1、第一章單自由度系統1.1 總結求單自由度系統固有頻率的方法和步驟。單自由度系統固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動量距定理法、 拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛頓第二定律法適用范圍：所有的單自由度系統的振動。解題步驟：（ 1） 對系統進行受力分析, 得到系統所受的合力；（ 2） 利用牛頓第二定律fxm, 得到系統的運動微分方程；（ 3） 求解該方程所對應的特征方程的特征根，得到該系統的固有頻率。2、 動量距定理法適用范圍：繞定軸轉動的單自由度系統的振動。解題步驟：（ 1） 對系統進行受力分析和動量距分析；（2） 利用動量距定理jm, 得到系統的運動微分方程；（3） 求解該方程所對應的特征

2、方程的特征根，得到該系統的固有頻率。3、 拉格朗日方程法：適用范圍：所有的單自由度系統的振動。解題步驟：（ 1）設系統的廣義坐標為，寫出系統對于坐標的動能t和勢能u的表達式；進一步寫求出拉格朗日函數的表達式：l=t-u ；（2）由格朗日方程lldt)(=0，得到系統的運動微分方程；（3） 求解該方程所對應的特征方程的特征根，得到該系統的固有頻率。4、 能量守恒定理法適用范圍：所有無阻尼的單自由度保守系統的振動。解題步驟：（1）對系統進行運動分析、選廣義坐標、寫出在該坐標下系統的動能t和勢能u的表達式；進一步寫出機械能守恒定理的表達式t+u=const （2）將能量守恒定理t+u=const對時

3、間求導得零,即0)(dtutd，進一步得到系統的運動微分方程；（3） 求解該方程所對應的特征方程的特征根，得到該系統的固有頻率。1.2 敘述用衰減法求單自由度系統阻尼比的方法和步驟。用衰減法求單自由度系統阻尼比的方法有兩個：衰減曲線法和共振法。方法一：衰減曲線法。求解步驟：（1）利用試驗測得單自由度系統的衰減振動曲線，并測得周期和相鄰波峰和波谷的幅值ia、1ia。（2）由對數衰減率定義)ln(1iiaa，進一步推導有212，因為較小，所以有2。方法二：共振法求單自由度系統的阻尼比。（1）通過實驗，繪出系統的幅頻曲線，如下圖：單自由度系統的幅頻曲線（2）分析以上幅頻曲線圖，得到：4/22/max

4、2,1；于是221)21 (n；進一步222)21 (n；最后nn2/2/12；1.3 敘述用正選弦激勵求單自由度系統阻尼比的方法和步驟。用正選弦激勵求單自由度系統阻尼比的方法有兩個：幅頻（相頻）曲線法和功率法。方法一：幅頻（相頻）曲線法當單自由度系統在正弦激勵tf sin0作用下其穩態響應為：)sin(tax, 其中：222222020414stnxnmfa； (1) 21/2arctan (2) 從實驗所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關差數，由上述（1） ， （2）式求得阻尼比。方法二：功率法：（1）單自由度系統在tf sin0作用下的振動過程中，在一個周期內，彈性力作功為0cw、阻尼力

5、做功為2awcd、激振力做作功為sin0fwf；（2）由機械能守恒定理得，彈性力、阻尼力和激振力在一個周期內所作功為零，即：cw+dw+0fw；于是sin0f-02ac進一步得：cfasin0；（3）當n時，1sin，則2maxstxa，得21max, max2。1.4 求圖 1-35 中標出參數的系統的固有頻率。（ 1）此系統相當于兩個彈簧串聯，彈簧剛度為k1、簡支梁剛度為3248leik； 等效剛度為k; 有21111kkk；31214848111lkeieikkkk l/2 l/2 則固有頻率為：mlkeieilmk3134848；圖 1-33（a）（2）此系統相當于兩個彈簧串聯, 等效

6、剛度為 : 3148leikk; l/2 l/2 1k則固有頻率為: 33148mleilkmk圖 1-33（b）m m (3) 系統的等效剛度為 m k1 k1 113333eieikkkll則系統的固有頻率為3133k leikmml圖 1-33（c）（4）由動量距定理00ifm得：（lkllkl2121212111）=221ml1k1k得：021mk，則mk21。圖 1-33（d）1.5 求下圖所示系統的固有頻率。圖中勻質輪a半徑 r,重物 b的重量為p/2, 彈簧剛度為k. 解：以為廣義坐標，則系統的動能為2022121ixmttt）（輪子重物2222244)21(21221xgpxg

7、prxrgpxgp）（圖 1-34 22xgp系統的勢能能為：221kxpxuuu彈簧重物；拉格朗日函數為l=t-u ; 由拉格朗日方程0)(xlxldt得0kxxgpm a b 0 x k 則，0=pkg所以：系統的固有頻率為pkg1.6 求圖 1-35 所示系統的固有頻率。圖中磙子半徑為r，質量為m ，作純滾動。彈簧剛度為 k 。解：磙子作平面運動， k 其動能 t=t平動 +t轉動。 x 圖 1-35 22221;211;222tmxxmrxtirr&平動轉動222434121xmxmxmt；而勢能221kxu；系統機械能ckxxmut222143; 由0uttdd得系統運動微分

8、方程023kxxm；得系統的固有頻率mkn32； 1.7求圖 1-36 所示齒輪系統的固有頻率。已知齒輪a的質量為ma，半徑為 ra，齒輪 b的質量為 mb，半徑為rb,桿 ac的扭轉剛度為ka, ,桿 bd的扭轉剛度為kb, 解：由齒輪轉速之間的關系bbaarr得角速度ababrr；轉角ababrr；系統的動能為：222121bbaabajjtttc a 22222241221221aababbbaaarmmrmrmt； b d r m 圖 1-36 系統的勢能為：222222221212121abababbaabbaarrkkkkkku; 系統的機械能為crrkkrmmutababaaab

9、a222222141；由0uttdd得系統運動微分方程021222ababaaabarrkkrmm；因此系統的固有頻率為：bababaaabababanmmrrkkrrmmrrkk22222212；1.8 已知圖所示振動系統中，勻質桿長為l，質量為 m ，兩彈簧剛度皆為k，阻尼系數為 c，求當初始條件000時（）tftfsin)(的穩態解； c f(t) （）tttf)()(的解； l/2 l/2 解：利用動量矩定理建立系統運動微分方程22222)(22lkltflklcj； k k 而222222212llllmldrlmrdmrj；圖得)(663222tlfklclml；化簡得)(663t

10、fmlmkmc (1) （）求tftfsin)(的穩態解；將tftfsin)(代入方程（ 1）得tfmlmkmcsin663 (2) 令;6;6;322mlfhmkmcnn得thnnsin22（3）設方程（ 3）的穩態解為)sin(tax（4）將（ 4）式代入方程（3）可以求得：2222222229664cmklfnhan；222632mkcarctgnarctgn；（）求)()(ttf的解；將)()(ttf代入方程（ 1）得)(663tmlmkmc（5）令;6;6;322mlhmkmcnn得)(22thnn（6）方程（ 6）成為求有阻尼的單自由度系統對于脈沖激勵)(th的響應。由方程（6）可

11、以得到初始加速度)(0th；然后積分求初始速度htdthtdthtd00000000)()(；再積分求初位移0)000000tdhtd；這樣方程（ 6）的解就是系統對于初始條件0、0和0的瞬態響應taexdtnsin；將其代入方程（6）可以求得：;0;dmha最后得temhtaexdtnddtnsinsin1.9 圖所示盒內有一彈簧振子，其質量為m ，阻尼為c，剛度為 k，處于靜止狀態，方盒距地面高度為h，求方盒自由落下與地面粘住后彈簧振子的振動歷程及振動頻率。解：因為在自由落體過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對位移。在粘地瞬間，由機械能守恒定理2021mvmgh的振子的初速度ghv2

12、0；底版與地面粘住后，彈簧振子的振動是對于初速度ghv20的主動隔振系統的運動微分方程為：0kxxcxm； k/2 c k/2 或;0 xmkxmcx或;022xxnxn h 系統的運動方程是對于初始條件的響應：taexdtnsin；dddnghxxxxa2020020；0000 xxxarctgnd；;sin2tghxdd1.10 汽車以速度v 在水平路面行使。其單自由度模型如圖。設m 、k、c 已知。路面波動情況可以用正弦函數y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽車上下振動的數學模型；（ 2）汽車振動的穩態解。解： （1）建立汽車上下振動的數學模型；由題意可以列出其運動方程：)()(1

13、1yycyykym y1其中：y表示路面波動情況；y1表示汽車上下波動位移。 k/2 c k/2 將其整理為：11yckykyycym (1) y(t) 將)sin(athy代入得)sin()cos(atkhatachkyycym圖(2) 汽車振動的穩態解: 設穩態響應為：)sin(ataym m 代入系統運動微分方程（1）可解得：hcmkcka222222)(2；)(tan(2223cmkkmcacra；1.11. 若電磁激振力可寫為thtf02sin)(，求將其作用在參數為m 、 k 、 c 的彈簧振子上的穩態響應。解：首先將此激振力按照傅里葉級數展開：10)sin()cos(2)(iii

14、tibtiaatf其中：dttitftati0)cos()(2；tidttitftb0)sin()(2因為)(sin)(02thtf是偶函數，所以0ib。于是)2cos(22)(0thhtf而)2/2sin(2)(0atakhtx；式中20220216)4(2nmhan；20242arctannna；mkmcnn2,21.12. 若流體的阻尼力可寫為3xbfd, 求其等效粘性阻尼。解： （1）流體的阻尼力為3xbfd；（ 2）設位移為)cos(tax，而tdxdx；（ 3）流體的阻尼力的元功為)(3tdxxbdxfdwdd；（ 4）流體的阻尼力在一個振動周期之內所消耗的能量為：4344343)

15、cos(abdtatabdtxbdxxbdxfwd（ 5）粘性阻尼力在一個振動周期之內所消耗的能量為：2ca（ 6）等效粘性阻尼：取n，令4343abn2aceqn可得：2243abcneqk k k 第二章兩個自由度系統2.1 求如圖 2-11 所示系統的固有頻率和固有振型，并畫出振型。解： （1）系統的振動微分方程)(2111xxkkxxm; x1 x22122)(kxxxkxm; m m 即02211kxkxxm；02212kxkxxm； （1）圖 2-11 （2）系統的特征方程根據微分方程理論，設方程組（1）的解為：)sin(11tax；)sin(22tax（2）將表達式（ 2）代入方

16、程組（1）得：0)sin()2(2112tkakaam0)sin()2(2122tkakaam（3）因為)sin(t不可能總為零，所以只有前面的系數為零：;0)2(;0)2(221212amkkakaamk；即00222122aamkkkmk；（4）（）系統的頻率方程若系統振動，則方程有非零解，那么方程組的系數行列式等于零，即：02222mkkkmk；展開得0342242kmkm；（5）系統的固有頻率為：mk /1；23/;km（6）（） 系統的固有振型將1，2代入系統的特征方程（4）式中的任一式，得系統的固有振型，即各階振幅比為：;11)1(2)1(1)1 (aa;11)2(2)2(1)2(

17、aa（7）系統各階振型如圖所示：其中（a）是一階振型， （ b）是二階振型。 +1 +1 +1 （a） (b) -1 （）系統的主振動系統的第一主振動為)sin()sin(;)sin()sin(1)1(1)1(11)1(2)1(21) 1(111)1(1)1(1tmkataxtmkatax系統的第一主振動為)3sin()sin(;)3sin()sin(1)2(1)2(12)2(2)2(21)2(112)2(1)2(1tmkataxtmkatax2.2 確定圖 2-12 所示系統的固有頻率和固有振型。解： （1）系統的動能2221222121)(21)2(21umumumumt u1 u2（2）

18、 系統的勢能 a 2m b m 因為彈簧上端a、 b兩點的位移;2;2221211uuuuuuuba k k 所以系統的勢能為2212211)2(2)22(2uukuuukv l l l )25(4222121uuuuk ; 圖 2-12 (3) 系統的 lagrange 函數)25(4212221212221uuuukumumvtl（4）系統的運動微分方程由 lagrange 方程2, 10julultddjj可得;022;02252212211ukkukumukkuum即;002222522121uukkkkuumm（）系統的特征方程設系統的運動微分方程的解為)sin(,)sin(2211

19、tautau代入系統的運動微分方程得系統的特征方程;022;02252221212akmkakakakm即;002222522122aakmkkkm（ 7） 系統的頻率方程系統的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數行列式為零;022225222kmkkkm即;02742242kkmm解得系統的固有頻率mkmk18.1;6.021；（）系統的固有振型將系統的固有頻率代入系統的特征方程中的任何一個可得系統的固有振型;67.11;28. 01)2()2(2)2(1)1()1(2)1(1aaaa（ 8）系統的主振動)6 .0sin(28.0)sin(;)6.0sin()sin(1) 1(111)1(

20、2)1(21)1(111)1(1)1(1tmkatautmkatau)18.1sin(67. 1)sin(;)18. 1sin()sin(1)2(111)2(2)2(21)2(111)2(1)2(1tmkatautmkatau2.3 一均質細桿在其端點由兩個線性彈簧支撐（圖2-13 ） ，桿的質量為m ，兩彈簧的剛度分別為 2k和 k。（1）寫出用桿端鉛直位移u1 和 u2 表示的運動方程； u1 c m u2 （2）寫出它的兩個固有頻率；（3）畫出它的兩個固有振型；解： (1) 均質桿的運動微分方程 2k k 以均質桿的靜平衡位置為坐標原點，均質桿的質心c的位移為;2121uuuc l 均質

21、桿繞質心c的轉角為;sin1221luuluu圖 2-13 均質桿的運動微分方程;2;)2(2121ukllkujuukumcc即212122121212;)2(2)(ukllkuluumluukuum即;26;)2(2)(21212121uukuumuukuum即;0612;02421212121kukuumumkukuumum（1）（2）系統的特征方程設運動微分方程 （1）的解為)sin(11tau、)sin(22tau，代入方程 （ 1）;0612;024212212212212kakaamamkakaamam即;0061224212222aamkkmmkmk（4）系統的頻率方程系統的特

22、征方程有非零解得充分必要條件是其系數行列式為零;0612242222mkkmmkmk即;024122242kkmm解得系統的兩個固有頻率066.3;612. 121；（5）系統的固有振型將系統的固有頻率代入系統的特征方程中的任何一個可得系統的兩階固有振型;67371;731)2()2(2)2(1)1()1(2)1(1aaaa（ 8）系統的兩階主振動)612.1sin(33. 2)sin(; )612.1sin()sin(1)1(111)1(2)1 (21)1(111)1(1)1 (1tatautatau)066.3sin(81. 1)sin(; )066.3sin()sin(1)2(111)2

23、(2)2(21)2(111)2(1)2(1tatautatau2.4 確定圖 2-14 所示系統的固有頻率和固有振型，并畫出固有振型。解： （1）系統運動微分方程;)(2;)(22122121uukumuukum即 u1 u2 2k ;022;0222212211kukkuumkukuum（1）（2）系統特征方程圖 2-14 設運動微分方程（1）的解為)sin(11tau和)sin(22tau，代入方程（ 1）;022;0221212amkkakaamk即;00222122aamkkkmk（ 3）系統頻率方程系統的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數行列式為零;02222mkkkmk即;03

24、24km解得mk3;021; （ 4）系統的固有振型將系統的固有頻率代入系統的特征方程中的任何一個可得系統的兩階固有振型;211;11)2()2(2)2(1)1()1(2)1(1aaaa +1 +1 +1 2m m -1/2 2.5 圖 2-15 所示的均質細桿懸掛成一擺，桿的質量為m ，長為 l，懸線長為l/2 ，求該系統的固有頻率和固有振型。解： （1）求均質細桿質心的坐標和質心的速度2121coscos2,sinsin2lylxcc；1 l/2 22112211sinsin2,coscos2lylxcc；2 c （2）求系統的lagrange 函數212222coscos212121mg

25、ljyxmvtlccc；圖 2-15 21222212122212coscos2124cos28mglmlml；（3）求系統的運動微分方程由 lagrange 方程2, 10jlltddjj可得;0234;02442221212212lmgmlmllmgmlml即;002002344421212222mglmglmlmlmlml（4）系統特征方程設運動微分方程 （1）的解為)sin(11ta和)sin(22ta，代入方程 （ 1）;0)32(4;04)42(222122222122amllmgamlamlamllmg即;00)32(44)42(2122222222aamllmgmlmlmllm

26、g（ 3）系統頻率方程系統的特征方程有非零解得充分必要條件是其系數行列式為零22222222()2440;()423lmlmlmgmllmlmg即;012142242ggl解得系統的兩個固有頻率;6.3;21lglg；（ 4）系統的固有振型將系統的固有頻率代入系統的特征方程中的任何一個可得系統的兩階固有振型;11131;11)2()2(2)2(1) 1() 1(2) 1(1aaaa +1 +1 +1 -13/11 2.6 兩層樓用集中質量表示如圖2-16 所示的系統。其中2121mm；2121kk；證明該系統的固有頻率和固有振型為：1;2;2;2)2(2)2(1)1(2)1(1112111xx

27、xxmkmk；解： (1) 系統振動微分方程002221122221211111xkxkxmxkxkxm（1）系統特征方程002222212121211211amkakakamk（2）（3）系統頻率方程因為考慮系統振動的情況，所以要求方程（2）有非零解。而方程（2）有非零解的充要條件是其系數行列式等于零： x1 m1 0222212121211mkkkmk k1 即1211mk） （2222mk）02112kk (3) x2 m2 （2）系統特征方程設方程組的解為1122sinsinxatxat代入方程組（1）式得（4）系統固有頻率 k2 根據已知條件111kk，11221kkk，121223

28、kkkk，2121mm，2121kk; 圖 2-16 121223kkkk，2121mm，2121kk; 代入（ 3）式得0252111142mkmk，11122mk ,11222mk；（6）系統固有振型：將系統固有頻率代入系統特征方程（2）得系統固有振型221111111212)1(2)1(1kkkkmkaa；121111112212)2(2)2(1kkkkmkaa；（7）系統的主振動：2)1(2)1(1) 1(2) 1(1aaxx；1)2(2)2(1)2(2)2(1aaxx；證畢。27 如圖 2-17 所示的系統，設激振力為簡諧形式，求系統的穩態響應。 m1 x1 m2 x2 k1 k2

29、圖 2-17 解: (1)建立系統運動微分方程根據牛頓第二定律，分別對1m和2m列出振動微分方程：m 0)()()(122222121111xxkxmtfxxkxkxm（ 1-1）即：0)sin)(22122222212111xkxkxmtemxkxkkxm（1-2 ）(2 求系統的穩態響應：設系統的穩態響應為)sin()sin(222111ataxtax（1-3 ）即tdtdxtctcxcossincossin212211（1-4 ）將表達式 （1-4 ） 代入式（1-2 ） ，根據兩個方程中包含tsin的系數和為零及包含tcos的系數和為零，可得如下方程組：;0)(;)(222212121

30、212121dkckkmemdkckkm即;0;0)(2222122212dkckdkmck（1-5 ）求解方程組（ 1-5 ）得：022dc;0;)(22222212122214212212222121222142122221dckmkkkmkmmmekmdkmkkkmkmmmmkemc（1-6 ）所以在公式)sin(,)sin(222111ataxtax中有;0;)(21222212122214212222222121222142122221kmkkkmkmmmekmakmkkkmkmmmmkema（1-7 ）2.8 在如圖 2-18 所示的系統中， 一水平力fsin( t) 作用于質量塊

31、m上， 求使 m不動的條件。解： （1）系統有兩個自由度，選廣義坐標為x, （2）系統的動能cos221)(212121222xmllmxmxmt x （ 3）系統的勢能 k m k )cos(2212lmglkxu（4）lagrange 函數 l utl圖 2-18 m coscos21xm)(m212222mglmglkxxmlmll（5）對 lagrange 函數求導;sinsin;cos)(;cos;2;cos)()(;cos)(22mglxmllxmlmlldtdxmlmllkxxlmlxmmxldtdmlxmmxl（6）lagrange 方程0)(sin)(lldtdtfxlxld

32、td得0sinsincossin2cos)(2mglxmlxmlmltfkxmlxmm因為振動為微幅振動，所以sin,1cos2（8）解方程：設taxsin，tbsin代入方程并整理得：02)1()(22222222bmglmlabamlbmlfakmlbmma因為 m不動，所以a=0。而 b不能等于零，故，022mlmgl，解得lg；2.9 在圖 2-19 所示的系統中，軸的彎曲剛度為ej，圓盤質量為m，它對其一條直徑的轉動慣量為 i=mr2/4，其中 r=l/4 。設軸在它的靜平衡位置時是水平的，且忽略軸的質量。求系統的運動微分方程和固有頻率。l 解： （1）系統自由度、廣義坐標：圖 2-

33、19 所示的系統自由度n=2，選 y、為廣義坐標。r v （ 2）系統運動微分方程;22121211iymiymy（1）其中系數：;,2,322212311ejlejlejl（ 3）系統特征方程設tataysin,sin21代入方程（ 1）得;0)sin()sin()sin(;0)sin()sin()sin(222212122221212111taitamtataitamta整理得;0012231112222223222212212211ejlejlejilejmlimim（2）（4）系統固有頻率特征方程（ 2）由非零解的充分必要條件是其系數行列式等于零：;0122312222223ejlej

34、lejilejml即2334221910;48192l ml mejej解得：;6. 8,62.121mlejlmlejl2.10 圖 2-20 所示的是兩自由度系統。其中)cos(1tpp， k=987,m=1 ， c=0.6284，0628.0c,求系統的固有頻率、振型和u1的穩態響應。解： （1）系統自由度、廣義坐標u1 u2 系統自由度n=2 ；c cc 廣義坐標選u1 和 u2 k k（ 2）系統運動微分方程k kk 根據牛頓第二定律，寫出;)()(;)()(122122211121211uukuucuckuumpucuucuukkuum圖 2-20 寫成矩陣形式：m p1m ;0cos00212121tpuukkkkkkuuccccccuumm（2）系統的固有頻率和振型對于系統運動微分方程兩邊作拉氏變換得;0)()()(;)()()(22122212sukksccmssukscspssukscsukksccms有;0)()(22kksccmskscksckksccms解得;37.37346.0,4.3131.04, 32, 1jsjs因此;37.37,4.3121系統的固有振