1、2017 年“大夢杯”福建省初中數學競賽試題參考答案考試時間 2017 年3月 19日 9001100 滿分 150分于是 a一、選擇題（共 5小題，每小題 7 分，共 35分）。每道小題均給出了代號為 A，B，C， D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里 ， 不填、多填或錯填都得 0 分）1設 a2 32 3 ，則 a 1 的整數部分為（ ） aA1B2C 3D4【答案】B【解答】 由 a2 23 2 2 3 2 3 2 3 6，知 a 68 16 ，46 ，(a a) 6 2(a 1)2 9 。 a1616a因此，11 的整數部分為 2。a注：23

2、234232321 321 6 )2方程 2x ( x )2x23的所有實數根之和為（A1 【答案】B3CD7解答】方程 2xx2(xx2)23 化為 2x(x 2)2 x223(x 2)2 。即 x3 5x2 10x 6 0 ， （x解得 x 1 。經檢驗 x 1 是原方程的根。 原方程所有實數根之和為 1。3如圖， A 、B 、C 三點均在二次函數 線段 AC的中點， BMy軸 ，且 MB 2 分別為 t1、 t221)(x2 4x6)0。x2 的圖像上， M 為y設 A、 C 兩點的橫坐標A3 【答案】t2 t1），則 t2 t1的值為（B 2 3C 2 2D)D 2 2解答】依題意線段

3、 AC的中點 M的坐標為（t12，t12222)。由BMy軸，且 BM222，知B點坐標為 (t12t2，t1 2t2 2)22由點 B在拋物線 y x2 上，知 t1 t2 2 (t1 t2 )2。 22 整理，得 2t12 2t22 8 t12 2t1t2 t22，即 (t2 t1)2 8結合 t2 t1，得 t2 t1 2 2 。ABC 90 ，D為線段 BC的中點， E在線段 AB內，CE與 AD交于點 F 。若 AEEF ，且 AC7，FC3，則 cos ACB的值為（ ）A 3B2 10C 3D 1077147【答案】 B4如圖，在 RtABC 中，【解答】如圖，過 B作BKAD

4、與CE的延長線交于點 K 則由 AE EF 可得， EBK EAF AFE BKE 。 EK EB 。又由D為BC中點，得 F為KC中點。 AB AE EB FE EK KF FC 3 。 BC AC2 AB272 32 2 10 。BC 2 10 cos ACB 。AC 7或解： 對直線 AFD及BCE 應用梅涅勞斯定理得， BD CF EA 1得， 1 。DC FE AB由 D 為線段 BC 的中點，知 BD DC又 AE EF ，因此， AB CF 3 。結合 AC 7 ， ABC 90 ，利用勾股定理得，BC 2 10 。所以， cos ACBBCAC2 105如圖， O為 ABC的外

5、接圓的圓心， R為外接圓半徑， 且R 4。直線 AO、BO、CO分別交ABC的邊于D 、E 、F ，則 A1D B1E C1F 的值為（ABCD答案】 COASOABS OACS OABS OACS OAB SOAC ，ADSABDS ACDS ABDSACDSABC解答】 由條件及等比定理，得同理， OBBES OABSOBC， OCS OBCS OACSABCCFSABCOAOBOC(S OABSOAC ) (S OABSOBC )ADBECFSABC(第 5 題)( S OBC SOAC )又 OA OB OC R 4 ，11121ADBECFR2二、填空題（共 5小題，每小題 7 分，

6、共 35分）6記函數 y x2 2x 3（ 1 x 2 ）的最大值為 M ，最小值為 m ，則 M m的值 為。答案】8解答】 y x2 2x 3 (x 1)2 2 ，1x2，x1時， y取最小值，即 m 2 ； x1時，y 取最大值，即 M 6Mm 8 。7已知二次函數 次函數圖像的頂點，【答案】【解答】yAB3依題意 ax2ax22。bx0）的圖像與 x軸交于不同的兩點 A、B ， C為二bx c（ a若 ABC是邊長為 2 的等邊三角形，則 ac 0有兩個不同的實根，設為 x1， x2 ，則 ABx1 x22。x1x2bx1x2，a(x1x2)2 (x1x2)24x1x2b)2 4 a2

7、b 24ac 4 ，即 b2 4ac 4a2 。 a又由 y ax2 bx c a(x 2ba)2 b4ac ，及 ab20 ，知 b c4a3 ，即 b2 4ac 4 3a 。4a2 4 3a ， a 3 。8如圖，在 ABC 中， AD 為 BC 邊上的高，M 為線段 BC 的中點，且BAD DAM MAC。若 AB 2，則 ABC內切圓的半徑為【答案】 3 1解答】依題意，易知 D為BM 中點，DMMC又 AM 平分 DAC ，AD MD 1 。結合 AD DC ，得 ACD 30 AC MC 2 DAC 60 ， BAC 90 。 AC 2 3 ， BC 4 。 ABC 內切圓半徑為

8、2 2 3 4 3 1 。2DM第 8 題)29若二次函數 y x2 (4a 3)x 3a(a 2 )的圖像與直線 y 2 x在 y軸左側恰有 1 3個交點，則符合條件的所有 a 的值的和為。29【答案】 2912【解答】 依題意，關于 x 的方程 x2 (4a 3)x 3a 2 x ，即 x2 (4a 2)x 3a 2 0 恰有 1 個負根或者兩個相等的負根。有下列三種情形：(1)方程有兩個相等的負根。2則 (4a2) 4(3a 2)0，解得a 1或a3。均滿足 a2。x1x2(4a 2) 0433因此， a 1， a 3符合要求。42)方程兩根中一根為零，另一根為負數x1x2 3a 2 0

9、 2則 xx11x2 x23a (42a 02) 0，解得a 32 。滿足a2 因此， a 2 符合要求。3( 3)方程兩根中一根為正數，另一根為負數。22 則 x1x2 3a 2 0，解得 a 2 。不滿足 a 2 。33綜合( 1)、(2)、(3)，得符合條件的 a的值為1， 3，2 43因此，符合條件的所有 a 的值的和為 12 291210若正整數 n恰有 90個不同的正因數(含 1和本身)，且在n的正因數中有 7個連續整 數，則正整數 n 的最小值為。【答案】 25200【解答】 任意連續 7個正整數的乘積能被 1 2 3 4 5 6 7整除， n 的正因數中必定有 22 ，3， 5

10、，7 這四個數。 正整數 n 具有形式： n 2 1 3 2 5 3 7 4 L ( 1 ， 2 ， 3， 4 為正整數， 1 2)。 由正整數 n恰有90個正因數，知 ( 1 1)( 2 1)( 3 1)( 4 1) k 90，其中 k為正整數。 而 90 分解為 4 個大于 1 的正整數的乘積的分解式只有一種： 90 2 3 3 5 。 k 1， ( 1 1)( 2 1)( 3 1)( 4 1) 90 2 3 3 5。 n 的最小值為 24 32 52 7 25200 ，此時 n 有連續正因數 1，2，3， 4，5，6，7。三、解答題(共 4 題，每小題 20分，共 80分)11求方程 x

11、2 2017 y 2 2018x 的正整數解。【解答】 方程化為 x2 2018x 2017 y2 0。將方程視為 x的方程，得 20182 4 2017 y2 4(10092 2017 y 2) 為完全平方 數。 5 分 10092 2017 y 2為完全平方數。設10092 2017 y2 t2( t為非負整數)，則1009 2 t2 2017 y2 。 (1009 t)(1009 t) 2017 y2 。 2017 為質數， 2017 (1009 t) ，或 2017 (1009 t) 。 10 分又 t 為非負整數，且 t 1009 。 t 1009，或 t 1008 。 15 分 y

12、 0 (舍去)，或 y 1。將 y 1代入方程，得 x2 2018x 2017 0 ，解得 x 1，或 x 1017。x 1x 2017 原方程的正整數解為 x 1，或 x 2017 。 20 分y 1y 1直線 AD 、BM 交于點 E，且 ME MA 。求證：（1）BECD；ACDE（2）。ADDB第 12 題）BE DE 10 分BC。EC又由 CEAD ， ACCD ，知 CDE ACE CDDE AC。CE由此可得，BEBCDEECCD ，即 BE CDAC BC AC12如圖，在等腰三角形 ABC中， ACB 90 ，M 是邊AC的中點， D是邊 BC上一點，【解答】（1）如圖，連

13、結 CE 由條件知， ME MA MC 。CE AE 。 5 分 ACB90 ， MAEDCE 。 BEDAEM MAEDCE。又 EBDCBE， BDE BEC 。BC AC ，BE CD 。 15 分2）由（ 1） CE AD，AC CD，知CDE ADC，CE ACCD AD又由（ 1） BDE BEC ，知 DE DBECEB結合（ 1）中 BECD，可得 AACDCECDEC DEEB DB20 分AC DEAD DB13 若存在正整數 n ， p（p6 ）使得n2n4n6np3 成立，其中xxx ， x 為不超過 x的最大整數。（1）求 p 的最小值；（2）當 p 取最小值時，求使

14、nnnn3 成立，且n2017 的正整數 n246p的個數。【解答】（1） 對任意正整數 nn1，n3n5，np 1 。 。224466pp5 分對任意正整數 n ，nnn13525。24624612存在正整數 n ， p（p6 ）使得 nnnn3成立，246p存在正整數 n ，使得n325 11。p12 12于是， p 1 n11，p 12 。pp12又n11時， 11111111135113，2461224612p 的最小值為 12。10 分（2）p 12 時，由 3nnnn135 113知246p246 12n1 ， n 3n5n11。22 ， 4 4，66， 12。12n 12k 11

15、（k 為非負整數）。當 p 取 最 小值12時，當且僅當n12k11（ k 為 非負整 數 ）時，nn24nn6 123 成立。15 分20 分由 n 12k 11 2017 知， k 167。因此，符合條件的正整數 n 有 168個14將平面上每個點都以紅、藍兩色之一染色。證明：（1）對任意正數 a ，無論如何染色平面上總存在兩個端點同色且長度為 a的線段；（2）無論如何染色平面上總存在三個頂點同色的直角三角形；（3）無論如何染色，平面上是否總存在三個頂點同色且面積為2017 的直角三角形？【解答】（1）在平面內任作一個邊長為 a的等邊 ABC 。則ABC的三個頂點 A、B、 C中必有兩點同色。所以，存在兩端點同色，且長為 a 的線段。 因此，對任意正數 a ，無論如何染色平面上總存在兩個端點同色且長度為 a 的線段。 5 分2）對任意正數 a ，如圖，設 A、 D同色，且 AD a （由（ 1）知， A、 D存在）以 AD為直徑作圓 O，設 ABCDEF 為圓 O的內接正 六邊形。若B、C、E、F 中存在一點與 A 、 D同色，不妨 設點 B與 A、 D同色，則 ABD 為直角三角形，其中 ABD 90 ， ADB 30 ，且三頂點同色。 10 分 若B、C、E、F都與 A