1、首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 4.2 洛必達法則一、 未定式二、“ 零比零”型未定式的定值法四、其他類型未定式的定值法三、“無窮比無窮”型未定式的定值法首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 0limlnnxxx(n0) 2lim(sectan )xxx一、未定式 如果在某一過程中 函數f(x)與F(x)同是無窮大量或同是 無窮小量 那么極限)()(limxFxf可能存在、也可能不存在 通常把這種極限叫做未定式 并分別簡記為或00 其他類型的未定式 0、00、1、0 例如 下列極限都是未定式 30sinlimxxxx nxxxlnlim xxx0lim 30sin

2、limxxxx nxxxlnlim(n0) xxx)11 (lim xxx)11 (lim 2122)(limxxax (n0) 2lim(sectan )xxx 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 二、“ 零比零”型未定式的定值法定理41(洛必達法則I) 設函數f(x)與g(x)滿足條件 (1)0)(lim)(limxgxfaxax (2)在點 a 的某去心鄰域內可導 且 g(x)0 (3)Axgxfax)()( lim(或) 則必有)()(limxgxfaxAxgxfax)()( lim(或) 說明 當定理中xa改為x時 洛必達法則同樣有效 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三

3、版) 教學課件 ( 在 x , a 之間)證證: : 無妨假設, 0)()(agaf在指出的鄰域內任取,ax 則)(, )(xgxf在以 x, a 為端點的區間上滿足柯0)(lim)(lim) 1xgxfaxax故)()()()()()(agxgafxfxgxf)()(gf)()(limxgxfax)()(limgfax)()(limxgxfax)3定理條件定理條件: : 西定理條件,)()(lim)3xgxfax存在 (或為 ),)()()()2內可導在與axgxf0)( xg且首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 1 求216lim42xxx 解 3214lim) 2(

4、)16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx 注:本題可用普通方法來解: 解 3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx2)4)(2)(2(lim22xxxxx)4)(2(lim22xxx=32.兩種方法結果一致.型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 1 求216lim42xxx 解 3214lim)

5、 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx 解 例 2 求xxax1)1 (lim0 解 axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axa

6、xxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000 型00型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx 例 3 求20e1limxxxx 解 例 1 求216lim42xxx 解 3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxxxx3214lim) 2()16(lim216lim324242xxxxxx

7、xx 解 例 2 求xxax1)1 (lim0 解 axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000axaxxxxaxaxax1)1 (lim)( 1)1(lim1)1 (lim1000 解 22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx 22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx 22000(e1)e1elimlimlim12

8、1()xxxxxxxxxxx 22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx 型00型00型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 4 求30sinlimxxxx 解 616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(li

9、msinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 4 求30sinlimxxxx 解 616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616

10、sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx 解 例 5 求20)1ln(limxxx 解 )1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx)1 (21lim211lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxx 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版)

11、教學課件 解 例 6 求xxxxsin1sinlim20 無極限 所以洛必達法則失效 不能使用 但可用其他方法求得極限 xxxxxxxcos1cos1sin2)(sin)1sin(2因為 0011sinlimsinlim1sinsinlimsin1sinlim00020 xxxxxxxxxxxxxxx0011sinlimsinlim1sinsinlimsin1sinlim00020 xxxxxxxxxxxxxxx0011sinlimsinlim1sinsinlimsin1sinlim00020 xxxxxxxxxxxxxxx0011sinlimsinlim1sinsinlimsin1sinli

12、m00020 xxxxxxxxxxxxxxx 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 三、“無窮比無窮”型未定式的定值法定理42(洛必達法則II) 設函數f(x)與g(x)滿足 (1)(lim)(limxgxfaxax (2)在點 a 的某去心鄰域內可導 且 g(x)0 (3)Axgxfax)()( lim(或) 則必有Axgxfxgxfaxax)()( lim)()(lim(或) 說明 當定理中xa改為x時 洛必達法則同樣有效 首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 7 求2tanlimtan3xxx 解 22222221tan1cos 3coslimlimlimta

13、n333coscos 3xxxxxxxxx 22cos3( 3sin3 )1lim32cos( sin )xxxxx 22sin66cos6limlim3sin22cos2xxxxxx 解 22222221tan1cos 3coslimlimlimtan333coscos 3xxxxxxxxx22222221tan1cos 3coslimlimlimtan333coscos 3xxxxxxxxx22222221tan1cos 3coslimlimlimtan333coscos 3xxxxxxxxx 22sin66cos6limlim3sin22cos2xxxxxx22sin66cos6liml

14、im3sin22cos2xxxxxx 型型00型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 8 求xxxlncotlnlim0 解 xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200 xxxxcossinlim0 1cos1limsinlim00 xxxxx xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200 型型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 9 求lnlimnxxx(n0) 解 11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx 例 10 求2elimxxx 解 2eeelimlimlim22xxxxxx

15、xx 解 11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx 解 2eeelimlimlim22xxxxxxxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx2eeelimlimlim22xxxxxxxx .lnlim,elim,xxxxxx都有對任意正實數一般地首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxx四、其他類型未定式的定值法 對于未定式0、00、1、0 都

16、可以轉化為 00或型未定式來計算 例 11 求lim(arctan )2xxx(0 型) 222211limlim111xxxxxx 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxxlim(arctan )2xxxarctan2lim1xxx 222211limlim111xxxxxx 型00 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxx 解 lim(arctan )2xxxarctan2lim1xxxxxxarctan21lim型用洛必達法則,分母的導數很復雜,此法不可取!首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 解 例 12 求)ln11(lim

17、1xxxx(型) 解 xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim)ln11(lim11 xxxxxxxxxln11lnlimln) 1(11lnlim11 211lim111lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxln) 1(1lnlim)ln11(lim11 xxxxxxxxxln11lnlimln) 1(11lnlim11 211lim111lim121xxxxxxx 型00型00首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 13 求111limxxx(1型) 解 因為 11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx而 111lnlimlim111xxxxx

18、所以 1111limexxx 11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx11lnlnlim11111limlimeexxxxxxxxx 111lnlimlim111xxxxx111lnlimlim111xxxxx 型00指數恒等式:abbalne首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 14 求0limxxx(00型) 解 因為 ln00limlim exxxxxx而 000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx所以 ln000limlim ee1xxxxxxln00limlim exxxxxx 000021lnlimlnliml

19、imlim()011xxxxxxxxxxx000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx ln000limlim ee1xxxxxx 型首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 15 求1lim (e )xxxx (0型) 解 111limln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx而 ln(e )11 elimln(e )limlimexxxxxxxxxxxx eelimlim11 eexxxxxx所以 11lim(e )eexxxx 111li

20、mln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx111limln(e )ln(e )lim(e )lim eexxxxxxxxxxxx ln(e )11 elimln(e )limlimexxxxxxxxxxxxln(e )11 elimln(e )limlimexxxxxxxxxxxx eelimlim11 eexxxxxx 1)e()e(limxxxxx型型首頁上一頁下一頁結束微積分 (第三版) 教學課件 例 16 求240sinsin coslimxx xxxx 解 24300sinsin cossinsincoslimlimxxx xxxxx xxxxx 300sinsincoslimlimxxxx xxxx 30sincoslimxx xxx 20coscossinlim3xxx xxx 0sin1lim33xxx 24300sinsin cossinsincosli