1、高中數學必修2 立體幾何考題13如圖所示，正方體abcd a1b1c1d1中， m、 n 分別是 a1b1，b1c1的中點問：(1)am 和 cn 是否是異面直線？說明理由；(2)d1b 和 cc1是否是異面直線？說明理由解析： (1)由于 m、n 分別是 a1b1和 b1c1的中點，可證明mnac，因此 am 與 cn 不是異面直線 (2)由空間圖形可感知d1b 和 cc1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法探究拓展： 解決這類開放型問題常用的方法有直接法(即由條件入手，經過推理、演算、變形等 )，如第 (1)問，還有假設法，特例法，有時證明兩直線異面用直線法較難說明問題，這時可用反

2、證法，即假設兩直線共面，由這個假設出發，來推證錯誤，從而否定假設，則兩直線是異面的解： (1)不是異面直線理由如下：m、n 分別是 a1b1、b1c1的中點， mna1c1. 又 a1ad1d，而 d1d 綊 c1c，a1a 綊 c1c，四邊形a1acc1為平行四邊形a1a ac，得到 mnac，a、 m、n、c 在同一個平面內，故am 和 cn 不是異面直線(2)是異面直線理由如下：假設 d1b 與 cc1在同一個平面cc1d1內，則 b平面 cc1d1，c平面 cc1d1. bc?平面 cc1d1，這與在正方體中bc平面 cc1d1相矛盾，假設不成立，故d1b 與 cc1是異面直線14如下

3、圖所示，在棱長為1 的正方體abcd a1b1c1d1中， m 為 ab 的中點， n 為bb1的中點， o 為面 bcc1b1的中心(1)過 o 作一直線與an 交于 p，與 cm 交于 q(只寫作法，不必證明)；(2)求 pq 的長 (不必證明 )解析：(1)由 onad 知，ad 與 on 確定一個平面 .又 o、 c、 m 三點確定一個平面 (如下圖所示 )三個平面 ，和 abcd 兩兩相交，有三條交線op、cm、da，其中交線da 與交線cm 不平行且共面da 與 cm 必相交，記交點為q. oq 是 與 的交線連結oq 與 an 交于 p，與 cm 交于 q，故 opq 即為所作的

4、直線(2)解三角形apq 可得 pq143. 15如圖，在直三棱柱abca1b1c1中， abbcb1ba， abc90 ，d、e 分別為 bb1、ac1的中點(1)求異面直線bb1與 ac1所成的角的正切值；(2)證明： de 為異面直線bb1與 ac1的公垂線；(3)求異面直線bb1與 ac1的距離解析： (1)由于直三棱柱abca1b1c1中， aa1bb1，所以 a1ac1就是異面直線 bb1與 ac1所成的角又 ab bcb1ba， abc90 ，所以 a1c12a，tana1ac12，即異面直線bb1與 ac1所成的角的正切值為2. (2)證明：解法一：如圖，在矩形acc1a1中，

5、過點e 作 aa1的平行線 mm1分別交 ac、 a1c1于點 m、m1，連結 bm，b1m1，則 bb1綊 mm1. 又 d、e 分別是 bb1、 mm1的中點，可得 de 綊 bm. 在直三棱柱abca1b1c1中，由條件 abbc 得 bmac，所以 bm平面 acc1a1，故 de平面 acc1a1，所以 deac1，debb1，即 de 為異面直線bb1與 ac1的公垂線解法二：如圖，延長c1d、cb 交于點 f，連結 af，由條件易證d是 c1f 的中點， b 是 cf 的中點，又e 是 ac1的中點，所以de af. 在 acf 中，由 abbcbf 知 afac. 在直三棱柱a

6、bca1b1c1中， aa1平面 abc，所以 afaa1，故 af平面 acc1a1，故 de平面 acc1a1，所以 deac1，debb1，即 de 為異面直線bb1與 ac1的公垂線(3)由(2)知線段 de 的長就是異面直線bb1與 ac1的距離，由于abbc a， abc90 ，所以 de 22a. 反思歸納： 兩條異面直線的公垂線是指與兩條異面直線既垂直又相交的直線，兩條異面直線的公垂線是惟一的，兩條異面直線的公垂線夾在兩條異面直線之間的線段的長度就是兩條異面直線的距離證明一直線是某兩條異面直線的公垂線，可以分別證明這條直線與兩條異面直線垂直 本題的思路是證明這條直線與一個平面垂

7、直，而這一平面與兩條異面直線的位置關系是一條直線在平面內，另一條直線與這個平面平行16如圖所示，在正方體abcd a1b1c1d1中， o，m 分別是 bd1， aa1的中點(1)求證： mo 是異面直線aa1和 bd1的公垂線；(2)求異面直線aa1與 bd1所成的角的余弦值；(3)若正方體的棱長為a，求異面直線aa1與 bd1的距離解析： (1)證明： o 是 bd1的中點，o 是正方體的中心，oaoa1，又 m 為 aa1的中點，即 om 是線段 aa1的垂直平分線，故 omaa1. 連結 md1、bm，則可得mbmd1. 同理由點 o 為 bd1的中點知mobd1，即 mo 是異面直線

8、aa1和 bd1的公垂線(2)由于 aa1bb1，所以 b1bd1就是異面直線aa1和 bd1所成的角在 rtbb1d1中，設 bb11，則 bd13，所以 cosb1bd133，故異面直線aa1與 bd1所成的角的余弦值等于33. (3)由(1)知，所求距離即為線段mo 的長，由于 oa12ac132a，ama2，且 omam，所以 om22a. 13如圖所示，正方體abcd a1b1c1d1中，側面對角線ab1， bc1上分別有兩點e、f，且 b1ec1f，求證： efabcd . 證明： 解法一：分別過e、f 作 emab 于 m，fnbc 于 n，連結mn. bb1平面 abcd ，b

9、b1 ab，bb1bc，embb1， fnbb1，emfn. 又 b1ec1f， emfn，故四邊形 mnfe 是平行四邊形，efmn，又 mn 在平面 abcd 中，所以 ef平面 abcd. 解法二：過e 作 egab 交 bb1于 g，連結 gf ，則b1eb1ab1gb1b，b1e c1f，b1a c1b，c1fc1bb1gb1b， fg b1c1bc. 又 egfgg，abbcb，平面 efg 平面 abcd，而 ef?平面 efg，ef平面 abcd . 14如下圖，在四棱錐pabcd 中，底面abcd 是正方形，側棱pd底面 abcd，pddc.過 bd 作與 pa 平行的平面，

10、交側棱pc 于點 e，又作 dfpb，交 pb 于點 f. (1)求證：點e 是 pc 的中點；(2)求證： pb平面 efd . 證明： (1)連結 ac，交 bd 于 o，則 o 為 ac 的中點，連結eo. p a平面 bde，平面 pac平面 bde oe， paoe. 點 e 是 pc 的中點；(2)pd底面 abcd 且 dc?底面 abcd ，pddc， pdc 是等腰直角三角形，而de 是斜邊 pc 的中線，depc，又由 pd 平面 abcd，得 pd bc.底面 abcd 是正方形， cd bc，bc平面 pdc. 而 de?平面 pdc.bcde.由和推得de平面 pbc

11、.而 pb?平面 pbc，depb，又 df pb 且 dedfd，所以 pb平面 efd . 15如圖， l1、l2是互相垂直的異面直線，mn 是它們的公垂線段點a、b 在 l1上， c在 l2上， ammb mn. (1)求證 acnb；(2)若 acb 60 ，求 nb 與平面 abc 所成角的余弦值證明： (1)如圖由已知l2mn，l2l1，mnl1m，可得 l2平面 abn. 由已知 mnl1，ammb mn，可知 annb 且 annb. 又 an 為 ac 在平面 abn 內的射影，acnb. (2)rtcnartcnb，acbc，又已知 acb60 ，因此 abc 為正三角形r

12、tanbrt cnb，ncnanb，因此 n 在平面 abc 內的射影h 是正三角形abc 的中心連結bh，nbh 為 nb 與平面 abc 所成的角在 rtnhb 中，cosnbhhbnb33ab22ab63. 16如圖，在四面體abcd 中， cbcd，adbd，點 e、f 分別是 ab、bd 的中點求證：(1)直線 ef平面 acd；(2)平面 efc平面 bcd. 命題意圖： 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力證明： (1)在 abd 中， e、f 分別是 ab、bd 的中點，所以efad. 又 ad?平面 acd，ef?平面 acd，直線e

13、f平面 acd. (2)在 abd 中， adbd，efad， efbd. 在 bcd 中， cd cb，f 為 bd 的中點， cfbd. ef?平面 efc， cf?平面 efc， ef 與 cf 交于點 f， bd平面 efc . 又 bd?平面 bcd，平面 efc平面 bcd. 13如圖，在四棱錐pabcd 中，底面 abcd 是邊長為a 的正方形， pa平面 abcd，且 pa2ab. (1)求證：平面pac平面 pbd；(2)求二面角bpcd 的余弦值解析： (1)證明： p a平面 abcd，p abd. abcd 為正方形， acbd. bd平面 pac，又 bd 在平面 b

14、pd 內，平面 pac平面 bpd. (2)在平面 bcp 內作 bnpc，垂足為n，連結 dn，rtpbcrt pdc，由 bn pc 得 dn pc； bnd 為二面角bpcd 的平面角，在 bnd 中， bndn56a，bd2a，cosbnd56a256a22a253a215. 14如圖，已知abcda1b1c1d1是棱長為3 的正方體，點e 在 aa1上，點 f 在 cc1上，g 在 bb1上，且 aefc1b1g1，h 是 b1c1的中點(1)求證： e、b、f、d1四點共面；(2)求證：平面a1gh平面 bed1f. 證明： (1)連結 fg. aeb1g1， bga1e2，bg

15、綊 a1e， a1g 綊 be. c1f 綊 b1g，四邊形 c1fgb1是平行四邊形fg 綊 c1b1綊 d1a1，四邊形 a1gfd1是平行四邊形a1g 綊 d1f， d1f 綊 eb，故 e、b、f、 d1四點共面(2)h 是 b1c1的中點， b1h32. 又 b1g1，b1gb1h32. 又fcbc23，且 fcb gb1h90 ， b1hg cbf， b1gh cfb fbg ，hgfb. 又由 (1)知 a1gbe，且 hg a1g g，fbbeb，平面 a1gh平面 bed1f. 15在三棱錐pabc 中， pa面 abc， abc 為正三角形， d、e 分別為 bc、ac 的

16、中點，設abp a2. (1)求證：平面pbe平面 pac；(2)如何在 bc 上找一點f，使 ad平面 pef，請說明理由；(3)對于 (2)中的點 f，求三棱錐bpef 的體積解析： (1)證明： p a面 abc，be?面 abc，p abe. abc 是正三角形，e 為 ac 的中點，beac，又 pa 與 ac 相交，be平面 pac，平面 pbe平面 pac. (2)解：取 dc 的中點 f，則點 f 即為所求e， f 分別是 ac，dc 的中點，efad，又 ad?平面 pef，ef?平面 pef，ad平面 pef. (3)解： vbpef vpbef13sbef pa13123

17、232 234. 16(2009 天津，19)如圖所示， 在五面體abcdef 中，fa平面 abcd ， adbcfe，abad，m 為 ce 的中點， afab bcfe12ad. (1)求異面直線bf 與 de 所成的角的大小；(2)求證：平面amd平面 cde；(3)求二面角acde 的余弦值解答： (1)解：由題設知，bfce，所以 ced (或其補角 )為異面直線 bf 與 de 所成的角 設 p 為 ad 的中點， 連結 ep，pc.因為 fe 綊 ap，所以 fa 綊 ep.同理，ab 綊 pc.又 fa平面 abcd ， 所以 ep平面 abcd .而 pc，ad 都在平面a

18、bcd 內，故 eppc，epad.由 abad，可得pcad.設 fa a，則 eppcpd a，cddeec2a. 故 ced60 . 所以異面直線bf 與 de 所成的角的大小為60 . (2)證明：因為dcde 且 m 為 ce 的中點，所以dmce.連結 mp，則 mpce.又mpdm m，故 ce平面 amd.而 ce?平面 cde，所以平面amd平面 cde. (3)設 q 為 cd 的中點，連結pq，eq.因為 cede，所以 eqcd.因為 pcpd，所以 pqcd，故 eqp 為二面角acde 的平面角由(1)可得， eppq，eq62a， pq22a. 于是在 rt ep

19、q 中， coseqppqeq33. 所以二面角acde 的余弦值為33. 13(2009 重慶 )如圖所示， 四棱錐 p abcd 中，abad，addc，pa底面 abcd，paaddc12ab1，m 為 pc 的中點， n 點在 ab 上且 an13nb. (1)求證： mn平面 pad；(2)求直線 mn 與平面 pcb 所成的角解析： (1)證明：過點m 作 mecd 交 pd 于 e 點，連結 ae. an13nb，an14ab12dcem. 又 emdc ab， em 綊 an，aemn 為平行四邊形，mn ae， mn平面 pad. (2)解：過 n 點作 nqap 交 bp

20、于點 q，nfcb 于點 f. 連結 qf ，過 n 點作 nhqf 于 h，連結 mh，易知 qn面 abcd， qnbc，而 nfbc，bc面 qnf，bcnh，而 nhqf， nh平面 pbc， nmh 為直線 mn 與平面 pcb 所成的角通過計算可得mn ae22，qn34，nf342，nhqn nfqfon nfqn2nf264，sinnmh nhmn32， nmh60 ，直線 mn 與平面 pcb 所成的角為60 . 14(2009 廣西柳州三模 )如圖所示， 已知直平行六面體abcda1b1c1d1中，ad bd，adbd a，e 是 cc1的中點， a1d be. (1)求證

21、： a1d平面 bde；(2)求二面角bdec 的大小解析： (1)證明：在直平行六面體abcda1b1c1d1中，aa1平面 abcd ， aa1bd. 又 bdad，bd平面 add1a1，即 bda1d. 又 a1dbe 且 bebdb，a1d平面 bde . (2)解：如圖，連b1c，則 b1c be，易證 rtbcertb1bc，cebcbcb1b，又 e 為 cc1中點，bc212bb21. bb12bc2a. 取 cd 中點 m，連結 bm，則 bm平面 cc1d1c，作 mnde 于 n，連 nb，由三垂線定理知：bnde，則 bnm 是二面角 b dec 的平面角在 rtbd

22、c 中， bmbd bcdc22a，rtced 中，易求得mn1010a，rtbmn 中， tanbnmbmmn5，則二面角 bdec 的大小為arctan 5. 15如圖，已知正方體abcd a1b1c1d1中， e為 ab 的中點(1)求直線 b1c 與 de 所成的角的余弦值；(2)求證：平面eb1d平面 b1cd；(3)求二面角eb1c d 的余弦值解析： (1)連結 a1d，則由 a1db1c 知，b1c 與 de 所成的角即為a1d 與 de 所成的角連結 a1e，由正方體abcda1b1c1d1，可設其棱長為a，則 a1d2a，a1e de52a，cosa1dea1d2de2a1

23、e22 a1d de105. 直線 b1c 與 de 所成角的余弦值是105. (2)證明取 b1c 的中點 f，b1d 的中點 g，連結 bf，eg，gf. cd平面 bcc1b1，且 bf?平面 bcc1b1， dcbf. 又 bfb1c，cdb1cc，bf平面 b1cd. 又 gf 綊12cd，be 綊12cd，gf 綊 be，四邊形bfge 是平行四邊形，bfge， ge平面 b1cd. ge?平面 eb1d，平面 eb1d平面 b1cd. (3)連結 ef. cdb1c， gfcd， gfb1c. 又 ge平面 b1cd，efb1c， efg 是二面角eb1cd 的平面角設正方體的棱

24、長為a，則在 efg 中，gf12a，ef32a，cosefgfgef33，二面角 eb1cd 的余弦值為33. 16(2009 全國， 18)如圖所示，直三棱柱abca1b1c1中， ab ac，d、e 分別為aa1、b1c 的中點， de平面 bcc1. (1)求證： abac；(2)設二面角abdc 為 60 ，求 b1c 與平面 bcd 所成的角的大小解析： (1)證明：取bc 中點 f，連結 ef，則 ef 綊12b1b，從而 ef 綊 da. 連結 af，則 adef 為平行四邊形，從而af de. 又 de平面 bcc1，故 af平面 bcc1，從而 afbc，即 af 為 bc

25、的垂直平分線，所以abac. (2)解：作agbd，垂足為g，連結cg.由三垂線定理知cg bd，故 agc 為二面角 abdc 的平面角由題設知，agc60 .設 ac2，則 ag23.又 ab2，bc22，故 af2.由 ab adag bd 得 2ad23 ad222，解得 ad 2，故 ad af. 又 adaf，所以四邊形adef 為正方形因為 bcaf，bcad，afad a，故 bc平面 def，因此平面bcd平面 def . 連結 ae、df，設 aedf h，則 ehdf ，eh平面 bcd. 連結 ch，則 ech 為 b1c 與平面 bcd 所成的角因 adef 為正方形

26、， ad2，故 eh1，又 ec12b1c2，所以 ech 30 ，即 b1c 與平面 bcd 所成的角為30 . 13在正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面邊長為22，側棱長為4，e、f 分別為棱ab、bc 的中點(1)求證：平面b1ef平面 bdd1b1；(2)求點 d1到平面 b1ef 的距離 d. 分析： (1)可先證ef平面 bdd1b1.(2)用幾何法或等積法求距離時，可由b1d1bd，將點進行轉移： d1點到平面 b1ef 的距離是b 點到它的距離的4 倍，先求 b點到平面 b1ef 的距離即可解答： (1) 證明：efbdefb1b?ef平面bdd1b1?平面b1ef平面b

27、dd1b1. (2)解：解法一：連結ef 交 bd 于 g 點b1d14bg，且 b1d1bg，d1點到平面b1ef 的距離是b 點到它的距離的4 倍利用等積法可求由題意可知，ef12ac2，b1g17. sb1ef12ef b1g1221717，sbef12be bf12221. vbb1efvb1bef，設 b 到面 b1ef 的距離為h1，則1317h11314，h14 1717. 點 d1到平面 b1ef 的距離為h4h1161717. 解法二： 如圖，在正方形bdd1b1的邊 bd 上取一點g，使 bg14bd，連結 b1g，過點 d1作 d1hb1g 于 h，則 d1h 即為所求距

28、離可求得 d1h16 1717(直接法 )14如圖直三棱柱abca1b1c1中，側棱 cc1 2，bac90 ，abac2， m 是棱 bc 的中點， n 是 cc1中點求：(1)二面角 b1anm 的大小；(2)c1到平面 amn 的距離解析： (1) bac90 ，abac2，m 是棱 bc 的中點，ambc，bc2， am1. am平面 bcc1b1. 平面 amn 平面 bcc1b1. 作 b1hmn 于 h，hran 于 r，連結 b1r，b1h平面 amn . 又由三垂線定理知，b1ran. b1rh 是二面角b1an m 的平面角由已知得 an3， mn2，b1m5b1n，則 b

29、1h3 22，又 rtamn rthrn，rhamhnan， rh66. b1r143， cosb1rhrhb1r714. 二面角 b1anm 的大小為 arccos714. (2)n 是 cc1中點，c1到平面 amn 的距離等于c 到平面 amn 的距離設 c 到平面 amn 的距離為 h，由 vcamn vnamc得1312 mn h1312am mc. h22. 15(2009 北京海淀一模 )如圖所示， 四棱錐 pabcd 中，pa平面 abcd，底面 abcd為直角梯形，且abcd， bad90 ，paaddc2，ab4. (1)求證： bcpc；(2)求 pb 與平面 p ac

30、所成的角的正弦值；(3)求點 a 到平面 pbc 的距離解析： (1)證明：如圖，在直角梯形abcd 中，abcd， bad 90 ，addc2， adc90 ，且 ac2 2. 取 ab 的中點 e，連結 ce，由題意可知，四邊形abcd 為正方形，aece2. 又 be12ab 2. ce12ab， abc 為等腰直角三角形，acbc. 又 p a平面 abcd，且 ac 為 pc 在平面 abcd 內的射影，bc?平面 abcd，由三垂線定理得，bcpc. (2)由(1)可知， bcpc，bcac，pcac c，bc平面 pac. pc 是 pb 在平面 pac 內的射影， cpb 是

31、pb 與平面 pac 所成的角又cb22，pb2pa2ab220，pb25，sincpbbcpb105，即 pb 與平面 pac 所成角的正弦值為105. (3)由(2)可知， bc平面 pac，bc?平面 pbc，平面 pbc平面 pac. 過 a 點在平面pac 內作 afpc 于 f，af平面 pbc，af 的長即為點a 到平面 pbc 的距離在直角三角形pac 中，p a2，ac 2 2，pc23， af2 63. 即點 a 到平面 pbc 的距離為2 63. 16 (2009 吉林長春一模 )如圖所示，四棱錐 pabcd 的底面是正方形， pa底面 abcd，pa2， pda45 ，

32、點 e、f 分別為棱ab、pd 的中點(1)求證： af平面 pce；(2)求二面角epdc 的大小；(3)求點 a 到平面 pce 的距離解析： (1)證明：如圖取pc 的中點 g，連結 fg、eg，fg 為 pcd 的中位線，fg12cd 且 fgcd. 又底面四邊形abcd 是正方形， e 為棱 ab 的中點，ae12cd 且 aecd，aefg 且 aefg. 四邊形 aegf 是平行四邊形，afeg. 又 eg?平面 pce，af?平面 pce，af平面 pce. (2)解： pa底面 abcd，p aad，p acd. 又 adcd，paada，cd平面 pad. 又 af?平面

33、pad，cdaf. 又 pa2， pda 45 ，p aad2. f 是 pd 的中點， afpd. 又 cd pdd，af平面 pcd. afeg， eg平面 pcd. 又 gfpd，連結 ef，則 gfe 是二面角epd c 的平面角在 rtegf 中， egaf2，gf 1，tangfe gegf2. 二面角 epdc 的大小為arctan 2. (3)設 a 到平面 pce 的距離為 h，由 vapcevpace，即1312pc eg h13pa12ae cb，得 h63，點 a 到平面 pce 的距離為63. 13(2009 陜西， 18)如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，

34、ab1，ac aa13，abc60 . (1)求證： aba1c；(2)求二面角aa1c b 的大小解析： (1)證明：三棱柱abca1b1c1為直三棱柱，abaa1，在 abc 中， ab1，ac3， abc 60 ，由正弦定理得acb30 ， bac90 ，即 abac. ab平面 acc1a1，又 a1c?平面 acc1a1， aba1c. (2)解：如圖，作ada1c 交 a1c 于 d 點，連結bd，由三垂線定理知bda1c， adb 為二面角aa1cb 的平面角在 rtaa1c 中， adaa1 aca1c33662，在 rtbad 中， tanadbabad63， adbarct

35、an63，即二面角aa1cb 的大小為arctan63. 14如圖，三棱柱abca1b1c1的底面是邊長為a 的正三角形，側面abb1a1是菱形且垂直于底面，a1ab60 ，m 是 a1b1的中點(1)求證： bmac；(2)求二面角bb1c1a1的正切值；(3)求三棱錐ma1cb 的體積解析： (1)證明： abb1a1是菱形， a1ab60 ?a1b1b 是正三角形， m是a1b1的中點， bma1b又平面 aa1b1b平面 a1b1c1?bm平面 a1b1c1. bma1c1又 aca1c1?bmac. (2)過m作meb1c1且交于點 e，bm平面 a1b1c1，?beb1c1， be

36、m 為所求二面角的平面角，a1b1c1中， memb1 sin60 34a，rtbmb1中， mbmb1 tan60 32a，tanbemmbme2，所求二面角的正切值是2. (3)vma1cb12vb1a1cb12vaa1cb12va1abc121334a232a116a3. 15(2009 廣東汕頭一模)如圖所示，已知bcd 中， bcd 90 ，bccd 1，ab平面 bcd， adb 60 ， e、f 分別是 ac、ad 上的動點，且aeacafad (0 1)(1)求證：不論 為何值，總有ef平面 abc；(2)若 12，求三棱錐abef 的體積解析： (1)證明： ab平面 bcd

37、，abcd. 又在 bcd 中， bcd 90 ，bccd. 又 abbcb，cd平面 abc. 又在 acd 中， e、f 分別是 ac、ad 上的動點，且aeacafad (0 1)，不論 為何值，都有efcd，ef平面 abc. (2)在 bcd 中， bcd90 ，bccd1，bd2. 又 ab平面 bcd，abbc，abbd. 又在 rt abd 中， adb60 ，abbd tan60 6，由(1)知 ef平面 abc，vabefvfabe13sabe ef1312sabc ef16121612624. 故三棱錐 abef 的體積是624. 16在四棱錐pabcd 中，側面pdc

38、是邊長為2 的正三角形，且與底面垂直，底面abcd 是面積為 23的菱形， adc 為菱形的銳角(1)求證： pacd；(2)求二面角pabd 的大小；(3)求棱錐 p abcd 的側面積；解析： (1)證明：如圖所示，取cd 的中點 e，由 pecd，得 pe平面 abcd，連結ac、ae. ad cd sinadc 2 3，adcd2，sinadc 32，即 adc60 ， adc 為正三角形，cdae. cdpa(三垂線定理 )(2)解： abcd， abpa，abae， p ae 為二面角pabd 的平面角在 rtpea 中， pe ae， pae45 . 即二面角 pabd 的大小為

39、45 . (3)分別計算各側面的面積：pdda2，pa6，cospda14， sinpda154. spcd3，spab12ab pa12 2 236，spadspbc12pd da sinpda152. spabcd側3615. 13把地球當作半徑為r 的球，地球上a、b 兩地都在北緯45 ，a、b 兩點的球面距離是3r，a 點在東經20 ，求 b 點的位置解析： 如圖，求b 點的位置即求b 點的經度，設b 點在東經 ，a、 b 兩點的球面距離是3r. aob3，因此三角形aob 是等邊三角形，abr，又 ao1b 20 (經度差 ) 問題轉化為在ao1b 中借助 ao1bo1aocos45

40、 22r，求出 ao1b90 ， 則 110 ， 同理：b 點也可在西經70 ，即 b 點在北緯45 東經 110或西經 70 . 14在球心同側有相距9cm 的兩個平行截面，它們的面積分別為49 cm2和 400 cm2，求球的表面積和體積解析：如圖，兩平行截面被球大圓所在平面截得的交線分別為ao1、bo2，則 ao1bo2. 若 o1、o2分別為兩截面圓的圓心，則由等腰三角形性質易知oo1 ao1， oo2bo2，設球半徑為r， o2b2 49 ，o2b7cm，同理 o1a 20cm. 設 oo1xcm，則 oo2(x9)cm. 在 rtoo1a 中， r2x2202，在 rtoo2b 中

41、， r2(x9)272，x220272 (x 9)2，解得 x15cm. r 25cm， s球2500 cm2，v球43r3625003 cm3. 15設 a、b、c 是半徑為1 的球面上的三點，b、c 兩點間的球面距離為3，點 a 與 b、c 兩點間的球面距離均為2， o 為球心，求：(1)aob、 boc 的大小；(2)球心 o 到截面 abc 的距離解析： (1)如圖，因為球o 的半徑為1， b、c 兩點間的球面距離為3，點 a 與 b、c 兩點間的球面距離均為2，所以 boc3， aob aoc2，(2)因為bc1，acab2，所以由余弦定理得cosbac34，sinbac74，設截面

42、圓的圓心為o1，連結 ao1，則截面圓的半徑r ao1，由正弦定理得rbc2sin bac2 77，所以 oo1oa2r2217. 16如圖四棱錐a bcde 中，ad底面 bcde，acbc，aebe. (1)求證： a、b、c、d、e 五點共球；(2)若 cbe 90 ，ce3，ad1，求 b、d 兩點的球面距離解析： (1)證明：取ab 的中點 p，連結 pe， pc，pd，由題設條件知aeb、 adb、 abc 都是直角三角形故 pe pdpc12abpapb. 所以 a、b、c、d、e 五點在同一球面上(2)解：由題意知四邊形bcde 為矩形，所以 bd ce3，在 rtadb 中，

43、 ab 2，ad1， dpb120 ， d、 b 的球面距離為23 . 17(本小題滿分10 分)如圖，四棱錐s abcd 的底面是正方形，sa底面 abcd，e是 sc 上一點(1)求證：平面ebd平面 sac；(2)假設 sa4，ab2，求點 a 到平面 sbd 的距離；解析： (1)正方形 abcd， bdac，又 sa平面 abcd， sabd，則 bd平面 sac，又 bd?平面 bed，平面bed平面 sac. (2)設 acbdo，由三垂線定理得bd12ac122ab12 2 22，sa4，則 sosa2ao216232，sbsd12bd so12 22 326.設 a 到面 b

44、sd 的距離為h，則 vsabdvabsd，即13sabd sa13sbsd h，解得 h43，即點 a 到平面 sbd 的距離為43. 18 (本小題滿分12 分 )如圖，正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab4，點 e 在 c1c 上且 c1e3ec. (1)證明 a1c平面 bed；(2)求二面角a1deb 的大小解析： 依題設知ab2，ce1，(1)證明：連結ac 交 bd 于點 f，則 bdac. 由三垂線定理知，bda1c. 在平面 a1ca 內，連結ef 交 a1c 于點 g，由于aa1fcacce22，故 rta1acrtfce， aa1c cfe ， cfe 與 f

45、ca1互余于是 a1cef. a1c 與平面 bed 內兩條相交直線bd、ef 都垂直所以 a1c平面 bed. (2)作 ghde，垂足為h，連結 a1h. 由三垂線定理知a1hde，故 a1hg 是二面角a1deb 的平面角efcf2ce23，cgcecfef23. egce2cg233. egef13，gh13effdde215. 又 a1caa21ac22 6，a1ga1ccg5 63，tana1hga1ghg55. 所以二面角a1deb 的大小為 arctan5 5. 19(本小題滿分12 分)如圖，四棱錐sabcd 的底面是直角梯形，abc bcd90 ，abbcsbsc2cd2，

46、側面 sbc底面 abcd . (1)由 sa 的中點 e 作底面的垂線eh，試確定垂足h 的位置；(2)求二面角ebca 的大小解析： (1)作 sobc 于 o，則 so?平面 sbc，又面 sbc底面 abcd，面 sbc面 abcdbc，so底面 abcd 又 so?平面 sao，面 sao底面 abcd，作 ehao， eh底面 abcd即 h 為垂足，由知，ehso，又 e 為 sa 的中點， h 是 ao 的中點(2)過 h 作 hf bc 于 f，連結 ef，由(1)知 eh平面 abcd， ehbc，又 ehhfh， bc平面 efh ， bcef， hfe 為面 ebc 和

47、底面 abcd 所成二面角的平面角在等邊三角形sbc 中， sobc，o 為 bc 中點，又bc 2. so22123，eh12so32，又 hf 12ab1，在 rtehf 中， tanhfe ehhf32132， hfearctan32. 即二面角 ebca 的大小為arctan32. 20(本小題滿分12 分 )(2010 唐山市高三摸底考試)如圖，在正四棱柱abcda1b1c1d1中， ab1，aa12， n 是 a1d 的中點， mbb1，異面直線mn 與 a1a 所成的角為90 . (1)求證：點m 是 bb1的中點；(2)求直線 mn 與平面 add1a1所成角的大小；(3)求二面角amna1的大小解析： (1)取 aa1的中點 p，連結 pm，pn. n 是 a1d 的中點， aa1pn，又 aa1mn，mnpnn，aa1面 pmn. pm?面 pmn， aa1pm， pmab，點 m 是 bb1的中點(2)由(1)知 pnm 即為 mn 與平面 add1a1所成的角在 rtpmn 中，易知pm 1，pn12，tanpnmp