1、【知識點梳理】1 一次函數和正比例函數的概念若兩個變量x，y 間的關系式可以表示成y=kx+b（ k，b 為常數， k0）的形式，則稱y 是 x 的一次函數（ x 為自變量） ，特別地，當b=0 時，稱 y 是 x 的正比例函數. 例如： y=2x+3，y=-x+2 ，y=21x 等都是一次函數，y=21x，y=-x 都是正比例函數 . 【說明】（1）一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定. （2）一次函數y=kx+b（k，b 為常數， b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量 x 的次數為1，一次項系數k 必須是不

2、為零的常數，b 可為任意常數 . （3）當 b=0，k0 時， y= kx 仍是一次函數 . （4）當 b=0，k=0 時，它不是一次函數. 2 函數的圖象把一個函數的自變量x 與所對應的y 的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象畫函數圖象一般分為三步：列表、描點、連線3 一次函數的圖象由于一次函數y=kx+b（ k，b 為常數， k0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b 的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y 軸的交點

3、（ 0，b） ，直線與 x 軸的交點（ -kb，0）. 但也不必一定選取這兩個特殊點. 畫正比例函數 y=kx 的圖象時，只要描出點（0，0） ， （1， k）即可 . 4 一次函數 y=kx+b（k，b 為常數， k0）的性質（1）k 的正負決定直線的傾斜方向；k0 時， y 的值隨 x 值的增大而增大；ko時， y 的值隨 x 值的增大而減小（2）|k| 大小決定直線的傾斜程度，即|k| 越大，直線與x 軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k| 越小，直線與x 軸相交的銳角度數越小（直線緩）；（3）b 的正、負決定直線與y 軸交點的位置；當 b0 時，直線與y 軸交于正半軸上；當 b0 時，

4、直線與y 軸交于負半軸上；當 b=0 時，直線經過原點，是正比例函數（4）由于 k，b 的符號不同，直線所經過的象限也不同；當 k0，b 0 時，直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）；當 k0，b o時，直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）；當 ko ，b 0 時，直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）；當 ko ，b o時，直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限）（5）由于 |k| 決定直線與x 軸相交的銳角的大小，k 相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的 另外， 從平移的角度也可以分析，例如：直線 y=x 1 可以看作是正比例

5、函數y=x 向上平移一個單位得到的【例題解析】例 1 下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x ；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x2. 例 2當 m為何值時，函數y=- （m-2）x32m+（ m-4）是一次函數？【小結】某函數是一次函數應滿足的條件是：一次項（或自變量）的指數為1，系數不為0而某函數若是正比例函數，則還需添加一個條件：常數項為0例 3一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，并且每掛1kg 的物體，彈簧就伸長05cm ，寫出掛上物體后，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的

6、質量x(kg ）之間的函數關系式，寫出自變量x 的取值范圍，并判斷y 是否是 x的一次函數例 4 某物體從上午7 時至下午4 時的溫度m （）是時間t（時）的函數： m=t2-5t+100 （其中 t=0 表示中午12 時，t=1表示下午 1 時） ，則上午10 時此物體的溫度為例 5 已知 y-3 與 x 成正比例，且x=2 時， y=7. （1）寫出 y 與 x 之間的函數關系式；（2）當 x=4 時，求 y 的值；（3）當 y=4 時，求 x 的值跟蹤練習：已知y 與 x+1 成正比例，當x=5 時， y=12，則 y 關于 x 的函數關系式是 . 【注意】 y 與 x+1 成正比例，表

7、示y=k(x+1) ，不要誤認為y=kx+1. 例 6 若正比例函數y= （1-2m）x 的圖象經過點a （x1，y1）和點 b （ x2，y2） ，當 x1x2時，y1y2，則 m的取值范圍是 （）am o b m 0 cm 21d m m 例 7求圖象經過點（2，-1 ） ，且與直線y=2x+1 平行的一次函數的表達式例 8已知 y+a 與 x+b（ a，b 為是常數）成正比例（1）y 是 x 的一次函數嗎？請說明理由；（2）在什么條件下，y 是 x 的正比例函數？例 9 某移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先交50 元月租費，然后每通話1 分，再付電話費04元； “神州行”

8、使用者不交月租費，每通話1 分，付話費06元（均指市內通話）若1 個月內通話x 分，兩種通訊方式的費用分別為y1元和 y2元（1）寫出 y1，y2與 x 之間的關系；（2）一個月內通話多少分時，兩種通訊方式的費用相同？（3）某人預計一個月內使用話費200 元，則選擇哪種通訊方式較合算？例 10已知 y+2 與 x 成正比例，且x=-2 時， y=0（1）求 y 與 x 之間的函數關系式；（2）畫出函數的圖象；（3）觀察圖象，當x 取何值時， y0？（4）若點（ m ，6）在該函數的圖象上，求m的值；（5）設點 p在 y 軸負半軸上， （2）中的圖象與x 軸、 y 軸分別交于a，b兩點，且sab

9、p=4，求 p點的坐標例 11已知一次函數y=（3-k ） x-2k2+18. （1）k 為何值時，它的圖象經過原點？（2）k 為何值時，它的圖象經過點（0，-2 ） ? （3）k 為何值時，它的圖象與y 軸的交點在x 軸的上方？（4）k 為何值時，它的圖象平行于直線y=-x ？（5）k 為何值時， y 隨 x 的增大而減小？例 12判斷三點a（3， 1） ，b（ 0，-2 ） ，c（4， 2）是否在同一條直線上 分析 由于兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函數表達式，再把第三個點的坐標代入表達式中，若成立，說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上【課后習題】1. 如圖，你能找

10、出下列四個一次函數對應的圖象嗎？請說出你的理由.（1）12xy； （2）13xy；（3）xy；（4）xy32xyoxxxyyyooo2. （1）判斷下列各組直線的位置關系：xy與1xy；213xy與2131xy（2）已知直線532xy與一條經過原點的直線l平行， 則這條直線l的函數關系 _ ；若直線a與直線l垂直且過點（0，-2） ，則直線a的函數關系式為3. （1）一次函數xy3的圖象經過 _ 象限，y隨x的增大而 _；（2）一次函數nmxy的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（） a0,0 nmb0,0 nmc0,0 nmd0,0 nm4在下列四個函數中，y值隨x值的增大而減小的是（） ax

11、y2b63xyc52xyd73xy5如圖，已知一次函數kkxy的圖象大致是（） abcd6直線32xy與x軸正方向所成的銳角為，直線13xy與x軸正方向所成的銳角為，則與的關系為（） abcd無法確定7已知一次函數kkxy，若y隨x的增大而減小，則該函數的圖象經過（） a第一、二、三象限b第一、二、四象限c第二、三、四象限d第一、三、四象限8如圖，某裝滿水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按同樣速度注水，水池注滿后，停止注水，又立即按同樣的速度放完水池的水若水池的存水量為v（3m） ，放水或注水的時間為t（min） ，則v與t的關系的大致圖象只能是（） o x y abcd9函數3)2(1mxmy的圖象是一條直線，則m10如果直線2kxy，y隨x的增大而增