1、學習(xux)目標 1、了解球體(qit)的體積公式和表面積公式的推導過程. 2、掌握球體(qit)的體積公式和表面積公式。第1頁/共14頁第一頁，共14頁。R3324:,.33VRVR半半球球猜猜測測從從而而?V 半半球球313VR 圓圓錐錐333VR 圓圓柱柱高等于底面半徑高等于底面半徑(bnjng)的旋轉體體積對比的旋轉體體積對比球的體積球的體積(tj)第2頁/共14頁第二頁，共14頁。 學習球的知識要注意和圓的有關指示結合起來(q li)所以我們先來回憶圓面積計算公式的導出方法 我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是.RR 和和 的的

2、矩矩形形2.R 那那么么圓圓的的面面積積就就近近似似等等于于第3頁/共14頁第三頁，共14頁。當所分份數不斷增加時，精確(jngqu)(jngqu)程度就越來越高；當份數無窮大時，就得到了圓的面積公式下下面面我我們們就就運運用用上上述述方方法法導導出出球球的的體體積積公公式式即先把半球分割成n n部分，再求出每一部分的近似(jn s)(jn s)體積，并將這些近似(jn s)(jn s)值相加，得出半球的近似(jn s)(jn s)體積，最后考慮n n變為無窮大的情形，由半球的近似(jn s)(jn s)體積推出準確體積分割(fng)求近似和化為準確和第4頁/共14頁第四頁，共14頁。問題問題

3、:已知球的半徑已知球的半徑(bnjng)為為R,用用R表示球表示球的體積的體積.21,rRR 222() ,RrRn2232() ,RrRnAOB2C2AO第5頁/共14頁第五頁，共14頁。OR(1)Rin i第第 層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的半半徑徑：22(1) ,1,2, .iRrRiinnirOA第6頁/共14頁第六頁，共14頁。32211() ,1,2,iiRRiVrinnnn 22(1) ,1,2,iRrRiinn12nVVVV 半半球球3222212(1)Rnnnn 321(1)(21)6Rnnnnnn 321(1)(21)16nnRn 第7頁/共14頁第七頁，共14頁。3

4、11(1)(2)16nnVR 半半球球1,0.nn 當當時時3324.33VRVR半半球球 從從而而343VRR 定定理理：半半徑徑是是 的的球球的的體體積積為為：第8頁/共14頁第八頁，共14頁。若每小塊表面看作(kn zu)一個平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點便得到n個棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當n越大,越接近于球的體積,當n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積.球的表面(biomin)是曲面,不是平面,但如果將表面(biomin)平均分割成n個小塊,每小塊表面(biomin)可近似看作一個平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面(biomin)積.當n趨近于無窮大時

5、,這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面(biomin)積. 球面不能展開成平面(pngmin)圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導方法,是否也可借助于這種極限思想方法來推導球的表面積公式呢? 下面，我們再次運用這種方法來推導球的表面積公式下面，我們再次運用這種方法來推導球的表面積公式球的表面積球的表面積第9頁/共14頁第九頁，共14頁。第一步：分割第一步：分割(fng)(fng)球面被分割球面被分割(fng)成成n個網格，表面積分個網格，表面積分別為：別為：123,nSSSS，則球的表面積：則球的表面積：123nSSSSS 則球的體積則球

6、的體積(tj)(tj)為：為：iV 設設“小小錐錐體體”的的體體積積為為iV123nVVVVV iSO OO O第10頁/共14頁第十頁，共14頁。第二步：求近似第二步：求近似(jn s)(jn s)和和ih 由第一步得：由第一步得：123nVVVVV 11223311113333nnVShShShSh13iiiVShO OiS iV O O第11頁/共14頁第十一頁，共14頁。第三步：化為準確第三步：化為準確(zhnqu)(zhnqu)和和13iiVS R 如果如果(rgu)(rgu)網格分的越細網格分的越細, ,則則: : “小錐體小錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐2311113333inVS RS RS RS R2311(.)33inRSSSSRS 343VR 又又球球的的體體積積為為：RiS O OiV 23441,33RRSSR 從從而而ihR 的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑ih O OiS iV 第12頁/共14頁第十二頁，共14頁。1. 球的表面積球的表面積設球的半徑設球的半徑(bnjng)為為R, 則球的表面積則球的表面積S_ .2. 球的體積球的體積設球的半徑