1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載數學歸納法及其應用舉例教案中衛市第一中學俞清華教學目標：1認知目標：明白數學歸納法的原理,把握用數學歸納法證題的方法；2才能目標：培育同學懂得分析.歸納推理和獨立實踐的才能；3情感目標：激發同學的求知欲,增強同學的學習熱忱,培育同學辯證唯物主義的世界觀和勇于探究的科學精神；教學重點：明白數學歸納法的原理及把握用數學歸納法證題的方法；教學難點：數學歸納法原理的明白及遞推思想在解題中的表達；教學過程：一創設情境,回憶引入師：本節課我們學習數學歸納法及其應用舉例（板書）；第一給大家講一個故事：從前有一個員外的兒子學寫字,當老師教他寫數字的時候,告知他

2、一.二.三的寫法時,員外兒子很高興,告知老師他會寫數字了；過了不久,員外要寫請帖宴請親朋好友到家里做客,員外兒子自告奮勇地要寫請帖；結果早晨開頭寫,始終到了晚間也沒有寫完,請問同學們,這為為什么呢？生：由于有姓“萬”的；師：對！有姓“萬”的；員外兒子萬萬也沒有想到“萬”不為一萬橫,而為這么寫的“萬”；通過這個故事,你對員外兒子有何評判呢？生：（同學的評判主要會有兩種,一為員外兒子愚蠢,二為員外兒子仍為聰慧的；）師：其實員外兒子觀看.歸納.猜想的才能仍為很不錯的,但遺憾的為他猜錯了！在數學上,我們很多時候為通過觀看歸納猜想,這種思維過程去發覺某些結論,它為一種制造性的思維過程；那么,我們在以前的

3、學習過程中,有沒有也像員外兒子那樣猜想過某些結論呢？生：有；例如等差數列通項公式的推導；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：很好；我們為由等差數列前幾項滿意的規律：a1a10d , a2a1d , a3a12d ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a4a13d ,歸納出了它的通項公式的；其實我們推導等差數列通項公式的方法和員外兒子猜想數字寫法的方法都為歸納法；那么你能說說什么為歸納法,歸納法有什么特點嗎？ 生：由特別事例得出一般結論的歸納推理方法,通常叫做歸納法；特點：特別一般；師：對；（投影展現有關定義）像這種由特別事例得出一般結論的歸納推理方法,通常叫做歸納法；依

4、據推理過程中考察的對象為涉及事物的一部分仍為全部,分為不完全歸納法和完全歸納法；完全歸納法為一種在討論了事物的全部（有限種）特別情形后得出一般結論的推理方法,又叫做枚舉法；那么,用完全歸納法得出的結論牢靠嗎？生：（齊答）牢靠；師：用不完全歸納法得出的結論為不為也為牢靠的呢？為什么？生：不行靠；這為由于只考察了部分情形,結論不肯定具有普遍性；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：為不行靠的； 不妨再舉一例ann1 n2n3n1000簡單驗證 a10 ,a20 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選

5、學習資料 - - - 歡迎下載a30 ,a10000 ,假如由此作出結論對于任何nn *, ann1 n2n3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載n10000 都成立,那就為錯誤的；事實上,a10011000.0 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二設置問題,引導探究師：請問同學們你們玩過多米諾骨牌嗎？生：（沒）玩過； （課堂氣氛由剛才的深思變得開頭活躍）師：無論玩沒玩過,下面我們一起來玩一下；（投影儀上進行生動.形象的骨牌演示）在觀看骨牌玩法時,請摸索：滿意什么條件,骨牌可以全部倒下？精品學習資料精選學習資料 - - -

6、歡迎下載生：假設第k kn *張骨牌倒下,保證第k1 張骨牌倒下；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：這樣就保證了可以遞推下去,骨牌就可以全部倒下了,為嗎？生：不為；我們不知道第k 張骨牌為否倒下了,從而我們為假設第k 張骨牌倒下；如第k 張精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載骨牌倒下,需要第k1 張骨牌倒下；如第k1張骨牌倒下,需要第k2 張骨牌倒下,最精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載后遞歸到需要第1 張骨牌倒下,所以,仍要有一個條件：第一張骨牌倒下；師：大家說有了這兩個條件,骨牌為不為可以順次的倒下呢？生：為；師：上面同學說得很好,要使骨牌全部倒下應滿

7、意兩個條件（投影顯示）第一個條件為：第一張骨牌倒下；其次個條件為：假設第k 張骨牌倒下,第k1 張骨牌肯定倒下；現在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明等差數列通項公式呢？為不為應當建立一種遞推次序呢？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載生： n1 時結論正確n2 時結論正確n3 時,結論正確,nk 時結論正確精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載nk1 時結論正確師：由于這個過程推理方法為一樣的,能否把這個過程一般化呢？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載生：假設 nk 時結論正確nk1 時結論也正確；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：這樣就保證

8、了遞推；下面你能證明等差數列通項公式了嗎？三解決問題,引出概念（同學共答,老師板書）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：（ 1）當 n1 時,左邊a ,右邊a10da1 ,等式為成立的；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）假設當 nk 時等式成立,就為aka1 k1d,下面看看為否能推出nk1時等精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載式也成立,那么a k 1 等于什么？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載生：

9、 ak 1a1 k11 d ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：哦！看來nk1 時等式也成立,這樣做對嗎？生：（齊答）不對；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載師：留意在證nk1 時,肯定要用到歸納假設,nk 時等式成立這一步,由于這樣才能精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載保 證 遞 推 , 那 么a k 1 與 ak有 什 么 關 系 呢 ？ （ 學 生 齊 答 , 教 師 繼 續 板 書 ）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ak 1akda1 k1d

10、da1k11 d ；這就為說,當nk1 時,等式也成立,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載大家說有了這兩步,為不為就證明白等差數列通項公式的正確性了呢？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載生： n1 時等式成立n2 時等式成立n3 時等式成立所以 n 取任何正整數等精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載式都成立；師：這種證明方法叫做數學歸納法,那么你能談談什么為數學歸納法,及其用數學歸納法證題的步驟為怎樣的呢？生：（在同學溝通,老師引導完善下）數學歸納法（證明一個與正整數有關的命題的步驟）為：（投影跟蹤給出） ；精品學習資料精選學習資料 - - -

11、 歡迎下載（1）證明當 n 取第一個值n0 （例如 n01 或 2 等）時結論正確；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）假設當 nk （ kn * ,且 kn0 ）時結論正確,證明當nk1 時結論也正確；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依據（ 1）和（ 2）,可知命題對從n0 開頭的全部正整數n 都正確；所以數學歸納法為證明一精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載個與正整數有關的命題的一種方法；概括起來就為“兩個步驟,一個結論；”師：用數學歸納法證題,實質為一種什么

12、思想？生：遞推思想；師：在遞推中,兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步為奠基,為遞推的基礎,其次步為保證能夠遞推,為遞推的依據；（此時投影上注明）師：這兩步可以缺少哪一步嗎？生：（同學舉例說明,老師點評,投影上也舉出實例,從而明確）兩步缺一不行；師：我們已經知道,由不完全歸納法得到的結論不行靠,因而必需作證明；如命題為與正整數有關的,證明可考慮用數學歸納法；下面請同學們看一道例題；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1：用數學歸納法證明：1352n1n2 （師生共同證題,總結出用數學歸納精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載法證題的技巧為“一湊假設,二湊結論”；）練習

13、：用數學歸納法證明：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 1n12 12322 2n1 n n1 ；22n 12 n1 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3首項為a1 ,公比為 q 的等比數列的通項公式為ana1q；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四歸納小結,深化主題師：本節的中心內容為什么？為什么要學習數學歸納法？什么為數學歸納法？表達什么思想？生：（同學積極回答,從而自主地構建本節課的學問網絡；）（投影展現）小結：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1歸納法不完全歸納法完全歸納法特點：特別一般精

14、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2數學歸納法概念及證題步驟；3數學歸納法實質為遞推思想；五布置作業：p761, 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載數學歸納法及其應用舉例教案說明一.數學歸納法的位置與作用1數學歸納法在教材中的位置與作用數學歸納法為證明與正整數有關命題的一種重要的證明方法,它起源于正整數的歸納公理或最小數原理,而演化成各種形式；數學歸納法及其應用舉例為人教版高中數學新教材第三冊其次章 “極限” 中第一部分的學問；通過對數學歸納法的學習,可對中學數學中的很多重要結論,如等差.等比數列的通項公式及前n 項和公式.二項式定理以及中學校很多思維上

15、開拓創新的題 目可以進行很好地證明,使很多數學結論更加嚴密,也為后繼學習打下了良好的基礎；2數學歸納法對思維進展的位置與作用人類對問題的討論,結論的發覺認同,思維流程通常為觀看歸納猜想證明；猜想的結論對不對,證明為尤為關鍵的；運用數學歸納法解題時,有助于同學對等式的恒等變形,不等式的放縮,數.式.形的構造與轉化等學問加強訓練與把握；對數學歸納法原理的懂得,包蘊著遞歸與遞推,歸納與推理,特別到一般,有限到無限等數學思想和方法,對思維的進展起到了完善與推動的作用；二.數學歸納法的本質與教學目標定位數學歸納法表達了遞推的思想,數學歸納法的本質就為利用遞推思想去證題的一種方法；一堂出色的課不僅僅為傳授

16、給同學學問,更重要的為對同學才能的培育和情感的熏陶；依據本節課的特點及布魯納的教學目標,特設置一條明線： 如何驗證等差數列通項公式的正確性；一條暗線：如何驗證由不完全歸納法得到的與正整數有關命題的真假；將本節課的教學目標定為三重目標：認知目標：明白數學歸納法的原理,把握用數學歸納法證題的方法與技巧；才能目標：培育同學懂得分析.歸納推理和獨立實踐的才能；情感目標：激發同學的求知欲,增強同學的學習熱忱,培育同學辯證唯物主義的世界觀和勇于探究的科學精神；三.學法.教法特點及預期成效1學法指導高中同學具有肯定的規律思維和推理演算才能,并且對事物的熟悉逐步的由感性上升到理性,個體的進展由外顯轉化為內隱,

17、這些都為我們學好本節的有利因素；但不足的為,同學考慮問題的全面性及課堂氣氛的活躍性仍不夠好；為此,依據訓練學家奧蘇伯爾關于學科和認知結構組織的假設及其“先行組織者”技術與美國心理學家布魯納提倡的發覺法訓練理論,在學法方面我采納“導思點撥練”的學習過程,讓同學自主參加學問的發生.進展.形成過程；在這個過程中對同學進行以下學法指導；（1）溫故知新法引導同學回憶等差數列通項公式的推導過程,從而引出歸納法的概念,其又分為完全歸納法和不完全歸納法,如何驗證等差數列通項公式的正確性呢？進而引出數學歸納法；（2）體驗感悟法讓同學仔細觀看多米諾骨牌試驗,從而感悟數學歸納法原理；（3）質疑法引導同學主動質疑,解

18、決問題,得到方法；（4）練習法通過類比,練習用數學歸納法證題,進一步體會數學歸納法原理；2教學特點本節課在教法上貫徹如下兩個原就：一為建構主義原就；同學為教學的主體,同學學習數學為一種再制造過程,他們通過吸取與融合原學問的過程來建立懂得的層次結構；皮亞杰的認知結構學說：“全部的認知結構,結構再精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載構建,構成復雜的結構,不斷進展；”數學學問不能從一個人遷移到另一個人,一個人的數學學問必需基于個人對體會的歸納.溝通,通過反思來主動建構,這就為建構主義的數學學習觀；為此教學設計為通過等差數列通項公式的證明及多米諾骨牌試驗引導同學積極主動的進行建構；二為寓教于樂原就；實踐證明,同學在積極開心的情形下,學習效率會大幅提高；在寬松的情形下, 能夠最大限度地激發其聰慧才智和制造性；結合本節課特點, 將學問性與趣味性相結合,以吸引同學喜愛數學,自覺地學習數學,以調動同學的“心理場”；比如,通過講員外兒子學寫數字,引進了歸納法的概念,同時同學也體會到通過觀看.歸納.猜想一些結論,為很好的一個思維流程,但其結果不行靠；通過多米諾骨牌玩法的演示,詮釋了遞推思想；3預期成效通過學法指導,教法特點實現三重目標；四.教學診斷與評判1教學診斷精品學習資料精選學習資料 - - -