1、第一節 實數及其運算知識點一：實數的概念及分類 （1）按定義分 正有理數有理數 0 有限小數或 負有理數 無限循環小數 實數 正無理數 無理數 無限不循環小數負無理數 注意：無理數中，切記“無限不循環”這一本質，四類：（1）開方開不盡的數，如等；（開得盡方的含根號的數屬于有理數，如，=-3，它們都屬于有理數.）（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有的數，如+100等；（3）有特定結構的數，如3.2020020002等，一定要注意后面要帶省略號；（4）某些三角函數，如sin30o ，tan75等（2）按正、負性分 正實數實數0負實數注意：0既不屬于正數，也不屬于負數.知識點二 ：實數的相關

2、概念（一）數軸 （1）規定了的原點，正方向和單位長度的直線叫數軸。所有的有理數都可以用數軸上的點來表示。也可以用數軸來比較兩個實數的大小。（2）三要素：數軸是一種特定幾何圖形；原點、正方向、長度單位稱數軸的三要素，這三者缺一不可。（3）特征：實數與數軸上的點一一對應；數軸右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大注意：1）從原點出發朝正方向的射線上的點對應正數，相反方向的射線上的點對應負數，原點對應零。數軸上的點對應任意實數，包括無理數。2）在數軸上表示的兩個數，正方向的數大于負方向的數。3）正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數。變式練習在3，1，1，3四個數中，比2小的數是( a )a3

3、 b1 c1 d3（二）.相反數（1）概念：只有符號不同的兩個數（2）代數意義：a、b互為相反數ó a+b=0（3）幾何意義：數軸上表示互為相反數的兩個點到原點的距離相等注意：a的相反數為-a，特別的0的絕對值是0.變式練習：.2的相反數是()a. 2 b. 2 c. d. 【解析】aa的相反數是a，因此2的相反數為(2)2.(易錯題) a，b是數軸上兩點，線段ab上的點表示的數中，有互為相反數的是( b )（三）.絕對值（1）幾何意義：數軸上表示的點到原點的距離（2）運算性質|a|= a (a0)； |a-b|= a-b(ab) -a(a0). b-a(ab)注意：（1）若|x|=

4、a（a0），則x=±a.如：絕對值等于4的是±4（2）對絕對值等于它本身的數是非負數.（3）非負性：|a|0，若|a|+b2=0,則a=b=0. 初中階段認識了3種非負數：（a0） |a|變式練習1：3的絕對值是3；|-4|=4；;|0|=0.變式練習2.實數a在數軸上的位置如圖所示，則|a2.5|()第2題圖a. a2.5 b. 2.5ac. a2.5 d. a2.5【解析】b從數軸可以看出0a2.5，所以a2.50，所以|a2.5|(a2.5)2.5a.變式練習3：數軸上點a、b表示的數分別是5，3，它們之間的距離可以表示為( d )a35 b35c|35| d|35|

5、變式練習4：.實數a在數軸上的位置如圖，則|a3|_3a_（四）倒數（1）概念：乘積為1的兩個數互為倒數.a的倒數為1/a(a0) 即零沒有倒數，（2）代數意義：a、b 互為倒數ab=1注意：（1）倒數等于它本身的數有±1.（2）分數的倒數：找一個分數的倒數，把分數的分子和分母交換位置。（3）整數的倒數：找一個整數的倒數，把3化成分數，即3/1，再把3/1這個分數的分子和分母交換位置。（4）小數的倒數：找一個小數的倒數，先化成分數，再求分數的倒數。變式練習：.2的倒數是()a. 2 b. 2 c. d. 【解析】d一個數的倒數等于與這個數乘積為1的數，因此2的倒數為.知識點三 ：科學

6、記數法、近似數1.科學記數法（1）形式：a×10n,其中1|a|10，n為整數（2）確定n的方法：對于數位較多的大數，n等于原數的整數為減去1；對于小數，寫成a×10-n，1|a|10，n等于原數中左起至第一個非零數字前所有零的個數（含小數點前面的一個）變式練習1：41000用科學記數法表示為4.1×104； 12萬用科學記數法表示為1.2×105；0.0003用科學記數法表示為3×10-4. 變式練習2： 據廣東省旅游局統計顯示，2016年4月全省旅游住宿設施接待過夜游客27700000人，將27700000用科學記數法表示為()a. 0.2

7、77×107 b. 0.277×108 c. 2.77×107 d. 2.77×108【解析】c將一個大數表示成a×10n的形式，其中1a10，故a2.77，n為正整數，n的值為原數的整數位數減1，因此n817，故27700000用科學記數法表示為2.77×107.變式練習3：pm2.5是指大氣中直徑小于或等2.5m(0.0000025m)的顆粒物，含有大量有毒、有害物質，也稱可入肺顆粒物，將0.0000025用科學記數法表示為()a. 25×107b. 2.5×106c. 0.25×105d. 2.5&

8、#215;106【解析】b一個將小數表示成a×10n的形式，其中1a10，n為負整數，它的絕對值等于原數左起第一個非零數字前0的個數，即a2.5，n6，所以0.00000252.5×106.2.近似數（1）定義：一個與實際數值很接近的數.（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位. 注意：一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這是，從左邊第一個不是0的數字起，到精確的數位止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字。變式練習：3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識點四 ：實數的大小比較（常見方法歸納）（1）正

9、數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個正數，絕對值大的較大；兩個負數，絕對值大的反而小。（2）數軸比較法：在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總是大于左邊的數（3） 作差比較法：設a、b是任意的實數a-b>0a>b a-b=0a=b a-b<0a<b（3）設a、b是正實數 （4）平方法：ab0óa2b2.變式練習1.如圖所示，a與b的大小關系是()a. ab b. ab c. ab d. b2a第1題圖【解析】a數軸上原點左邊的數表示負數，原點右邊的數表示正數，左邊的點表示的數總比右邊的點表示的數小，故ab.變式練習2.在0，2，(3)0，5這四個數中，最大

10、的數是()a. 0 b. 2 c. (3)0 d. 5【解析】b(3)01，50(3)02，最大的數是2.變式練習3下列各數中最小的數是()a. 0b. 3 c. d. 1【解析】b根據正數>0>負數，負數相比較，絕對值大的反而小，得3<<0<1.變式練習4.把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結果為_10-2-2.3_.變式練習5已知四個有理數a，b，x，y同時滿足以下關系式：ba，xyab，yxab.將這四個有理數按從小到大的順序用“”連接起來是_yabx_.點撥：xyab，yabx，xaby，把yabx代入yxab得：abxxab，2b2x，bx，把

11、xaby代入yxab得：y(aby)ab，2y2a，ya，ba，由得：yabx知識點五 ：實數的運算（1）加法：1、同號兩數相加，取相同的正負號，并把絕對值相加。2、絕對值不等的異號兩數相加，取絕對值較大的數的正負號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。3、互為相反數的兩個數相加得零。4、一個數與零相加，仍得這個數。 注意：有理數的加法運算（順口溜） 同號兩數來相加，絕對值加不變號。 異號相加大減小，大數決定和符號。 互為相反數求和，結果是零須記好。 【注】“大”減“小”是指絕對值的大小。（2）減法：1、有理數減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。 2、有理數減法常見的錯誤：沒有顧到結果的

12、符號；只改變運算符號，不改變減數的符號，沒有把減數變成相反數。注意：（1） 有理數的減法運算 （順口溜） 減正等于加負，減負等于加正。 有理數的乘法運算符號法則 同號得正異號負，一項為零積是零。（2） 有理數加減混合運算步驟：先把減法變成加法，再按有理數加法法則進行運算； （3）乘法：1、兩個有理數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；2、任何數與0相乘都得0。 除法：兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數都等于0。注意：1)、除以一個數，等于乘上這個數的倒數；2)、0不能做除數。變式練習按照如圖所示的操作步驟，若輸入的值為3，則輸出的值為_55_（4）

13、常見運算1.乘 方、有理數的乘法的定義：求幾個相同因數a的運算叫做乘方，乘方是一種運算，是幾個相同的因數的特殊乘法運算，記做“an”其中a叫做底數，表示相同的因數，n叫做指數，乘方的結果叫做冪。（1）幾個相同因數的積; 負數的偶（奇）次方為正（負）（2）零次冪 a0=_1_(a0)（3）負指數冪 a-p=1/ap（a0，p為整數）變式練習.下列等式正確的是()a. (1)31 b. (4)01c. (2)2×(2)326 d. (5)4÷(5)252【解析】b逐項分析如下：選項逐項分析正誤a(1)311×b(4)01c(2)2×(2)3(2)23(2)5

14、2526×d(5)4÷(5)2(5)42(5)25252×2.算術平方根與平方根、 若x2=a（a0）,則x=.其中是算術平方根.立方根 若x3=a,則x=.變式練習：（1）計算：1-2-6=_-7_;(-3)2=_9_;2-1=_1/2_;0=_1_; (2)64的平方根是_±8_,算術平方根是_8_,立方根是_4_.（5）有理數的混合運算：1、進行有理數混合運算的關建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運算法則、運算律及運算順序。比較復雜的混合運算，一般可先根據題中的加減運算，把算式分成幾段，計算時，先從每段的乘方開始，按順序運算，有括號先算括號里的，同時要注意靈活運用運算律簡化運算。 2、進行有理數的混合運算時，應注意：一是要注意運算順序，先算高一級的運算，再算低一級的運算運算律：加法的交換律 a+b=b+a加法的結合律 a+(b+c)=(a+b)+c；存在數0，使 0+a=a+0=a；對任意有理數a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交換律 ab=ba；乘法的結合律 a(bc)=(ab)c；分配律 a(b+c)=ab+ac；在實數范圍內，加減乘除（除數不為零）、乘方都可以進行，但開方運算不一定能進行，正實數和零總能進行開方運算，而負實數只能開奇次方，不能開偶次方。有理數的