關系，屬基礎題7（5分）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）ABCD【分析】設出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點為F（3，0），離心率為 ，建立方程組，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程【解答】解：設雙曲線方程為 （a0，b0），則雙曲線C的右焦點為F（3，0），離心率等于 ，c=3，a=2，b2=c2a2=5雙曲線方程為 故選：B【點評】本題考查雙

12、曲線的方程與幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題8（5分）設整數n4，集合X=1，2，3，n令集合S=（x，y，z）|x，y，zX，且三條件xyz，yzx，zxy恰有一個成立若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，則下列選項正確的是（）A（y，z，w）S，（x，y，w）SB（y，z，w）S，（x，y，w）SC（y，z，w）S，（x，y，w）SD（y，z，w）S，（x，y，w）S【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除錯誤選項，即得答案【解答】解：方法一：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，顯然滿足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此時（y，z，w）

13、=（3，4，1）S，（x，y，w）=（2，3，1）S，故A、C、D均錯誤；只有B成立，故選B直接法：根據題意知，只要yzw，zwy，wyz中或xyw，ywx，wxy中恰有一個成立則可判斷（y，z，w）S，（x，y，w）S（x，y，z）S，（z，w，x）S，xyz，yzx，zxy三個式子中恰有一個成立； zwx，wxz，xzw三個式子中恰有一個成立配對后有四種情況成立，第一種：成立，此時wxyz，于是（y，z，w）S，（x，y，w）S；第二種：成立，此時xyzw，于是（y，z，w）S，（x，y，w）S；第三種：成立，此時yzwx，于是（y，z，w）S，（x，y，w）S；第四種：成立，此時zwxy

14、，于是（y，z，w）S，（x，y，w）S綜合上述四種情況，可得（y，z，w）S，（x，y，w）S故選：B【點評】本題考查簡單的合情推理，特殊值驗證法是解決問題的關鍵，屬基礎題二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分9（5分）不等式x2+x20的解集為（2，1）【分析】先求相應二次方程x2+x2=0的兩根，根據二次函數y=x2+x2的圖象即可寫出不等式的解集【解答】解：方程x2+x2=0的兩根為2，1，且函數y=x2+x2的圖象開口向上，所以不等式x2+x20的解集為（2，1）故答案為：（2，1）【點評】本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎題，深刻理解“三個二次”間的關

15、系是解決該類題目的關鍵，解二次不等式的基本步驟是：求二次方程的根；作出草圖；據圖象寫出解集10（5分）若曲線y=kx+lnx在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k=1【分析】先求出函數的導數，再由題意知在1處的導數值為0，列出方程求出k的值【解答】解：由題意得，y=k+，在點（1，k）處的切線平行于x軸，k+1=0，得k=1，故答案為：1【點評】本題考查了函數導數的幾何意義應用，難度不大11（5分）執行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為7【分析】由已知中的程序框圖及已知中輸入4，可得：進入循環的條件為i4，即i=1，2，3，4模擬程序的運行結果，即可得到輸出的S值【解答】解：

16、當i=1時，S=1+11=1；當i=2時，S=1+21=2；當i=3時，S=2+31=4；當i=4時，S=4+41=7；當i=5時，退出循環，輸出S=7；故答案為：7【點評】本題考查的知識點是程序框圖，在寫程序的運行結果時，我們常使用模擬循環的變法，但程序的循環體中變量比較多時，要用表格法對數據進行管理12（5分）在等差數列an中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=20【分析】根據等差數列性質可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）【解答】解：由等差數列的性質得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案為：20

17、【點評】本題考查等差數列的性質及其應用，屬基礎題，準確理解有關性質是解決問題的根本13（5分）給定區域D：令點集T=（x0，y0）D|x0，y0Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共確定6 條不同的直線【分析】先根據所給的可行域，利用幾何意義求最值，z=x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可，從而得出點集T中元素的個數，即可得出正確答案【解答】解：畫出不等式表示的平面區域，如圖作出目標函數對應的直線，因為直線z=x+y與直線x+y=4平行，故直線z=x+y過直線x+y=4上的整數點：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）

18、或（0，4）時，直線的縱截距最大，z最大；當直線過（0，1）時，直線的縱截距最小，z最小，從而點集T=（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1），經過這六個點的直線一共有6條即T中的點共確定6條不同的直線故答案為：6【點評】本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題14（5分）（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C的參數方程為（t為參數），C在點（1，1）處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為cos+sin2=0（填或也得滿分）【分析】先求出曲線C的普通方程，再利用直線與圓相切求出切線的方程，最后利用x

19、=cos，y=sin代換求得其極坐標方程即可【解答】解：由（t為參數），兩式平方后相加得x2+y2=2，（4分）曲線C是以（0，0）為圓心，半徑等于的圓C在點（1，1）處的切線l的方程為x+y=2，令x=cos，y=sin，代入x+y=2，并整理得cos+sin2=0，即或，則l的極坐標方程為 cos+sin2=0（填或也得滿分） （10分）故答案為：cos+sin2=0（填或也得滿分）【點評】本題主要考查極坐標方程、參數方程及直角坐標方程的轉化普通方程化為極坐標方程關鍵是利用公式x=cos，y=sin15如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC=CD，過C作圓O的切線交AD于

20、E若AB=6，ED=2，則BC=【分析】利用AB是圓O的直徑，可得ACB=90°即ACBD又已知BC=CD，可得ABD是等腰三角形，可得D=B再利用弦切角定理可得ACE=B，得到AEC=ACB=90°，進而得到CEDACB，利用相似三角形的性質即可得出【解答】解：AB是圓O的直徑，ACB=90°即ACBD又BC=CD，AB=AD，D=ABC，EAC=BACCE與O相切于點C，ACE=ABCAEC=ACB=90°CEDACB，又CD=BC，【點評】本題綜合考查了圓的性質、弦切角定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質等基礎知識，需要較強的推理能力三、

21、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（12分）已知函數f（x）=cos（x），xR（）求f（）的值； （）若cos=，（，2），求f（2+）【分析】（1）把x=直接代入函數解析式求解（2）先由同角三角函數的基本關系求出sin的值以及sin2，然后將x=2+代入函數解析式，并利用兩角和與差公式求得結果【解答】解：（1）（2）因為，所以所以，所以=【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數值的求解，考查了和差角公式的運用，屬于知識的簡單綜合，要注意角的范圍17（12分）某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數，葉為

22、個位數（1）根據莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人根據莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優秀工人的概率【分析】（1）莖葉圖中共同的數字是數字的十位，這是解決本題的突破口，根據所給的莖葉圖數據，代入平均數公式求出結果；（2）先由（1）求得的平均數，再利用比例關系即可推斷該車間12名工人中有幾名優秀工人的人數；（3）設“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優秀工人”為事件A，結合組合數利用概率的計算公式即可求解事件A的概率【解答】解：（1）樣本均值為；（2）抽取的6名工人中有2名為優秀工人，所以12名工

23、人中有4名優秀工人；（3）設“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優秀工人”為事件A，所以，即恰有1名優秀工人的概率為【點評】本題主要考查莖葉圖的應用，古典概型及其概率計算公式，屬于容易題對于一組數據，通常要求的是這組數據的眾數，中位數，平均數，題目分別表示一組數據的特征，考查最基本的知識點18（14分）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，O為BC的中點將ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎ABCDE，其中AO=（1）證明：AO平面BCDE；（2）求二面角ACDB的平面角的余弦值【分析】（1）連接OD，OE在等腰直角三角形AB

24、C中，B=C=45°，AD=AE=，CO=BO=3分別在COD與OBE中，利用余弦定理可得OD，OE利用勾股定理的逆定理可證明AOD=AOE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）方法一：過點O作OFCD的延長線于F，連接AF利用（1）可知：AO平面BCDE，根據三垂線定理得AFCD，所以AFO為二面角ACDB的平面角在直角OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中點H，則OHOB以O為坐標原點，OH、OB、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角【解答】（1）證明：連接OD，OE因為在等腰直角三角形ABC中，B=C=45&#

25、176;，CO=BO=3在COD中，同理得因為，所以AO2+OD2=AD2，AO2+OE2=AE2所以AOD=AOE=90°所以AOOD，AOOE，ODOE=O所以AO平面BCDE（2）方法一：過點O作OFCD的延長線于F，連接AF因為AO平面BCDE根據三垂線定理，有AFCD所以AFO為二面角ACDB的平面角在RtCOF中，在RtAOF中，=所以所以二面角ACDB的平面角的余弦值為方法二：取DE中點H，則OHOB以O為坐標原點，OH、OB、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系則O（0，0，0），A（0，0，），C（0，3，0），D（1，2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一個

26、法向量設平面ACD的法向量為n=（x，y，z），所以，令x=1，則y=1，所以是平面ACD的一個法向量設二面角ACDB的平面角為，且所以所以二面角ACDB的平面角的余弦值為【點評】本題綜合考查了等腰直角三角形的性質、余弦定理、線面垂直的判定與性質定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標系利用法向量的夾角求二面角等基礎知識與方法，需要較強的空間想象能力、推理能力和計算能力19（14分）設數列an的前n項和為Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有【分析】（1）利用已知a1=1，nN*令n=1即可求出；（2）利用an=SnSn1（

27、n2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為，再利用等差數列的通項公式即可得出；（3）利用（2），通過放縮法（n2）即可證明【解答】解：（1）當n=1時，解得a2=4（2）當n2時，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，當n=1時，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列所以，即所以數列an的通項公式為，nN*（3）因為（n2）所以=當n=1，2時，也成立【點評】熟練掌握等差數列的定義及通項公式、通項與前n項和的關系an=SnSn1（n2）、裂項求和及其放縮法等是解題的關鍵20（14分）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c0）到直線l：xy2=0的

28、距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點（1）求拋物線C的方程；（2）當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|BF|的最小值【分析】（1）利用焦點到直線l：xy2=0的距離建立關于變量c的方程，即可解得c，從而得出拋物線C的方程；（2）先設，由（1）得到拋物線C的方程求導數，得到切線PA，PB的斜率，最后利用直線AB的斜率的不同表示形式，即可得出直線AB的方程；（3）根據拋物線的定義，有，從而表示出|AF|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，將它表示成關于y0的二次函數的形式，從而即可求出|AF|BF|的最小值【解答】解：（1）焦點F（0，c）（c0）到直線l：xy2=0的距離，解得c=1，所以拋物線C的方程為x2=4y（2）設，由（1）得拋物線C的方程為，所以切線PA，PB的斜率分別為，所以PA：PB：聯立可得點P的坐標為，即，又因為切線PA的斜率為，整理得，直線AB的斜率，所以直線AB的方程為，整理得，即，因為點P（x0，y0）為直線l：xy2=0上的點，所以x0y02=0，即y0=x02，