1、上海市金山區(qū)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：一、填空題( 2 3)1. 若線性方程組的增廣矩陣為L(zhǎng) 2 卜則其對(duì)應(yīng)的線性方程組是mx + 4y = 22. 已知關(guān)于兒y的方程組i有唯一解，則實(shí)數(shù)加的取值范圉是x+y = 13. 若直線X = I的傾斜角為&，則&=2 0 14. 若行列式0 1=0,則川的值是.1 1 15. 過點(diǎn)(1, 0)且與直線-2y-2=0垂直的直線方程是2 26. 己知斥、&是橢圓+ = l的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)人的直線與橢圓交于A B兩點(diǎn),25 16則ABF2的周長(zhǎng)為.7. 己知點(diǎn)A(l-1). B(3,3)兩點(diǎn)

2、，點(diǎn)C(5)在直線AB上，則實(shí)數(shù)的值為x + 2y 4,2x+y 3,8. 若約朿條件為彳則目標(biāo)函數(shù)f = x+y的最小值是X 0, y0.9. 己知圓C 一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(-1,2),B(1,4),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為10. 設(shè)拋物線)K=8的焦點(diǎn)為F , P在此拋物線上且PF = 5.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為11對(duì)于兩條平行直線與圓的位置關(guān)系左義如下：若兩直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關(guān)系為“平行相切“；若兩直線都與圓相離，則稱該位宜關(guān)系為“平行相離"；否則稱為“平行相交篤已知直線厶：加x + 3y +加+ 3 = 0,直線厶：兀+伽一2)y + 2 = O與圓a2-2-&#

3、247;/=b2-l（7>0）的位過關(guān)系是“平行相交=則實(shí)數(shù)b的取值范用是12.已知實(shí)數(shù)兒的取值范用是二單選題x = + 2t13若直線的參數(shù)方程為尸2-3為參數(shù)）則直線的斜率為（）2A.-33B.23C.22D.314.對(duì)任意實(shí)數(shù)則方程x2 + y2sin = 4所表示的曲線不可能是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓15.若0<£ <a1,2 2 2 2則曲線斗一_ = i與曲線4-4 = 1有（）Cr-k Zr+kCr ZrA.相同的虛軸B.相同的實(shí)軸C.相同的漸近線 D.相同的焦點(diǎn)16. 設(shè)P為雙曲線 FFl（">°>

4、76;）右支上一點(diǎn)，你尸；分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，若PFI-PF2=0,直線PF?交）'軸于點(diǎn)A，則A; P的內(nèi)切圓半徑是（）A. OB. bC. ya2+b2D. 3 + 少a三、解答題17. 已知直線.y = ax + 4（1）若直線/與直線3 + y = 0的夾角為彳，求實(shí)數(shù)d的值：X = 2COS_（2）若直線/被圓<CC （&為參數(shù)）截得的線段長(zhǎng)為2,求實(shí)數(shù)的值.y = 2sn18. 設(shè)雙曲線C.2x2-y2=2的右頂點(diǎn)為M（1）若傾斜角為銳角的直線/過點(diǎn)M且平行于雙曲線的一條漸近線，求直線/的一般式方程;(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y = x + 2與雙曲線C

5、相交于AB兩點(diǎn)，求AQAB的而 積，19. 如圖，我區(qū)新城公園將在長(zhǎng)34米、寬30米的矩形地塊內(nèi)開鑿一個(gè)“撻圓“形水池,2 Jty ,水池邊緣由兩個(gè)半橢圓4 + 4 = l(x0)和二+= I(Xno)組成，其中a>b>9, “撻Cr IrIr 81圓“內(nèi)切于矩形(即“撻圓“與矩形各邊均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)).(1) 求“撻圓”的方程：(2) 在“撻圓”形水池內(nèi)建一矩形網(wǎng)箱養(yǎng)殖觀賞魚，若該矩形網(wǎng)箱的一條邊所在直線方 程為y = (0,15),求該網(wǎng)箱所占水而面積的最大值.20. 設(shè)拋物線C.y2=4x的焦點(diǎn)為F(1) 若拋物線C與直線.y = kx-l有且只有一個(gè)公共點(diǎn).求實(shí)數(shù)k的值

6、：(2) 若點(diǎn)A、P滿足麗=2片，當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：(3) 在X軸上是否存在點(diǎn)0,使得點(diǎn)0關(guān)于直線y = 2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo):如果不存在。請(qǐng)說明理由。.21. 如圖，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F(l,0)是橢圓 + *=的右焦點(diǎn)，廠上任意一點(diǎn) 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2J分別過O、F的兩條直線Azr與CZ)相交于點(diǎn) E併于A、C兩點(diǎn))(I)求橢圓廠的方程:(2) 若£時(shí)井 忍C、口分別為直線AC與BD的斜率，求k./kD的值：(3) 若IOEl = IEFl求證：直線AC與BD的斜率之和為妃值，并將此命題加以推廣。

7、寫岀更一般的結(jié)論(不用證明)參考答案I. v+2'33x + 2y = 1【解析】【分析】根據(jù)線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣的左義得出.【詳解】增廣矩陣為（Il3、1 J由題意，可知：對(duì)應(yīng)的線性方程組為：一33 + 2y = 1故答案為:x + 2y = 33x + 2y = 1【點(diǎn)睛】 本題主要考查線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣的左義，本題屬基礎(chǔ)題.2. m4【分析】?iv + 4v = 2把給出的方程組中的兩個(gè)方程看作兩條直線，化為斜截式，由斜率不等即可x+y = i解得答案.【詳解】m+4v = 2方程組 的兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)兩條直線，方程組的解就是兩直線的交點(diǎn),x+y = *由mx+4y - 2

8、=0,得v=- x + -此直線的斜率為一儀424由x+y- 1=0,得y=-+.此直線的斜率為-1若方程組彳mx+4y = 2 +y = i有唯一解,則兩直線的斜率不等，HP-*izz4.故答案為:m4.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，二元一次方程組的解實(shí)質(zhì) 是兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題.3. 90°【分析】利用與X軸垂直的直線的方程即可得出傾斜角.【詳解】直線x=l, 傾斜角為90° .故答案為：90。.【點(diǎn)睛】本題考査了與X軸垂直的宜線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.4. 0.5【分析】利用行列式展開法則直接求解.【詳解】2 0

9、1T行列式01加=0,1 1 12 - 1 - 2n=0,解得加=0.5. .S?的值為0.5.故答案為:0.5.【點(diǎn)睛】本題考査實(shí)數(shù)值的求法，考査行列式展開法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5. 2x + y-2 = 0【解析】【分析】根據(jù)題-F可得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程的寫法得到結(jié)果【詳解】過點(diǎn)(IO)且與直線x-2y-2=0垂直的直線方程,可知直線的斜率為-2,根據(jù)點(diǎn)斜式方程的寫法可得到直線方程為：y = -2(x-)>y = -2x + 2.整理成一般式得到：2x + y-2 = 0.故答案為：2x + y-2 = 0.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了已知直線的位置關(guān)系，求

10、直線方程，屬于基礎(chǔ)題目.6. 20【分析】由橢圓左義得周長(zhǎng)等于兩個(gè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓方程，即可求岀心尸0的周長(zhǎng)【詳解】2 2VF1,尺為橢圓+ = 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，2516/.IAFikIAF2I=IO, IBFII+IBF2I =10,AAFIB 的周長(zhǎng)為IABI+IAF2+BF2=IAFiI+L4F2I+IBFiWBF2I= 10+10=20；故答案為20【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的左義的應(yīng)用，做題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.7. 7【分析】求出AB的斜率，再求的斜率，二者相等即可確定“的值.【詳解】?jī)牲c(diǎn)A (1, - 1人B (3, 3),點(diǎn)C (5, U)在直線AB上,°AB=

11、RBe 即:3 + 1 a _33T" 53故答案為7【點(diǎn)睛】本題考査三點(diǎn)共線問題，可以用斜率解答，點(diǎn)在直線上解答，還可以用點(diǎn)到直線的距禽為0 解答，是基礎(chǔ)題.8. 13【分析】 作岀不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，化目標(biāo)函數(shù)為直線y="利用/的幾何意義求/的最小值.【詳解】由 =x+y,則 y= - x+f,平移直線 y=-x,由圖彖可知當(dāng)直線y=-x+f經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小.x + 2y = 42卄嚴(yán)3'解得2 X =35 r257代入=x+y 得 =- + - = y.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決此

12、類 問題的基本方法.9. x2+(>-3)2=2【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程.【詳解】VA ( - L 2), B (1, 4)是圓C*的直徑的兩端點(diǎn)，圓心Q是的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0, 3),圓C半徑IACI= 2圓C的方程是：X2+ (y-3) W.故答案為X2+ (y-3) 2=2.【點(diǎn)睛】本題考査圓的方程的求法，解題時(shí)要注意求圓心坐標(biāo)和圓半徑的長(zhǎng)，是基礎(chǔ)題.10. （3,26）或者（-26）【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)P在拋物線上，IPFl=5,可確左點(diǎn)P的橫 坐標(biāo)，從而可求點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為X拋物線=8-的準(zhǔn)線方程為X= -

13、2點(diǎn)P在拋物線上,IPn=5,.x+2=5.x=3.點(diǎn)P在拋物線上Ay2=24.*.v=±26點(diǎn)P的坐標(biāo)（3, 2岳）或（3, -26 ）故答案為：（3, 26）或者（3, - 26）.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查拋物線的眾義，考查拋物線方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用拋物線的左義.11. （, 2U（迺，+Q10 10 10【分析】根據(jù)直線平行的等價(jià)條件求出用的值以及直線的解析式，求出圓心和半徑，求岀當(dāng)直線和 圓相切時(shí)b的值，結(jié)合“平行相交”的左義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)m=2時(shí)，兩直線方程為2v+3y+3=0,和+2=0,兩直線相交，不滿足直線平行，當(dāng)加H2時(shí)，若兩直線平行，則-，1 m-2

14、2由竺=-得 m2 - Im - 3=0 得 m= - 1 或 w = 3t1 in-2-1 一1 + 3 當(dāng)時(shí)， = 成立,3 3 + 3當(dāng)加=3時(shí)，-不成立，1 2即 Tn= - 1,此時(shí)兩條直線方程為 h： -x+3y+2=0,即 x - 3> - 2=0, IIi X - 3>*+2=0,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A -I) 2+y2=b2, (b>0),若圓與h相切，則圓心到直線的距離圓心坐標(biāo)為(1, 0),半徑r=b9一條與圓相交，一條與圓相離，則若圓與b相切，則圓心到直線 由題知若兩直線與圓的關(guān)系是“平行相交”時(shí)，則兩直線都與圓相交，或者一條與圓相交,一條與圓相離兩直線都

15、與圓相交時(shí)，則/?跡則如的取值范圍是（計(jì)益10 10 10故若兩條直線位置關(guān)系是“平行相交”,【分析】過圓上一點(diǎn)P作直線的垂線PM,則 _加【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位垃關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線平行的條件求出加的值，以及利用直線和圓相切，求岀b的值是解決本題的關(guān)鍵.SinZPoM,求出ZPoM的范用即可得到答案.【詳解】P(不刃為圓工+()一 2) 2=1上的任意一點(diǎn)，則P到直線-A+ly=0的距離PM= 2 231Tx+2y 31又因?yàn)閳A在直線的上方，則PM= -I= x + ->¼'31- + -4 4/ 3 1224 + 4. 22° =空_ = sin

16、"0M,7÷ OP設(shè)圓+ (>-2) 2= 1與直線y=滋相切，則-7=-=1,解得k=土r + 1:乙PoM的最小值為0。,最大值為60° ,.0sinZP<9M32故答案為:(0,【點(diǎn)睛】本題考査了直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意臨界位置的轉(zhuǎn)化,屬難題.13B【解析】試題分析：由題意得，根據(jù)直線的參數(shù)方程的概念，可知直線的斜率為“#一|,故選B.考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程.14. C【解析】思路分析：用Ax2+By2=c所表示的圓錐曲線，對(duì)于k=OJ及k>0且kl,或kV0,分別討 論可知：方程x2+ky2=l不可能表示拋物線15.

17、 D【解析】對(duì)于雙曲線;P"可得宀*對(duì)于雙曲線卜汨也有c2=a2+b2. 兩雙曲線的半焦距相冋，且焦點(diǎn)都X軸上，二雙曲線由相同的焦點(diǎn).故選D.16. A【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得"的值，設(shè)AAPFi的內(nèi)切圓半徑為r,由直角三角形的 性質(zhì)分析可得IPFl+l加-L4Fl=2r,由雙曲線的幾何性質(zhì)分析IAF2I - IAFll = 2廠加，由圖形 的對(duì)稱性知2r - 2t=0,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，雙曲線C6a2 h2=l（>O,設(shè)ZXAPF的內(nèi)切圓半徑為兒設(shè)內(nèi)切圓的半徑設(shè)為兒可得IPFIl+1加-L4F1l=2r,IPF2+加+1 用 1 - IA

18、FII=2r,lAF2 IAFlI=2r - 2c,T由圖形的對(duì)稱性知：IAF2I=IAFiI,即2r- 2u=0,解可得r=a,【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的圮義，注意宜角三角形的內(nèi)切圓半徑公式.17. (1) “=O 或 a=y3 (2) ± y7【解析】【分析】k 一k(1) 利用夾角公式tan=lj-j-可得：】 2(2) 先將圓的參數(shù)方程化成普通方程，再求出圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股左理求出弦 長(zhǎng)聯(lián)立可得"的解.【詳解】(I)利用夾角公式可得:解得“=0或"=JJ:X= 2cos(2)由彳 C門消去e得2+=4f y = 2sn圓心(Ot

19、 0)到直線 my+4=0的距離d=4+122 =247> =2, = 2,解得 <=±7Vc +【點(diǎn)睛】 本題考査了直線的夾角公式，參數(shù)方程化成普通方程，圓的弦長(zhǎng)公式，準(zhǔn)確訃算是關(guān)鍵，屬中檔題18. (1) 2-y-2= 23【分析】(1) 根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和點(diǎn)斜式即可求出直線/的方程，(2) 設(shè)A (x, y), B(X2,沖)由J V = X+ y ,消),可得x2-22x-4=> 根據(jù)韋達(dá)2j _ y- = 2定理和三角形的而積公式即可求岀.【詳解】2(1) 雙曲線 C： 2x2-V2=2,即為- = l,2."=1, b=JJ,漸近線方程 y=&

20、#177; y2×>：.M (1, 0),Y傾斜角為銳角的直線/過點(diǎn)M且平行于雙曲線的一條漸近線，直線的斜率為J,°直線方程為 y= y2 (X-1)，即 JJX-y-JJ = O,(2) 設(shè)A (x> y)> B(X2, V2)y= x + yf2 ,消 y可得2.22A -4=0,2f _ y = 2.x+x2=2y2 > XIX2= - 4,k - X2 = Ay(Xl +x2)2 -4x1x2 =+ 16 =2yf 9對(duì)直線 y=X+J,令 =0,則 y= 2 ,即 D(0,)，:S&)AB = 0D9Ix -兀21= ×&

21、#215; 2/6 = 2y3 2 24；B /732z, ”-3 Z1G234【點(diǎn)睛】1本題考査了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線和雙曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)左理，三角形的面積等基礎(chǔ) 知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.2 2 2 219. (1)二 +厶=l,jv O 和厶+ 7 = l,xO:(2) 510252 152152 92【分析】(1) 利用已知條件求出橢圓的“，b，c,得到“撻圓“方程.(2) 設(shè)P (°, /)為矩形在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)，Q (Xi, /)為矩形在第二象限內(nèi)頂點(diǎn)，求 出內(nèi)接矩形的而積的表達(dá)式，利用基本不等式求解最大值即可.【詳解】(1)由題意知

22、b=15, “+9 = 34解得 a=259 b=5所以“撻圓”方程為：÷ = 1 uo和備+計(jì))，(2)設(shè)P (也，r)為矩形在第一彖限內(nèi)的頂點(diǎn)，Q Uu O為矩形在第二象限內(nèi)頂點(diǎn),所以內(nèi)接矩形的而枳S=34X t2r(x0-xl) = 2rx-x0 = 15×34×2-= 15X34 1(獸+”。'當(dāng)且僅當(dāng)¥ = £時(shí)S取最大值510.網(wǎng)箱水而而積最大510加.【點(diǎn)睹】本題考査直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用， 考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.20. （1） 0或-1： （2），2=8_4x： （3

23、） -y,j【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線，討論二次項(xiàng)系數(shù)結(jié)合判別式可得所求居（2）設(shè)A 5, “），P Ct, y）,且F （1, 0）,運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得加，”的關(guān) 系式，代入拋物線方程可得所求軌跡方程：（3 ） X軸上假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。關(guān)于直線V=Zr的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上，設(shè)出和 對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物 線方程，計(jì)算可得所求左點(diǎn).【詳解】(1)聯(lián)立直線/： y=kx - 1 與拋物線 C： y2=4x, WA>'2-4y-4 = 0當(dāng)R=O時(shí)，y =1滿足條件當(dāng) RHo 時(shí)，A=16+16k=O=>

24、;E=-l,滿足條件；故 R=O 或 _1(2) 設(shè) A (m9 n), P (Xt y),且 Fd, 0),點(diǎn) A、P 滿足 AP = -2FA可得(X 加,y - n)= 2 (n- 1 > ?),可得 Xm= 2加+2, y - n= - 2小H卩 X= - m+2t y= - ZIt H卩 n=2 - Xf ?= - y9由 n2=4m9 貝IJ y2=4(2-),可得P的軌跡方程為V2=S - 4a;(3) 兀軸上假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。關(guān)于直線y=2v的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上,設(shè)Q（6 0）,對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為（5, /）t可得Us_t34解得 s=-t, U= -t94 315即有(_,

25、)2=4 (-/),可得匸一一，5 54可得存在點(diǎn)Q(-，0),使得點(diǎn)0關(guān)于直線v=2r的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上4【點(diǎn)睛】本題考査拋物線的方程和運(yùn)用，考查坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，以及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題和直線與拋物 線的位宜關(guān)系，考査化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.21. (1) + v2=l ； (2) 0： (3)略2【分析】2 2(1)由點(diǎn)F (h 0)是橢圓 + = 1的右焦點(diǎn)，得到C=I,由上任意一點(diǎn)到該橢 a2 b2圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2j,得到2z=22，由此能求岀橢圓的方程.y = -X +1得 C (0, 1), D (-, 一丄)，直33線AB的方程為y=x,得a(£,導(dǎo)厚,j由此能(2)求出直線CD的方程為y =-+1,由.求出 hc+CBD.(3)設(shè)直線AB的方程為y=hx,與橢圓方程聯(lián)解可得A和B的橫坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)C、D 的橫坐標(biāo)關(guān)于k的式子，由此結(jié)合直線的斜率公式化簡(jiǎn)整理，即可算出直線AG BD的斜率 之和為0,從而證岀所求證的命題是真命題.再將此命題加以推廣即可求解【詳解】(1)點(diǎn)F (It 0)是橢圓rX + = 1的右焦點(diǎn)，則C=I,Cr Ir卩上任意一點(diǎn)到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2匝，則2z=22