1、第十一章圓錐曲線一、基礎知識1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|pf1|+|pf2|=2a (2a|f1f2|=2c). 第二定義： 平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡（其中定點不在定直線上），即edpf |(0eb0)，參數(shù)方程為sincosbyax（為參數(shù)）。若焦點在y 軸上，列標準方程為12222byay(ab0)。3橢圓中的相關概念，對于中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓12222byax，a 稱半長軸長， b 稱半短軸長， c 稱為半焦距， 長軸端點、 短軸端點、 兩個焦點的坐

2、標分別為(a, 0 ), (0, b), (c, 0 )；與左焦點對應的準線（即第二定義中的定直線）為cax2，與右焦點對應的準線為cax2；定義中的比e 稱為離心率，且ace，由 c2+b2=a2知 0eb0), f1(-c, 0), f2(c, 0)是它的兩焦點。 若 p(x, y)是橢圓上的任意一點，則|pf1|=a+ex, |pf2|=a-ex. 5幾個常用結論：1）過橢圓上一點p(x0, y0)的切線方程為12020byyaxx；2）斜率為k 的切線方程為222bkakxy；3）過焦點f2(c, 0)傾斜角為 的弦的長為2222cos2caabl。6雙曲線的定義，第一定義：滿足 |p

3、f1|-|pf2|=2a(2a0) 的點 p的軌跡；第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。7雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線方程為12222byax，參數(shù)方程為tansecbyax（為參數(shù)）。焦點在 y 軸上的雙曲線的標準方程為12222bxay。8雙曲線的相關概念，中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線12222byax(a, b0), a 稱半實軸長， b 稱為半虛軸長，c 為半焦距，實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為f1(-c,0), f2(c, 0)，對應的左、右準線方程分別為.,22caxcax離心率ace，由 a2

4、+b2=c2知 e1。 兩條漸近線方程為xaky， 雙曲線12222byax與12222byax有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。9雙曲線的常用結論，1）焦半徑公式，對于雙曲線12222byax，f1（-c,0）, f2(c, 0)是它的兩個焦點。 設 p(x,y)是雙曲線上的任一點，若 p在右支上， 則|pf1|=ex+a, |pf2|=ex-a；若 p （x,y）在左支上，則|pf1|=-ex-a，|pf2|=-ex+a. 2) 過焦點的傾斜角為 的弦長是2222cos2caab。10拋物線：平面內與一個定點f和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋

5、物線，點f叫焦點，直線l 叫做拋物線的準線。若取經過焦點f且垂直于準線l 的直線為x 軸，x 軸與 l 相交于 k，以線段 kf的垂直平分線為y 軸，建立直角坐標系，設|kf|=p ，則焦點 f坐標為)0,2(p，準線方程為2px，標準方程為y2=2px(p0)，離心率e=1. 11拋物線常用結論：若p(x0, y0)為拋物線上任一點，1）焦半徑 |pf|=2px；2）過點 p的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過焦點傾斜角為的弦長為2cos12p。12極坐標系，在平面內取一個定點為極點記為o，從 o 出發(fā)的射線為極軸記為ox 軸，這樣就建立了極坐標系，對于平面內任意一點p，記|op|=

6、, xop= ，則由（ ，）唯一確定點 p的位置，（， ）稱為極坐標。13圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e 的點 p，若 0e1，則點 p的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點 p的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為cos1eep。二、方法與例題1與定義有關的問題。例 1 已知定點 a （2， 1） ， f是橢圓1162522yx的左焦點，點 p為橢圓上的動點， 當 3|pa|+5|pf|取最小值時，求點p的坐標。 解 見圖11-1 ，由題設a=5, b=4, c=2245=3,53ace. 橢圓左準線的方程為325x，又因為1161254，所以點a在橢圓

7、內部，又點f 坐標為（ -3 ，0） ，過 p 作 pq垂直于左準線，垂足為q 。由定義知53|epqpf，則35|pf|=|pq| 。所以 3|pa|+5|pf|=3(|pa|+35|pf|)=3(|pa|+|pq|)3|am|(am左準線于m)。所以當且僅當p 為 am 與橢圓的交點時，3|pa|+5|pf|取最小值，把y=1 代入橢圓方程得4155x，又 xb0）.f坐標為 (-c, 0).設另一焦點為f。連結af，op ，則21/afop。所以 |fp|+|po|=21(|fa|+|af|)=a. 所以點 p的軌跡是以f，o為兩焦點的橢圓 （因為 a|fo|=c ） ，將此橢圓按向量m

8、=(2c,0) 平移，得到中心在原點的橢圓：1442222byax。由平移公式知，所求橢圓的方程為.14)2(42222byacx解法二 相關點法。設點p(x,y), a(x1, y1)，則2,211yycxx，即 x1=2x+c, y1=2y. 又因為點a在 橢 圓12222byax上 ， 所 以.1221221byax代 入 得 關 于 點p 的 方 程 為14242222byacx。它表示中心為0 ,2c，焦點分別為f和 o 的橢圓。例 4 長為 a, b 的線段 ab，cd分別在 x 軸， y 軸上滑動，且a，b，c，d 四點共圓，求此動圓圓心 p的軌跡。解 設 p(x, y)為軌跡上

9、任意一點，a，b， c，d 的坐標分別為a(x-2a,0), b(x+2a,0), c(0, y-2b), d(0, y+2b), 記 o為原點，由圓冪定理知 |oa| ?|ob|=|oc|?|od| ， 用坐標表示為442222byax，即.42222bayx當 a=b 時，軌跡為兩條直線y=x 與 y=-x；當 ab 時，軌跡為焦點在x 軸上的兩條等軸雙曲線；當 a0, b0)的右焦點f作 b1b2x軸，交雙曲線于b1，b2兩點， b2與左焦點f1連線交雙曲線于b點，連結b1b交 x 軸于 h 點。求證： h 的橫坐標為定值。證明 設點 b，h，f的坐標分別為(asec,btan ), (

10、x0, 0), (c, 0)，則 f1，b1，b2的坐標分別為(-c, 0), (c, ab2), (c, ab2)，因為 f1，h 分別是直線b2f，bb1與 x 軸的交點，所以.cossinsin,cossin20baacabxbaabc所以222220coscossinsin2)sin(babacbbacx222222sincossinsin)sin(cbabacbba)sin)(sin()cossin(sin)sin(2bcbcbaacbba。由得,)sin(cossin0 xcbaba代入上式得,)sin(sin2020bcxabacx即cax2（定值）。注：本例也可借助梅涅勞斯定理

11、證明，讀者不妨一試。例 7 設拋物線 y2=2px(p0) 的焦點為f，經過點f 的直線交拋物線于a，b兩點，點c在準線上，且 bc/x 軸。證明：直線ac經過定點。 證 明 設222121,2,2ypybypya， 則2,2ypc， 焦 點 為0,2pf， 所 以),2(121ypyoa，2,2ypoc，),22(121yppyfa，222,22yppyfb。 由 于fbfa/， 所以py221?y2-2221222pypyypy1=0， 即22)(2121ppyyyy=0。 因為21yy，所以02221ppyy。所以022121yppyy，即0221221ypypy。所以ocoa/，即直線

12、 ac經過原點。例 8 橢圓12222byax上有兩點 a，b，滿足 oaob ，o為原點，求證：22|1|1oboa為定值。 證明 設|oa|=r1,|ob|=r2,且 xoa= , xob=2，則點 a，b的坐標分別為a(r1cos , r1sin ),b(-r2sin ,r2cos) 。由 a，b在橢圓上有.1cossin,1sincos2222222222212221brarbrar即222221sincos1bar.cossin1222222bar+得222211|1|1baoboa（定值）。4最值問題。例 9 設 a，b是橢圓 x2+3y2=1 上的兩個動點，且oaob （o為原點

13、），求|ab| 的最大值與最小值。 解 由題設a=1， b=33, 記 |oa|=r1,|ob|=r2,trr21，參考例8 可得222111rr=4。設m=|ab|2=)12(41)11)(4122222122212221ttrrrrrr, 因為222222222221sin1sincos1babaabar，且a2b2，所以2212111bra，所以br1a， 同理 b r2a. 所以batab。 又函數(shù) f(x)=x+x1在1 ,22ab上單調遞減， 在22, 1ba上單調遞增，所以當t=1 即|oa|=|ob| 時， |ab| 取最小值1；當abt或ba時， |ab| 取最大值332。例

14、 10 設一橢圓中心為原點，長軸在x 軸上，離心率為23，若圓c：22)23( yx1 上點與這橢圓上點的最大距離為71，試求這個橢圓的方程。 解 設 a， b分別為圓c和橢圓上動點。 由題設圓心c坐標為23,0， 半徑 |ca|=1 ， 因為 |ab|bc|+|ca|=|bc|+1，所以當且僅當a，b，c共線，且|bc| 取最大值時， |ab| 取最大值71，所以 |bc| 最大值為.7因為23e；所以可設橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t 3,t ，橢圓方程為142222tytx， 并設點b坐 標為b(2tcos ,tsin )，則 |bc|2=(2tcos)2+223sint=3

15、t2sin2-3tsin+49+4t2=-3(tsin+21)2+3+4t2. 若21t，則當 sin =-1 時， |bc|2取最大值 t2+3t+749，與題設不符。若 t21, 則當 sin =t21時， |bc|2取最大值3+4t2，由 3+4t2=7 得 t=1. 所以橢圓方程為1422yx。5直線與二次曲線。例 11 若拋物線y=ax2-1 上存在關于直線x+y=0 成軸對稱的兩點，試求a 的取值范圍。 解 拋物線 y=ax2-1 的頂點為 (0,-1)，對稱軸為y 軸，存在關于直線x+y=0 對稱兩點的條件是 存 在 一 對 點p(x1,y1) ，p(-y1,-x1) ， 滿 足

16、y1=a121x且 -x1=a(-y1)2-1 ， 相 減 得x1+y1=a(2121yx), 因為 p不在直線x+y=0 上，所以x1+y10, 所以 1=a(x1-y1) ，即 x1=y1+.1a所以.011121ayay此方程有不等實根，所以0) 11(41aa，求得43a，即為所求。例 12 若直線 y=2x+b 與橢圓1422yx相交， （1）求 b 的范圍；（2）當截得弦長最大時，求 b 的值。 解 二 方 程 聯(lián) 立 得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由 0， 得17b0) ，則動點的軌跡是_. 3橢圓13610022yx上有一點p，它到左準線的距離是10，它到右焦點的距

17、離是_. 4雙曲線方程152|22kykx，則 k 的取值范圍是 _. 5橢圓16410022yx，焦點為f1，f2，橢圓上的點p 滿足 f1pf2=600，則 f1pf2的面積是_. 6 直線 l 被雙曲線1422yx所截的線段mn 恰被點 a （3， -1 ） 平分，則 l 的方程為 _. 7 abc的三個頂點都在拋物線y2=32x 上，點 a（2，8） ，且 abc的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線bc的斜率為 _. 8已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和 3x+4y-10=0 ，一條準線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_. 9已知曲線y2=ax，與其關于點（1，1）對稱

18、的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450，那么 a=_. 10.p 為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點，|21popfpf的取值范圍是_. 11已知橢圓1212212byax與雙曲線1222222byax有公共的焦點f1，f2，設 p是它們的一個焦點，求 f1pf2和pf1f2的面積。12已知（ i ）半圓的直徑ab長為 2r ； （ii ）半圓外的直線l 與 ba的延長線垂直，垂足為t，設|at|=2a(2a1) 的一個頂點c（0，1）為直角頂點作此橢圓的內接等腰直角三角形abc ，這樣的三角形最多可作_個. 11求橢圓12222byax上任一點的兩條焦半徑夾角的正弦的

19、最大值。12設 f，o分別為橢圓12222byax的左焦點和中心，對于過點f 的橢圓的任意弦ab ，點 o都在以 ab為直徑的圓內，求橢圓離心率e 的取值范圍。13已知雙曲線c1：122222ayax(a0) ，拋物線 c2的頂點在原點o，c2的焦點是c1的左焦點f1。（1）求證： c1，c2總有兩個不同的交點。（2）問：是否存在過c2的焦點 f1的弦 ab ，使 aob的面積有最大值或最小值？若存在，求直線 ab的方程與s aob的最值，若不存在，說明理由。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1在平面直角坐標系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是 _.

20、 2設 o為拋物線的頂點，f 為焦點，且pq為過 f 的弦，已知 |of|=a ，|pq|=b ，opq 面積為_. 3給定橢圓12222byax，如果存在過左焦點f 的直線交橢圓于p，q兩點，且opoq ，則離心率 e 的取值范圍是_. 4設 f1，f2分別是雙曲線12222byax(ab0) 的左、右焦點，p為雙曲線上的動點，過f1作f1pf2平分線的垂線，垂足為m ，則 m的軌跡為 _. 5 abc一邊的兩頂點坐標為b（0，2）和 c（0，2） ，另兩邊斜率的乘積為21，若點 t 坐標為 (t,0)(tr+), 則|at| 的最小值為 _. 6長為 l(l1)的線段 ab的兩端點在拋物線

21、y=x2上滑動， 則線段 ab的中點 m到 x 軸的最短距離等于 _. 7已知拋物線y2=2px 及定點 a(a,b),b(-a,0),ab0,b22pa，m是拋物線上的點， 設直線 am ，bm與拋物線的另一個交點分別為m1，m2，當 m變動時，直線m1m2恒過一個定點，此定點坐標為_. 8已知點 p（1，2）既在橢圓12222byax內部（含邊界） ，又在圓 x2+y2=3222ba外部（含邊界），若 a,b r+, 則 a+b 的最小值為 _. 9已知橢圓13422yx的內接 abc的邊 ab ，ac分別過左、右焦點f1，f2，橢圓的左、右頂點分別為d， e ，直線 db與直線 ce交于

22、點 p，當點 a在橢圓上變動時，試求點p的軌跡。10設曲線 c1：1222yax（a 為正常數(shù)）與c2：y2=2(x+m) 在 x 軸上方有一個公共點p。 （1）求實數(shù) m的取值范圍（用a 表示） ；（2） o為原點，若c1與 x 軸的負半軸交于點a，當 0a0),p(x,y)為 軌 跡 上 任 一 點 ， 則222221|1|mkykxkykx。化簡為 2k2x2+2y2=m2(1+k2). 當 k1 時，表示橢圓；當k=1 時，表示圓。312由題設a=10,b=6,c=8 ，從而p 到左焦點距離為10e=10108=8, 所以 p 到右焦點的距離為 20-8=12 。4-2k2 或 k5.

23、 由(|k|-2)(5-k)5 或-2k2. 5.3364設 兩 條 焦 半 徑 分 別 為m,n ， 則 因 為 |f1f2|=12,m+n=20.由 余 弦 定 理 得122=m2+n2-2mncos600, 即(m+n) 2-3mn=144. 所以3256mn，.3364232121mnsfpf6 3x+4y-5=0.設m(x1,y1),n(x2,y2)， 則.14, 1422222121yxyx兩 式 相 減 得4)(2121xxxx-(y1+y2)(y1-y2)=0. 由12, 322121yyxx，得431212xxyy。故方程 y+1=43(x-3). 7.-4.設b(x1,y1

24、),c(x2,y2) ， 則3821yy=0， 所 以y1+y2=-8 ， 故 直 線bc 的 斜 率 為.4323232212122121212yyyyyyxxyy816)2(9)1(22xy=1。由漸近線交點為雙曲線中心，解方程組01043,0243yxyx得中心為(2,1) ，又準線為54y，知其實軸平行于y 軸，設其方程為2222) 1()1(bxay=1。其漸近線方程為bxay11=0。 所以 y-1=ba(x-1).由題設43ba， 將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點，其標準方程為2222bxay=1。由平移公式1, 2yyxx平移后準線為cay259，再結合43ba

25、，解得 a2=9，b2=16，故雙曲線為16)2(9)1(22xy=1。92曲線 y2=ax 關于點（ 1，1）的對稱曲線為(2-y)2=a(2-x), 由)2()2(,22xayaxy得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,從而2121xxyyk= 2)(21222121ayyayyyya=1，所以 a=2. 10 （ 2，22 。設 p(x1,y1) 及tpopfpf|21，由 |pf1|=ex1+a ,|pf2|=ex1-a,|pf1|+|pf2|=2ex1, 所以taxx2211222，即8222221ttax。因221ax，所以)0(822222aatta，所以18222tt

26、即 20, 設 x1,x2是方程的兩根，由韋達定理.2)12(22) 12(22221kkkkkkxx由，得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) =k(x1+x2)+2(1-2k)=.2)12(42kk設 p1p2的中點 p坐標 (x,y)，由中點公式及，得,2)12(22,2)12(2221221kkyyykkkxxx消去 k 得.147)21(87) 1(22yx點（ 2，0）滿足此方程，故這就是點p的軌跡方程。高考水平測試題1.1123622yx由橢圓方程得焦點為)0 ,34(，設雙曲線方程12222byax，漸近線為. xaby由題設31ab，所以 a2=3b2,

27、又34c,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. 2. 900。見圖 1，由定義得 |fa|=|aa1|,|fb|=|bb1| ，有 1=bfb1，2=afa1，又 1=3，2=4，所以 3+ 4=bfb1+ afa1=900。3 相 切 ， 若p(x,y)在 左 支 上 ， 設f1為 左 焦 點 ， f2為 右 焦 點 ， m 為pf1中 點 ， 則|mo|=21|pf2|=21(a-ex) ，又 |pf1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和21(-a-ex)+a=21(a-ex)=|mo|，所以兩圓外切。當p(x,y) 在右支上時，同理得兩圓內切。4.310與 f1對應的另一條準

28、線為x=-11 ，因 |mf1| 與 m 到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10. 所以3110|1mf，所以 |mf1|=.3105充要。將y=2x+1 代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. 若=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0， 則直線與橢圓僅有一個公共點，即 b2+4a2=1； 反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個公共點。6y=2(x-1)。消去參數(shù)得 (y-2m) 2=4(x-m) ，焦點為,2, 1mymx它在直線y=2(x-1) 上。71mm,所以 1m0) ，ca的直線方程為y=kx+1 ，代入橢圓

29、方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得 x=0 或12222kakax，于是)0,12(222kakaa， |ca|=.1122222kakka由題設，同理可得|cb|=1122222kakka, 利用 |ca|=|cb| 可得(k-1)k2-(a2-1)k+1=0, 解得 k=1或 k2-(a2-1)k+1=0 。對于，當1a3時，有兩個不等實根，故最多有 3 個。11解設焦點為f1，f2，橢圓上任一點為p(x0,y0), f1pf2=, 根據(jù)余弦定理得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1| ?|pf2|cos , 又 |pf1|+|pf2|=2a ，則4c2=(2

30、a)2-2|pf1| ?|pf2|(1+cos ), 再將 |pf1|=a+ex0， |pf2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得 4b2=2(a2-e220 x)(1+cos ). 于是有. 12cos20222xeab由 0220ax，得220222axeab，所以1cos2222aab。因 0 ， ，所以cos 為減函數(shù)，故0.2arccos222aab當 2b2a2即ba2時，02222aab，arccos2,0,22222aab，sin 為增函數(shù)，sin 取最大值222222arccossinabcaab； 當 2b2a2時， arccos22222aab, 0, ，則 sin 最

31、大值為1。12解設 a(x1,y1),b(x2,y2) ，若 ab斜率不為0，設為 k，直線 ab方程為 y=k(x+c) ，代入橢圓方程并化簡得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. 則 x1,x2為方程的兩根，由韋達定理得,22222221kabckaxx.)(222222221kabbckaxx因為 y1y2=k2(x1+c)(x2+c) ，再由，得.2222221bkakbyy所以oboa=x1x2+y1y2=222224222)(bkababcak,o 點在以 ab為直徑的圓內， 等價oboa0，即 k2(a2c2-b4)-a2b20 對任意 k r成

32、立，等價于 a2c2-b2 0, 即 ac-b20, 即 e2+e-1 0. 所以 00，所以方程必有兩個不同實根，設為x1,x2, 由韋達定理得x1x2=-a20，設y1,y2分別為a，b 的縱坐標，則y1+y2=ma34,y1y2=-12a2. 所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以saob=21|y1-y2| ?|of1|=23a?34a?22226161amam，當且僅當m=0時， s aob的面積取最小值；當m +時， saob+，無最大值。所以存在過f 的直線 x=a3使 aob面積有最小值6a2. 聯(lián)賽一試水平訓練題1m5.由已知得myxyx5)2(132)1(2222

33、，說明 (x,y)到定點（ 0,-1 ）與到定直線x-2y+3=0 的距離比為常數(shù)m5，由橢圓定義m55. 2.aba因為b=|pq|=|pf|+|qf|=2sin4)cos(12cos12aaa, 所以ba2sin。所以 sopq=21absin =aba. 3.1 ,215。設點 p坐標為 (r1cos,r1sin ), 點 q坐標為 (-r2sin ,r2cos) ，因為 p ， q在橢圓上， 可得2222211111barr， rtopq 斜邊上的高為22222121baabrrrr|of|=c. 所以 a2b2c2(a2+b2) ，解得215e1時 |at|min=|t-2|.由題設

34、kab?kac=-21, 設a(x,y)， 則2122xyxy(x0)，整理得2422yx=1(x0)，所以|at|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+21222x(x-2t)2+2-t2. 因 為 |x| 2, 所 以 當t (0,1時 取x=2t,|at|取最小值22t。當 t1 時，取 x=2，|at| 取最小值 |t-2|. 6.42l設 點m(x0,y0) ， 直 線ab 傾 斜 角 為 ， 并 設a(x0-sin21,cos2100yx), b(x0+sin21,cos210y), 因為 a， b在拋物線上，所以,)cos21(sin21200 xy,)cos21(sin2120

35、0 xy由，得 2x0cos=sin . 所以.41)coscos1(41sin21)cos21(222200lxy因為 l21，所以函數(shù)f(x)=xlx21. 在（ 0，1 在遞減，所以441)1 (41220lly。當 cos=1 即 l 平行于 x 軸時，距離取最小值.42l7.2,bpaa設22221211020,2,2,2ypymypymypym， 由 a， m ， m1共線得 y1=bypaby002，同理 b ，m ，m2共線得bypay022，設 (x,y)是直線m1m2上的點，則y1y2=y(y1+y2)-2px ，將以上三式中消去y1,y2得y02(2px-by)+y0?2

36、pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 當 x=a,y=bpa2時上式恒成立，即定點為.2,bpaa863。由題設14122ba且 a2+2b215，解得 5 b2 6. 所以 a+b44422tttbbb(t=b2-4 1,2)，而44ttt)4(3)2(2642436436ttttttttt， 又 t2 可得上式成立。9 解設 a(2cos,sin3), b(2cos,3sin ),c(2cos,3sin )， 這里 ， 則過 a，b 的直線為lab：yxsin3)cos2()cos(cos2)sin(sin3，由于直線ab 過點 f1(-1,0)，代入有3(sin-sin )?(1

37、+2cos)=23sin(cos -cos ) ，即 2sin( - )=sin -sin =22sin?2cos, 故2cos2cos32cos2cos202sin2sin，即2ta n?32tan。 又 lbd:2tan23)2()cos1 (2sin3xy?(x+2)=)2(2tan233x，同理得312tan2tan。lce: ) 1(cos2sin3y(x-2)= 2tan2332tan)2(23x?(x-2). 兩直線方程聯(lián)立，得p 點坐標為12tan2tan36,12tan22tan2222，消去2tan得點 p(x,y) 在橢圓127422yx上（除去點 (-2,0),(2,0

38、)）. 10. 解（1）由)(2, 12222mxyyax消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0, 設 f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問題（1）轉化為方程在x(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：10 =0，得212am，此時 xp=-a2，當且僅當 -a-a2a 即 0a1 時適合； 20。f(a) ?f(-a)0，當且僅當 -ama 時適合； 30。f(-a)=0得 m=a ，此時 xp=a-2a2，當且僅當 -aa-2a2a 即 0a1時適合。令f(a)=0得 m=-a，此時xp=-a-2a2. 由于 -a-2a2-a ，從而 m -a. 綜上當 0a

39、1 時，212am或-ama；當 a1 時， -ama. (2) oap的面積.21pays因為 0a21, 故當 -ama 時， 00，從而221axxpp時取值最大，此時22aaxp， 故2aaas； 當212am時 ， xp=-a2， yp=21a, 此 時.1212aas以下比較2aaa與2121aa的大小。令22121aaaaa，得31a，故當 00，所以251k，從而.552p所以直線l 的方程為xy251，拋物線c的方程為.5542xy聯(lián)賽二試水平訓練題1以 a為原點，直線ac為 x 軸，建立直角坐標系，設c(c,0),f(f,0),d(xd,kxd),b(xb,-kxb) ，則

40、直線 df的方程為.0ykxxffxdd直線 bc的方程為.0ykxxccxbbc -f 得(c-f)x+. 0)(111yfcxxcfkbd表示一條直線，它過原點，也過df與 bc的交點 g，因而就是直線ag的方程。同理，直線 ae的方程為(c-f)x+. 0)(111yfcxxcfkbd，的斜率互為相反數(shù)，所以gac= eac 。2證明假設這樣的閉折線存在，不妨設坐標原點是其中一個頂點，記它為a0，其他頂點坐標為：11111,dcbaa，nnnnndcbaa,，其中iiiidcba,都是既約分數(shù)，并記an+1=a0. 若 p與 q 奇偶性相同，則記pq，否則記pq，下面用數(shù)學歸納法證明。b

41、k1,dk1(k=1,2,n) ， ak+ckak-1+ck-1(k=1,2,n,n+1) 。當 k=1 時，由1211211dcba，得2121212121cdbda，因為 a1,b1互質， 所以 d1被 b1整除，反之亦然（即b1被 d1整除）。因此 b1=d1， 從而1121212121,.cacadb不可能都是偶數(shù) （否則 b1也是偶數(shù)， 與互質矛盾） ；不可能都是奇數(shù)，因為兩個奇數(shù)的平方和模8 余 2 不是 4 的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此， a1c1,b1d11，并且 a1+c10=a0+c0. 設結論對k=1,2, ,m-1 n 都成立，令.,1111dcdcdcbabab

42、ammmmmmmm這里dcba,是既約分數(shù)，因為每一段的長為1，所以22dcba=1，與 k=1 情況類似： ac,d b1，又因為11111mmmmmmmbbbaabbababa，分數(shù)mmba既約， 所以 bm是 bbm-1的一個因子， bm1. 同理可知dm 1, 又 amabm-1+bam-1（同理 cm cdm-1+dcm-1）. 因此 (am+cm-am-1-cm-1) (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1 a+c1. 所以 am+cmam-1+cm-1，結論成立，于是在頂點數(shù)n+1 為

43、奇數(shù)時， an+1+cn+1a0+c0，故折線不可能是閉的。3證明（1）由已知b0p0=b0q0，并由圓弧p0q0和 q0p0，q0p1和 p1q1，p1q1和 q1p1分別相內切于點 q0， p1， q1，得 c1b0+b0q0=c1p1，b1c1+c1p1=b1c0+c0q1以及c0q1=c0b0+00pb，四式相加，利用b1c1+c1b0=b1c0+c0b0，以及p。在 b0p0或其延長線上，有b0p0=b00p，從而可知點0p與點 p0重合。由于圓弧q1p0的圓心 c0， 圓弧 p0q0的圓心 b0以及 p0在同一直線上， 所以圓弧q1p0和 p0q0相內切于點p0。（2）現(xiàn)分別過點p

44、0和 p1引上述相應相切圓弧的公切線p0t 和 p1t 交于點 t。又過點 q1引相應相切圓弧的公切線r1s1，分別交p0t 和 p1t 于點 r1和 s1，連接 p0q1和 p1q1，得等腰 p0q1r1和p1q1s1，由此得 p0q1p1=- p0q1p1- p1q1s1= -( p1p0t-q1p0p)-( p0p1t-q1p1p0), 而- p0q1p1=q1p0p1+q1p1p0，代入上式后，即得p0q1p1=-21( p0b0q0+p1c1q0). 同理得 p0q0p1=-21( p0b0q0+ p1c1q0) ，所以 p0， q0， q1，p1共圓。4證明引理：拋物線y=ax2+bx+c(a 0) 在(x0,y0) 處的切線斜率是2ax0+b. 引理的證明：設(x0,y0) 處的切線方程為y-y0=k(x-x0) ，代入拋物線方程得ax2+