1、第五章 習(xí)題答案1求下面等式約束最優(yōu)化問題可能的極值點(diǎn)，要求寫出一階必要條件并求解由一階必要條件構(gòu)成的方程組。（1），（2）（3）解：（1）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和 分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，此時(shí)。則點(diǎn)為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在該點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。 （2）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和 分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)；或者，此時(shí)。則點(diǎn)、和為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在這些點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。 （3）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，此時(shí)；或者 ，此時(shí)。則點(diǎn)和點(diǎn)為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在這兩點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。2利用等式約束極值問題的二階充分條件

2、判斷習(xí)題1中求得的點(diǎn)是否為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)。解： （1）對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加邊元素，。所以，海賽加邊行列式為：所以，由定理5.2得，在處函數(shù)取得極大值。 （2）對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得， ，加邊元素，。所以，海賽加邊行列式為：當(dāng)，時(shí)，所以，由定理5.2得，在處函數(shù)取得極大值。當(dāng)，時(shí)，所以，由定理5.2得，在處函數(shù)取得極小值。當(dāng)，時(shí)，所以，由定理5.2得，在處函數(shù)取得極大值。當(dāng)，時(shí)，所以，由定理5.2得，在處函數(shù)取得極小值。（3）對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加邊元素，。所以，海賽加邊行列式為：當(dāng)時(shí)，當(dāng) ，時(shí)，所以，由定理5.2得，在或者處函數(shù)取得極大值。3求函數(shù)在約束和下的可能的極值點(diǎn)。解：首先寫出拉格朗日函數(shù)

3、：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得該方程無實(shí)解，存在虛數(shù)解：，此時(shí)。4利用海賽加邊行列式確定下面每一小題的值是極大值還是極小值。（1） 滿足約束 ；（2） 滿足約束 ；（3） 滿足約束 ；（4） 滿足約束 。解：（1）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加邊元素，。所以，海賽加邊行列式為：所以，由定理5.2得，為目標(biāo)函數(shù)的極大值。（2）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加邊元素。所以，海賽加邊行列式為：所以，由定理5.2得，為目標(biāo)函數(shù)的極大值。（3）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加

4、邊元素。所以，海賽加邊行列式為：所以，由定理5.2得，為目標(biāo)函數(shù)的極小值。（4）首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得，對(duì)，求偏導(dǎo)數(shù)可得，加邊元素。所以，海賽加邊行列式為：所以，由定理5.2得，為目標(biāo)函數(shù)的極小值。5求原點(diǎn)到橢圓的最大和最小距離（提示：目標(biāo)函數(shù)取為可簡(jiǎn)化運(yùn)算。解：由題意知，解決如下最優(yōu)化問題，首先寫出拉格朗日函數(shù)：將對(duì)，和分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：解得或者，則為最小距離，為最大距離。6繪出有如下特征的曲線（1）擬凹的，（2）擬凸的，（3）既擬凹又?jǐn)M凸的解：（1）擬凹 （2）擬凸0zx(3)既擬凹又?jǐn)M凸7運(yùn)用海賽加邊行列式檢驗(yàn)下列函數(shù)的擬凹性和擬凸性：（1）（2）解：（1）

5、，所以，由定理5.7得，該函數(shù)為擬凹函數(shù)。（2），所以，由定理5.7得，該函數(shù)為擬凹函數(shù)。8判斷下列命題的正誤，并給予說明。（1）設(shè)是單變量遞增函數(shù)，則為擬凹函數(shù)。（2）設(shè)是單變量遞減函數(shù)，則為擬凹函數(shù)。（3）設(shè)是單變量函數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增時(shí)，為擬凹函數(shù)。解：（1）命題正確，對(duì)于一元遞增函數(shù)定義域（凸集）中任意點(diǎn)，有 ，則：對(duì)任意，有；則為擬凹的。（2）命題錯(cuò)誤，對(duì)于一元遞減函數(shù)定義域（凸集）中任意點(diǎn)，有 ，則：對(duì)任意，有；則為擬凸的。（3）命題錯(cuò)誤，用反證法證明，假設(shè)命題成立，則在區(qū)間上與該題（2）相同，則該函數(shù)為擬凸函數(shù)，與命題結(jié)論矛盾，故命題錯(cuò)誤。9已知極大化

6、問題的均衡解為。試估計(jì)以下目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，并說明理由。（1），（2）（3）解：根據(jù)（1）、（2）、（3）小問中目標(biāo)函數(shù)與約束條件變動(dòng)項(xiàng)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：，將代入極大化問題，在約束條件下目標(biāo)函數(shù)的極大值點(diǎn)為，乘子為。從而有。根據(jù)包絡(luò)定理，則，（1）當(dāng)?shù)仁郊s束改為時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值分別是。（2）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為，等式約束改為時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是。 （3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為，等式約束改為時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是。10一個(gè)消費(fèi)者具有效用函數(shù)：，其中和是兩種商品的數(shù)量，它們的價(jià)格分別是和。消費(fèi)者的預(yù)

7、算約束是，因此消費(fèi)者的拉格朗日函數(shù)是（1）從一階條件中找出需求函數(shù)的表達(dá)式。說明商品是哪種商品？尤其當(dāng)?shù)臅r(shí)候，會(huì)出現(xiàn)哪種情況？（2）通過檢查二階充分條件來證明這是一個(gè)極大值。把和代入到效用函數(shù)中，找出間接效用函數(shù)的表達(dá)式：，并推導(dǎo)出支出函數(shù)的表達(dá)式：。（3） 求出這個(gè)最小化問題的和的解，并證明和的解值等于支出函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和。解：（1）根據(jù)拉格朗日函數(shù)得出一階必要條件為：求解得出其中，是消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)。由，可知，商品的價(jià)格增加，數(shù)量減少；貨幣收入增加，數(shù)量增加，因此為正常商品。當(dāng)時(shí)，。（2），加邊元素。所以，海賽加邊行列式為：因此，由定理5.2最優(yōu)值為極大值。把和代入目標(biāo)函數(shù)中，得出間接

8、效用函數(shù)為：支出函數(shù)表達(dá)式為： （3）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：一階必要條件為求解這個(gè)方程組的和，得到均衡解為其中是消費(fèi)者的希克斯需求函數(shù)。檢驗(yàn)二階充分條件：因此均衡解是模型的極小值點(diǎn)。把代入初始目標(biāo)函數(shù)，得到支出函數(shù)為 由于證畢。11給定及，（1）寫出該問題的拉格朗日函數(shù)；（2）求出最優(yōu)消費(fèi)束；（3）在最優(yōu)消費(fèi)束處滿足極大值的二階充分條件嗎？（4）問題（2）的答案給出比較靜態(tài)信息了嗎？解：（1）（2）解得：（3），加邊元素。所以，海賽加邊行列式為：因此，由定理5.2最優(yōu)值滿足極大值的二階充分條件。12.假設(shè)，但不為價(jià)格和收入?yún)?shù)設(shè)定具體數(shù)值。（1）寫出拉格朗日函數(shù)；（2）求，及（以參數(shù)，和表示）；（

9、3）檢驗(yàn)極大值點(diǎn)處的二階充分條件。（4）令，及，檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)習(xí)題8回答的正確性。解：設(shè)的價(jià)格為,的價(jià)格為,收入為,則有：(1)(2) 一階條件為,解得均衡解為(3) ,則均衡解為極大值(4) 正確13習(xí)題10的解（和）能夠產(chǎn)生比較靜態(tài)信息嗎？求出所有比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，確定其符號(hào)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。參見習(xí)題10。14給定消費(fèi)者消費(fèi)商品和的效用函數(shù)，和為商品和的消費(fèi)量，和是商品和的價(jià)格，消費(fèi)者的收入為。（1）求消費(fèi)者的效用極大值和相應(yīng)兩種商品的最優(yōu)消費(fèi)量。（2）收入增加一個(gè)單位時(shí)，對(duì)消費(fèi)者的的極大效用有何影響？（3）求出比較靜態(tài)函數(shù)，判斷其符號(hào)，解釋其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。解：極大化問題為： (1) ,一階條件為,

10、均衡解為,二階條件為,均衡解為極大值(2) ,表示收入每增加一單位,大小用增加個(gè)單位(3) , ,15考慮極大化問題利用包絡(luò)定理解決以下問題：（1）求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值在處分別關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù)。（2）據(jù)（1），估計(jì)當(dāng)、由16變?yōu)?6.03時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少？估計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值？（3）據(jù)（1），估計(jì)當(dāng)、由4變?yōu)?.98時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少？估計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值？（4）據(jù)（1），估計(jì)由16變?yōu)?6.03、由4變?yōu)?.98時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少？估計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值？解：(1)極大化問題為 ,拉格朗日函數(shù)為：, ,均衡解為,則(2) ,則(3

11、) ,則(4) ,則16設(shè)，效用函數(shù)，預(yù)算約束條件為。試求需求函數(shù)及間接效用函數(shù)。解：極大化問題為 ,則需求函數(shù)為,則間接效用函數(shù)為17（1）商品和的邊際效用遞減假設(shè)意味著無差異曲線嚴(yán)格凸嗎？ （2）無差異曲線的嚴(yán)格凸性意味著商品和的邊際效用遞減嗎？解：（1）否，當(dāng)效用函數(shù)為嚴(yán)格擬凹時(shí)，無差異曲線凸向遠(yuǎn)點(diǎn)，與邊際效用遞減無關(guān)。 （2）否，邊際替代率遞減。18有一個(gè)消費(fèi)者，某商品價(jià)格上漲1000元時(shí)，其間接效用減少60個(gè)單位；而貨幣收入增加1000元時(shí)，其間接效用增加5個(gè)單位，問這個(gè)消費(fèi)者對(duì)該商品的消費(fèi)量是多少？解： 由解得故消費(fèi)量為12個(gè)單位。19假設(shè)消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品和，價(jià)格分別為，效用函數(shù)為：，消費(fèi)者的收入為。（1）求消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)和,并驗(yàn)證它是零次齊次函數(shù)；（2）求間接效用函數(shù)；（3）求貨幣的邊際效用。解：極大化問題為 (1),均衡解為(2) 間接效用函數(shù)為(3)20給定兩種投入要素的生產(chǎn)函數(shù)為，這里和分別是兩種要素的投入量。假設(shè)兩種要素投入價(jià)格分別為，每月費(fèi)用支出不超過1000。為使每月的產(chǎn)出極大化