1、2.5 函數(shù)的連續(xù)性 自然界中普遍存在著連續(xù)變化的現(xiàn)象。如自然界中普遍存在著連續(xù)變化的現(xiàn)象。如植物的生植物的生長(zhǎng)過程中，其高度隨時(shí)間連續(xù)地變化。氣溫隨時(shí)間連續(xù)長(zhǎng)過程中，其高度隨時(shí)間連續(xù)地變化。氣溫隨時(shí)間連續(xù)地變化。物體的體積膨脹隨溫度連續(xù)地變化等。地變化。物體的體積膨脹隨溫度連續(xù)地變化等。 反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系的就是所謂函數(shù)的連數(shù)量關(guān)系的就是所謂函數(shù)的連續(xù)性。從幾何角度看，這種連續(xù)性。從幾何角度看，這種連續(xù)變化的函數(shù)的圖形對(duì)應(yīng)著一續(xù)變化的函數(shù)的圖形對(duì)應(yīng)著一條綿延不斷的曲線。條綿延不斷的曲線。 CC tt3691215182124OC152010525 自然界現(xiàn)象

2、中也存在變化不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴自然界現(xiàn)象中也存在變化不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴的音量、脈沖波電壓隨時(shí)間的變化等。反映這種不連續(xù)的音量、脈沖波電壓隨時(shí)間的變化等。反映這種不連續(xù)變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形呈現(xiàn)出一種逐段分布的特性。變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形呈現(xiàn)出一種逐段分布的特性。 tOV VV t本節(jié)課的主要目標(biāo)：本節(jié)課的主要目標(biāo)： 光陰荏苒，物換星移，老光陰荏苒，物換星移，老友故交相逢，往往慨嘆物是人友故交相逢，往往慨嘆物是人非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后再見，卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)彼此有什么再見，卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)彼此有什么變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。 因?yàn)樵谳^短的時(shí)間段內(nèi)，因?yàn)樵?/p>

3、較短的時(shí)間段內(nèi)，人的相貌體形不會(huì)有太大的變?nèi)说南嗝搀w形不會(huì)有太大的變化，因而不易觀察出來，只有化，因而不易觀察出來，只有當(dāng)時(shí)間跨度較大時(shí)，變化才比當(dāng)時(shí)間跨度較大時(shí)，變化才比較明顯。較明顯。y xOy yfx2x1x1x2x1fx2fx1fx2fxx x y 曲線在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別在于曲線在曲線在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別在于曲線在該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了“突變突變”。 可正可負(fù)增量增量 自變量函數(shù)值 yx可正可負(fù)可為零xOyC yfx0 x 0 xx0( )( )yf xf x 有了增量的概念便可方便地表達(dá)函數(shù)連續(xù)的概念。有了增量的概念便可方便地表達(dá)函數(shù)連續(xù)的概念。由

4、對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的直觀認(rèn)識(shí)，函數(shù)由對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的直觀認(rèn)識(shí)，函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處連續(xù)可定量地表示為，當(dāng)處連續(xù)可定量地表示為，當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， y 0 . . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，如果域內(nèi)有定義，如果那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處連續(xù)。處連續(xù)。 0000lim lim0 xxyffxxx , , 00lim xxffxx, , 為便于應(yīng)用，考慮對(duì)表達(dá)形式作如下改動(dòng)為便于應(yīng)用，考慮對(duì)表達(dá)形式作如下改動(dòng)： 將將 x = x - - x 0 0 改為改為 x = x 0 +

5、x x 0 ，則函數(shù)增則函數(shù)增量的變化趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即量的變化趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即 y = f( x 0 + x )- - f( x 0 ) 0 ， y = f( x )- - f( x 0 ) 0， y = f( x ) f( x 0 ). 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，如果域內(nèi)有定義，如果 那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處連續(xù)。處連續(xù)。轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 由前面連續(xù)的定義還可歸納出更適用于由前面連續(xù)的定義還可歸納出更適用于函數(shù)在一函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的點(diǎn)連續(xù)的判別步驟判別步驟: :1

6、.f( x )在點(diǎn) x 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；xOy1x2x3x2x yfx 0limxxfx 2. 存在； 0 0lim.xxffxx3.1.f( x )在點(diǎn) x 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；3. 0_0limxfxfxx 2. 存在； xfxx0lim 連續(xù)是由極限來定義的，而函數(shù)在連續(xù)是由極限來定義的，而函數(shù)在x0點(diǎn)的極限可以分為點(diǎn)的極限可以分為左右極限，所以連續(xù)也可分為左右連續(xù)，即：若左右極限，所以連續(xù)也可分為左右連續(xù)，即：若則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在x0點(diǎn)左連續(xù)，同理也可定義右連續(xù)點(diǎn)左連續(xù)，同理也可定義右連續(xù).x1x0f xOy yfx0 x1fx2fx 0limxxfx2x 1limxxf

7、x 1limxxfx 2limxxfx 2limxxfx例例1用定義證明用定義證明 在在 處連續(xù)處連續(xù) 2( )23f xx0 x 證法一證法一：2(0)(0)2yfxfx 0 x x給給 處以改變量處以改變量 ，則相應(yīng)函數(shù)的改變量為，則相應(yīng)函數(shù)的改變量為證法二：證法二：所以函數(shù)在所以函數(shù)在 處連續(xù)。處連續(xù)。0 x 200limlim 20 xxyx 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以函數(shù)在，所以函數(shù)在 處連續(xù)處連續(xù)0 x 200lim( )lim(23)3(0)xxf xxf因?yàn)橐驗(yàn)?例例2 2討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處連續(xù)處連續(xù) 0 x010sin)(x，x，xxxf解解：(0)1f因?yàn)橐驗(yàn)?，又，又00s

8、inlim( )lim1xxxf xx所以函數(shù)在所以函數(shù)在 處連續(xù)。處連續(xù)。0 x 即即 ， 0lim( )(0)xf xf例例3 3討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性 0 x1,0( )1,01,0 xxf xxxx解解：(0)1f因?yàn)橐驗(yàn)?，又，又00lim( )lim(1)1xxf xx 所以函數(shù)在所以函數(shù)在 處連續(xù)。處連續(xù)。0 x 即即 不存在，不存在， 0lim( )xf x00lim( )lim(1)1xxf xx例例4 4已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處連續(xù)，求處連續(xù)，求 與與 的值的值 0 x2,0( ),01,0 xeaxf xbxxxab解解：200lim( )lim(

9、1)1xxf xx 00lim( )lim()1xxxf xeaa (0)fb因?yàn)橐驗(yàn)?， 又又因?yàn)楹瘮?shù)在因?yàn)楹瘮?shù)在 處連續(xù)，處連續(xù)，0 x 所以所以00lim( )lim( )(0)xxf xf xf即即 ，11ab 因此因此0,1ab1.討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。2.討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。3.已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處連續(xù)，求處連續(xù)，求 的值。的值。232,1( )12,1xxxf xxx1x sin ,0( )1,0 xxxf xex0 x 2,0( )cos ,0 xaxf xxx0 x a 不連續(xù)不連續(xù) 連續(xù)連續(xù) 1a 0 0lim.x

10、xffxx應(yīng)用連續(xù)定義求極限應(yīng)用連續(xù)定義求極限若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則則該點(diǎn)的極限值該點(diǎn)的極限值等于等于該點(diǎn)的函數(shù)值該點(diǎn)的函數(shù)值怎樣判斷一個(gè)怎樣判斷一個(gè)函數(shù)都在哪些點(diǎn)上都是連續(xù)的呢？函數(shù)都在哪些點(diǎn)上都是連續(xù)的呢？函數(shù)在函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)一點(diǎn)連續(xù) 討論函數(shù)通常總在某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行，由函數(shù)在討論函數(shù)通常總在某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行，由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念可進(jìn)一步定義函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。一點(diǎn)連續(xù)的概念可進(jìn)一步定義函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。 若函數(shù)若函數(shù) y = f( x )在開區(qū)間在開區(qū)間( a , ,b )內(nèi)任意點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)任意點(diǎn)都連續(xù)，就稱就稱 y = f( x )在在開區(qū)間開區(qū)間( a , ,b )

11、內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 若函數(shù)若函數(shù) y = f( x )在開區(qū)間在開區(qū)間( a , ,b )內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在左端點(diǎn)且在左端點(diǎn) x = a 右連續(xù)，在右端點(diǎn)右連續(xù)，在右端點(diǎn) x = b 左連續(xù)，就稱左連續(xù)，就稱 y = f( x )在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , ,b 上連續(xù)。上連續(xù)。( a , ,b ) 例例5 5討論函數(shù)討論函數(shù) 在定義域在定義域 內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性 2xy ),(解：解：設(shè)任意一點(diǎn)設(shè)任意一點(diǎn) .,0 x因?yàn)橐驗(yàn)?， 020200limlimxfxxxfxxxx所以由定義所以由定義1可知，函數(shù)可知，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù).2xy 0 x由點(diǎn)由點(diǎn) 的任意性可知，函數(shù)

12、的任意性可知，函數(shù) 在定義域在定義域 連續(xù)連續(xù).0 x2xy , 例例6 6討論函數(shù)討論函數(shù) 在定義域在定義域 內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性 xycos),( 任取任取 x 0 ( - - , ,+ )，則在則在 x 0 處有處有 0 | | y | | | | cos( x 0 + x )- - cos x 0| | 所以當(dāng)所以當(dāng) x 0 時(shí)有，時(shí)有， y 0 ，由定義知，由定義知，函數(shù)函數(shù) y = cos x 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 處連續(xù)。由點(diǎn)處連續(xù)。由點(diǎn) x 0 的任意性，的任意性，y = cos x在區(qū)間在區(qū)間( - - , ,+ )內(nèi)內(nèi)連續(xù)。連續(xù)。 0 2.2sinsinsin222xxxxx

13、用類似例用類似例5例例6方法我們可以證明五類基方法我們可以證明五類基本初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，所以本初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，所以我們可以得到以下結(jié)論：我們可以得到以下結(jié)論：定理定理11 定理定理1.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，則處連續(xù)，則 、 、 在點(diǎn)在點(diǎn) 處也連續(xù)處也連續(xù)。0 x( )g x( )( )f xg x0 x( )f x( )( )f xg x( )( )f xg x0( ()0)g x0 x( )yf u 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，且處連續(xù)，且 ，函數(shù)，函數(shù) 在在 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在在 處必連續(xù)，且處必連續(xù)，

14、且0u( )ux00lim( )xxxu0 x ( )yfx)(lim)(lim00 xfxfxxxx 初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算及有限次的初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，所以由基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，所以由基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算的連續(xù)性可知：續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算的連續(xù)性可知：結(jié)論結(jié)論 要判斷一個(gè)初等函數(shù)都在那些點(diǎn)上連續(xù)，只需求出這個(gè)函數(shù)的定義域區(qū)間，凡是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)都是連續(xù)點(diǎn).例例7 7討論函數(shù)討論函數(shù) 的連續(xù)性的連續(xù)性 24( )3xf xx解解：所以函數(shù)在所以函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 2,0)(0,22400 xx 因?yàn)橐驗(yàn)?即得即得2002xx 或220 xx 例例8 8求極限求極限 xxx)1ln(lim0解解：所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?， exxx10)1 (limuylneu 函數(shù)函數(shù) 在在 處連續(xù)，處連續(xù)，1ln