1、-裝-訂-線-第 15 屆 wmo 世界奧林匹克數(shù)學競賽（中國區(qū)）選拔賽-考生須知：1. 每位考生將獲得一份試卷。考試期間，不得使用計算工具或手機。2. 本卷共 120 分，選擇題每小題4 分，填空題每小題5 分，解答題共 5 小題，共 50 分。3. 請將答案寫在本卷上。考試完畢時，考卷及草稿紙會被收回。4. 若計算結果是分數(shù)，請化至最簡。九年級地方晉級賽復賽a卷（本試卷滿分120 分 ，考試時間90 分鐘 ）1、選擇題 （每小題4 分，共 40 分）1用科學記數(shù)法可以表示為（）252a810-1 b810-2 c2.310-1 d2.310-22如圖， o 為線段 ab 的中點， ab=4

2、cm，p1、p2、p3、p4到點 o 的距離分別是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四點中能與a、b 構成直角三角形的頂點是（）ap1bp2cp3dp4第 2 題圖第 3 題圖第 4 題圖3如圖，圓上有a、b、c 三點，直線l 與圓相切于點a，cd 平分 acb，且與 l 交于點 d，若=80，=60 ，則 adc 的度數(shù)為（）abbca80b85c90d954如圖， oab 與ocd 是以點 o 為位似中心的位似圖形，相似比為1：4， ocd=90 ， co=cd若點 b 的坐標為（ 1，0），則點c 的坐標為（）a（ 2，2）b（ 2，4）c（ 2，2）d（ 4， 2）225方程

3、組的解的個數(shù)為（）6|,12|yxyxa1b2c3d46若等式（a、b 為常數(shù)）成立，則a、b 的值為（）23) 3)(2(1xbxaxxxaa=4，b=3 ba=2，b=1ca=1，b=1da=1，b=27小夢每周有100 元零用錢，一小塊巧克力3 元，一根棒棒糖2元小夢的幸福值可以用公式 “幸福值 =巧克力塊數(shù) 棒棒糖根數(shù) ”來表示，則小夢一個月可達到的幸福值最高為（）a300b405c416d4508如圖，矩形臺球桌abcd，其中 a、b、c、d 處有球洞，已知de=4，ce=2，bc=，球從 e 點出發(fā)，與dc 夾角為 ，經(jīng)過 bc、ab、ad36三次反彈后回到e 點，則關于tan的說

4、法下列正確的是（）a tan b tan ctan = d tan 33323343323334339如圖，已知反比例函數(shù)y=的圖象過 rt abo 斜邊 ob 的中點 d，與直xk角邊 ab 相交于 c，連結 ad、oc，若 abo 的周長為4+2， ad=2，5-裝-訂-線-則 aco 的面積為（）abc1d 2412110將直線l1：y=x 和直線 l2：y=2x+1 及 x 軸圍成的三角形面積記為s1，直線 l2：y=2x+1 和直線 l3：y=3x+2 及 x 軸圍成的三角形面積記為s2， ，以此類推，直線ln：y=nx+n1和直線 ln+1：y=（n+1）x+n 及 x 軸圍成的三

5、角形面積記為sn，記 w=s1+s2+ +sn，當 n越來越大時，你猜想w 最接近的常數(shù)是（）abcd322131412、填空題 （每小題5 分，共 30 分）11已知 a25a1=0，則 5（1+2a） 2a2=_12宜君手上有24 張卡片，其中12 張卡片作上 “o”記號，另外12 張卡片作上 “x”記號右圖表示宜君從手上拿出6 張卡片放在桌面的情形，且她打算從手上剩下的卡片中抽出一張卡片，若她手上剩下的每張卡片被抽到的概率相等，則她抽出記號為“ o”的卡片的概率是_13如圖，在 abc 中， bac=90 ，ab=ac，ad 是經(jīng)過 a 點的一條直線，且b、c 在 ad的兩側， bd a

6、d 于 d，ce ad 于 e，交 ab 于點 f，ce=10，bd=4，則 de 的長為 _第 13 題圖第 14 題圖第 16 題圖14如圖，將半徑為5 的半圓的直徑平行于桌面上的直線b，然后把半圓沿直線b 進行無滑動滾動，直到半圓的直徑與直線b 重合為止，則圓心o 運動路徑的長度為15正數(shù) m， n滿足 m+4n=3，則的值為nmmn4242016282nmnm16已知正方形abcd 的邊長為5，點 e 在 bc 邊上運動，點g 是 de 的中點， eg 繞點 e 順時針旋轉90 得到 ef，當 ce=時，點a、c、f 在一條直線上-裝-訂-線-三、解答題 （共 5 小題，共 50 分）

7、17解不等式：（ 8分）)1)(221 () 1)(31(22yyyy（18如果有理數(shù)m 可以表示成2x26xy+5y2（其中 x、y 是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù) ”那么兩個 “世博數(shù) ”之積也是 “世博數(shù) ” 嗎？請證明（9 分）19如圖，要設計一本畫冊的封面，封面長40cm，寬 30cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形畫如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的，上、下邊襯等寬，左、右邊51襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（結果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)2.236 ）（ 10 分）520如圖是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側面抽象成如圖所示的幾何圖形，若顯示屏

8、所在面的側邊ao 與鍵盤所在面的側邊bo 長均為 24cm，點 p 為眼睛所在位置，d為 ao 的中點，連接pd，當 pd ao 時，稱點 p 為 “最佳視角點 ”，作 pc bc，垂足 c在 ob 的延長線上，且bc=12cm（ 1）當 pa=45cm 時，求 pc 的長；（ 5分）（ 2）若 aoc=120 時， “最佳視角點 ” p 在直線 pc 上的位置會發(fā)生什么變化？此時pc 的長是多少？請通過計算說明（結果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)： 1.414 ， 1.732 ）23（5 分）-裝-訂-線-圖圖21已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為a（2，0），且與y 軸交于點（ 0， 1）， b 點

9、坐標為（ 2，2），點 c 為拋物線上一動點，以c 為圓心， cb 為半徑的圓交x 軸于 m，n 兩點（ m 在 n 的左側）（ 1）求此二次函數(shù)的表達式；（3 分）（ 2）當點 c 在拋物線上運動時，弦mn 的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出弦mn 的長；（ 4 分）（ 3）當 abm 與 abn 相似時，求出m 點的坐標（6 分）備用圖九年級 a 卷答案3、選擇題（每小題 4 分，共 40 分）1.b 2.b 3.c 4.a 5.a 6.b 7.c 8.c 9.a 10.b5.當 x0 ，y0 時，原方程組可化為：解得由于 y0 ，所以此種情況不成,6,12yxyx;

10、 3, 9yx立；當 x0 ，y0 時，原方程組可化為：解得當 x0 ， y0 時，, 6,12yxxy;9, 3yx無解；當x0 ，y0 時，無解；因此只有一組解, 6,12yxyx,6,12yxxy7.設巧克力和棒棒糖的數(shù)量分別為x， y，幸福值為w，根據(jù)題意得：3x+2y 100 ，w=xy， y=，xw-裝-訂-線- 3x+2 100 ， w 50 xx2=（ x）2+， x，y 為整數(shù)， x=16，y=26xw232335031250時， w最大=xy=4168.如圖， de=4，ce=2，球從 e 點出發(fā)，與dc 夾角為 ，經(jīng)過 bc、ab、ad 三次反彈后回到 e 點， 四個三角

11、形相似，并且相對的兩個三角形全等， cf=bc=2， 在 rt cef 中， tan =2113cecf39.在 rt aob 中， ad=2， ad 為斜邊 ob 的中線， ob=2ad=4，由周長為4+2，得到 ab+ao=2，設 ab=x，則55ao=25x，根據(jù)勾股定理得：ab2+oa2=ob2，即 x2+（2x）2=42， 整理得： x22x+2=0，55解得 x1=+，x2=， ab=+，oa=，過 d 作 de x 軸，53535353交 x 軸于點 e，可得 e 為 ao 中點， oe=oa=（）（若 oa=+，21215353求出結果相同），在rt deo 中，利用勾股定理得

12、：de=（+）， k=de? oe=（+）21532153（） =， s aoc=|k|=215321214110.將 y=nx+n1 和 y=（n+1）x+n 聯(lián)立得：解得： 無論 k 取何,)1(, 1nxnynnxy. 1, 1yx 值，直線ln和直線 ln+1均交于定點（1，1）， k1時， ln與 ln+1的圖象的示意圖如圖， y=nx+n1 與 x 軸的交點為a（， 0）， y=（n+1）x+n 與 x 軸的交點為b（，nn11nn0）， sn=sabc= |ab|1|=1=，2121|11|nnnn)1(21nn當 n=1 時，結論同樣成立 w=s1+s2+s3+ +sn=（1+

13、）1132121121（nn21212131111nn=（1）=當 n 越來越大時，越來越接近與12111n121nn1nn越來越接近于， w 越來越接近于121nn21214、填空題（每小題5 分，共 30 分）11.3 12.13.6 14.5 15.16.94201953513. bac=90 ，ab=ac， bad+ cad=90 ， ce ad 于 e， ace+ cae=90 ， bad= ace， abd cae（aas ）， ae=bd=4， ad=ce=10， de=adae=614.由圖形可知，圓心先向前走oo1的長度，圓心從o 到 o1的運動軌跡是一條直線，長度為圓的周長

14、，然后沿著弧o1o2旋轉圓的周長，則圓心o 運動路徑的長度為：25+414141 2 5=541-裝-訂-線-15. m+4+4n=3， m+4+4n2（+2）3=0，nmmn42mnmn （+2）22（+2）mnmn3=0， （+23）（+2+1）=0，mnmn+2=3，+2）=1（不合題意，舍去）， 原mnmn式=20163832019516.過 f 作 fn bc，交 bc 延長線于n 點，連接ac， dce= enf=90 ， dec + nef=90 ， nef+ efn=90 ， dec= efn， rt fnertecd， de 的中點 g，eg 繞 e 順時針旋轉90 得 ef

15、， de:ef=2:1， ce:fn=de:ef=dc:ne=2:1， ce=2nf ，ne=cd=2125 acb=45 ， 當 ncf =45 時， a、c、f 在一條直線上則 cnf 是等腰直角三角形， cn=nf， ce=2cn， ce=ne= ce=時， a、c、f 在一條直線上32322535355、解答題（共 5 小題，共 50 分）17.解： y2+10，則原不等式可化為1+1，解得 y1.23y22y18.解：是的證明如下： m=2x26xy+5y2=（x2y）2+（xy）2，其中 x、y 是有理數(shù)， “世博數(shù) ”m=p2+q2（其中 p、q 是任意有理數(shù)），只需p=x2y，

16、q=xy 即可 對于任意兩個“世博數(shù) ”，不妨設一個為a=j2+k2，另一個為b=r2+s2，其中 j、k、r、s 為任意給定的有理數(shù)，則ab=（j2+k2）（ r2+s2）=（jr +ks）2+（jskr）2是 “ 世博數(shù) ” 19.解一：設上、下邊襯寬均為4xcm，左、右邊襯寬均為3xcm，則（ 408x）（ 306x）= 40 3054整理，得x210 x+5=0，解之得x=52， x1 0.53 ，x2 9.47 （舍去），5答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm解二：設中央矩形的長為4xcm，寬為 3xcm，則 4x3 x= 40 30，解得 x1=4，x2=54

17、54（舍去）， 上、下邊襯寬為208 2.1 ，左、右邊襯寬均為156 1.6 ，555答：上、下邊襯寬均為2.1cm，左、右邊襯寬均為1.6cm20.解：（ 1）如圖，當pa=45cm 時，連接po d 為 ao 的中點， pd ao， po=pa=45cm bo=24cm，bc=12cm， c=90 ， oc=ob+bc=36cm， pc=27（cm）；223645（2）當 aoc=120 ，如圖，過d 作 de oc 交 bo 延長線于e，過 d 作 df pc 于 f，則四邊形decf 是矩形在rt doe 中， doe=60 ，do=ao=12，21 de=do?sin60 =6 ，

18、eo=do=6， fc=de=6，df=ec=eo+ob+bc=32136+24+12=42 在 rtpdf 中，易求得 pdf =30 ， pf=df ?tan30 =42 =14，333 pc=pf+fc=14+6=20 34.64 27，333 點 p 在直線 pc 上的位置上升了-裝-訂-線-21.解：（ 1）設拋物線的表達式為y=a（x2）2 將（ 0，1）代入得： 4a=1，解得 a=，41 拋物線的解析式為y=（x2）241（2）mn 的長不發(fā)生變化理由如下：如圖 1 所示，過點c 作 ch x軸，垂足為h，連接 bc、cn設點 c 的坐標為（ a，） ch mn， mh=hn2)2(41a hn2=cn2ch2=cb2ch2， hn2=22+（a2）22=42)2(41a2)2(41a hn=2 mn=4 mn 不發(fā)生變化（3）