1、數學（一）試題第 1 頁（共 4 頁）2017 年全國碩士研究生入學統一考試數學（一）試題一、選擇題： 18 小題，每小題4 分，共 32 分下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上（1）若函數1cos,0( ),0 xxf xaxb x在x連續，則(a) 12ab(b) 12ab(c) 0ab(d) 2ab【答案】 a 【詳解】由01 cos1lim2xxbaxa,得12ab. （2）設函數fx可導，且( )( )0f x fx則(a) 11ff(b) 11ff (c) 11ff(d) 11ff. 【答案】 c 【詳解】2( )( )( )

2、02fxf x fx,從而2( )fx單調遞增 ,22(1)( 1)ff. （3）函數22( , , )f x y zx yz在點(1,2,0)處沿著向量(1,2,2)n的方向導數為(a) 12(b) 6(c) 4(d)2【答案】 d 【詳解】方向余弦12cos,coscos33,偏導數22,2xyzfxy fxfz,代入coscoscosxyzfff即可 . （4）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位： m)處 .圖中，實線表示甲的速度曲線1( )vv t(單位： m/s)，虛線表示乙的速度曲線2( )vv t(單位： m/s)，三塊陰影部分面積的 數 值 一 次 為10 ， 20

3、 ， 3 ， 計 時 開 始 后 乙 追 上 甲 的 時 刻 記 為 ( 單 位 ： s) ， 則數學（一）試題第 2 頁（共 4 頁）(a) 010t(b) 01520t (c) 025t(d) 025t【答案】 c 【詳解】在025t時,乙比甲多跑10m,而最開始的時候甲在乙前方10m 處. （5）設為n維單位列向量，e為n階單位矩陣，則(a) te不可逆(b) te不可逆(c) t2e不可逆(d) t2e不可逆【答案】 a 【詳解】可設t,則t的特征值為1,0,0,從而te的特征值為0 11, ,因此te不可逆 . （6）設有矩陣200021001a，210020001b，122c(a)

4、a與c相似，b與c相似(b) a與c相似，b與c不相似(c) a與c不相似，b與c相似(d) a與c不相似，b與c不相似【答案】 b 【詳解】,a b的特征值為2 2 1, ,但a有三個線性無關的特征向量,而b只有兩個 ,所以a可對角化 , b則不行 . （7）設,a b為隨機事件，若0()1p a，0( )1p b，則(|)(|)p a bp b a的充分必要條件(a) (|)(|)p b ap b a(b) (|)(|)p b ap b a(c) (|)(|)p b ap b a(d) (|)(|)p b ap b a【答案】 a 【詳解】由(|)(|)p a bp a b得()()( )

5、()()()1()p abp abp ap abp bp bp b, 即()( )( )p abp a p b; 數學（一）試題第 3 頁（共 4 頁）由(|)(|)p b ap b a也可得()() ()p abp a p b. （8）設12,(2)nxxxn為來自總體( ,1)n的簡單隨機樣本，記11niixxn，則下列結論不正確的是(a)21()niix服從2分布(b) 212()nxx服從2分布(c) 21()niixx服從2分布(d) 2()n x服從2分布【答案】 b 【詳解】222211(0,1)() ( ),() (1)1nniiiiixnxnxxn; 221( ,), ()

6、(1);xnn xn2211()(0,2),(1)2nnxxxxn. 二、填空題： 914 小題，每小題4 分，共 24 分請將答案寫在答題紙指定位置上（9）已知函數21( ),1f xx(3)(0)f【答案】 0 【詳解】2421( )1( 11)1f xxxxx,沒有三次項 . （10）微分方程032yyy的通解為【答案】12e(cos 2sin2 )xycxcx【詳解】特征方程2230rr得12ri,因此12e (cos2sin2 )xycxcx. （11）若曲線積分lyxaydyxdx122在區域1),(22yxyxd內與路徑無關，則a【答案】1【詳解】有題意可得qpxx,解得1a.

7、（12）冪級數111) 1(nnnnx在(-1,1)內的和函數( )s x數學（一）試題第 4 頁（共 4 頁）【答案】21(1)x【詳解】112111( 1)() (1)nnnnnnxxx. （13）110211101a，321，是 3 維線性無關的列向量，則321,aaa的秩為【答案】 2 【詳解】123(,)( )2rraaaa（14）設隨即變量x的分布函數4( )0.5( )0.5()2xf xx，其中)(x為標準正態分布函數，則ex【答案】 2 【詳解】00.54( )d0,5( )()d222xexxfxxxxx.三、解答題： 1523 小題，共94 分解答應寫出文字說明、證明過程

8、或演算步驟請將答案寫在答題紙指定位置上（15） （本題滿分10 分） 設函數( , )f u v具有 2 階連續偏導數，(e ,cos ),xyfx求2200,xxdyd ydxdx. 【答案】(e ,cos )xyfx121211121212222211122sin ,0(1,1)sin(sin)sincos0(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxdyf efxdxdyxfdxd yf efx ef ef efxxfxdxd yxfffdx（16） （本題滿分10 分） 求2limln(1)nkknn. 【答案】數學（一）試題第 5 頁（共 4 頁）212221120012202limln

9、(1)1122limln(1)ln(1).ln(1)11122limln(1)ln(1).ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221nknnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnxx dxx dxxxxdxxx1011002111ln 2(1)22111111ln 2()ln(1)0022211 11ln 2(1ln 2)22 24dxxxdxdxxxxx（17） （本題滿分10 分） 已知函數)(xy由方程333320 xyxy確定，求)(xy的極值 . 【答案】333320 xyxy，方程兩邊對x求導得：2233330 xy yy，令0y，得23

10、3,1xx. 當1x時1y，當1x時0y. 方程兩邊再對x求導：2266 ()330 xy yy yy，令0y，26(31)0 xyy，當1x，1y時32y，當1x，0y時6y. 所以當1x時函數有極大值，極大值為1，當1x時函數有極小值，極小值為0. （18） （本題滿分10 分） 設函數( )f x在區間0,1上具有 2 階導數，且(1)0f，0( )lim0 xf xx.證明：（i）方程( )0f x在區間(0,1)內至少存在一個實根; 數學（一）試題第 6 頁（共 4 頁）（ii）方程2( )( )( )0f x fxfx在區間(0,1)內至少存在兩個不同實根. 【答案】(1)0( )

11、lim0 xfxx，由極限的局部保號性，(0, ),( )0cf c使得，又(1 )0,f由零點存在定理知，(c,1)，使得，( )0f. (2) 構造()()fxfxfx，(0)(0)(0)0fff，( )( )( )0fff，0( )lim0,(0)0,xf xfx由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),( )010fff，(0)( )0,ff所 以 由 零 點 定 理 知1( 0 ,)( 0 , 1 )， 使 得1 ()0f，111()()()0,fff所以原方程至少有兩個不同實根。（19） （本題滿分10 分） 設薄片型物體s是圓錐面22yxz被xz22割下的有限部分， 其上任意一

12、點處的密度為2229),(zyxzyx，記圓錐面與柱面的交線為c；（i）求 c 在xoy平面上的投影曲線的方程；（ii）求 s 的質量 m。【答案】 (1)c的方程為2222zxyzx，投影到xoy平面的方程為：22(1)10 xyz2222222(2)( , , )9+92+mu x y z dsxyz dsxyxy ds2cos22322022818+18cos3dxy dxdyd320296cos96(1)643d（20）(本題滿分11 分 )設3矩陣123(,)a有 3 個不同的特征值，3122（ i）證明：(a)2r; （ ii）若123，求方程組ax的解 . 數學（一）試題第 7

13、頁（共 4 頁）【答案】.00121, 021321321213的特征值是，故，a又a有三個不同的特征值，故01為單根，且a一定能相似對角化. .2)()(,rara（2）由（ 1） ，0ax的通解為tk1,2 , 1，321，故有ta1 , 1 , 1111,321，即. ).()1 , 1 , 1(1,2, 1為任意常數的通解為kkaxtt（21） （本題滿分11 分） 設二次型222123123121323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交變換qyx下的標準形為221122yy，求a的值及一個正交矩陣q。（21）【答案】二次型的矩陣aa14111412，因為二次

14、型在正交變換下的標準形為221122yy，故a有特征值 0，0a，故2a. 由0)6)(3(214111412ae得特征值為0,6, 3321. 解齊次線性方程組0 xaei，求特征向量. 數學（一）試題第 8 頁（共 4 頁）對31，0001101015141214153ae,得1111；對62，0000101014141714146ae,得1012；對03，0002101012141114120ae,得1213；因為123,屬于不同特征值，已經正交，只需規范化：令ttt1 , 2, 161,1 ,0 , 121,1 , 1, 1313222111，所求正交矩陣為61213162031612

15、131q,對應標準形為222163yyf. （22） （本題滿分11 分） 設隨機變量x與y相互獨立，且x的概率分布為1x0x22pp，y的概率密度為2 ,01( )0,yyfy其他 .（ i）求yeyp（ ii）求zxy的概率密度。22、【答案】（1）32d2d)(10yyyyyyfeyy，94d2d)(32032yyyyfeyypy. （2）z的分布函數為數學（一）試題第 9 頁（共 4 頁）)2()(212212202,0,)(zfzfzypzypzyxpzyxpxzyxpxzyxpzzpzfyyz，故z的概率密度函數為其它,032,210,3, 032,221, 010,0, 0)2(

16、)(21)()(zzzzzzzzzzzzfzfzfzfzz. （23） （本題滿分11 分） 某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n 次測量， 該物體的質量是已知的 .設 n 次測量結果nxxx,21相互獨立且均服從正態分布),(2n.該工程師記錄的是n 次測量的絕對誤差), 2, 1(nixzii.利用nzzz,21估計. （i）求iz的概率密度；（ii）利用一階矩求的矩估計量；（iii ）求的最大似然估計量. 【答案】1z的分布函數為zxpzxpzzpzfz111)(1，.12)(,0;0)(,011zzfzzfzzz時時所以iz的概率密度均為2222e,0()()20,zzzzfzfz其他. （2）222