1、可靠性設計1-8（補充） 93.4.2 可靠性設計的數學基礎內容3.4.2.1 隨機事件概率的計算法則3.4.2.2 幾個重要參數 3.4.2.3 常用的幾種分布函數3.4.2.4 正態分布的可靠性指標及代數運算 3.4.2.1 隨機事件概率的計算法則（1）互補定理設某一事件A發生的概率為P(A), 不發生的概率為P(A). 則（2）加法定理設互斥事件A和B分別發生的概率為P(A)、P(B), 則A、B事件中同時發生任何單一事件的概率為:P(A+B)=P(A)+P(B)（3）乘法定理相互獨立事件A和B分別發生的概率為P(A), P(B), 則A和B事件同時發生的概率為P(AB) = P(A)（

2、4）條件概率事件A發生的條件下事件B發生的概率為P(B|A) = P(AB) / P(A)3.4.2.2 幾個重要參數對一批產品,為檢驗其性質,不能全部進行檢驗,只能從中抽檢一部分(n個),則被檢部分稱為"子樣",n稱為容量，被抽檢的全體產品稱為"母體",則（1）分組數K對于抽檢實驗得到的幾個離散數據(如應力、屈服強度、載荷等),為了了解這些數據的分布情況,即如圖3所示在相等間隔內出現的頻率, 需要確定適當的分組數K, 按統計學規律有:分組太多或太少,都不能很好地表示離散數據的分布頻率.例如共有60個離散數據, 則 7, 即分成七組統計其分布規律較為合適

3、.（2）均值設n個隨機離散變量分別為 Xi, i=1,2,.,n, 則對連續函數f(x), 則均值為:（3）標準離差S和母體的標準離差或 或 對連續變量x,母體標準離差 子樣標準離差S 3.4.2.3 機械強度可靠性計算中常用的幾種數學分布函數 在可靠性設計中,必須對產品的某種性能(如尺寸、強度、應力、壽命等)的分布情況進行研究,即研究其近似分布類型,建立分布的數學模型.通常用的數學模型有t分布、F分布、正態分布及威布爾分布.其中正態分布模型應用最多.1 正態分布，又稱Gauss分布機械性能參數(如載荷、材料性能等)往往接近正態分布,并且不管母體的分布如何,由它所取子樣的均值,總是近似服從正態

4、分布.因此常用子樣的均值做有關母體均值的概率計算.正態概率密度函數為:若令 即作坐標平移和變換,得:-標準正態分布式中:ux為母體均值,x為母體標準離差,其分布曲線如圖4所示.ux值越大,曲線離縱坐標越遠,x值越大,曲線越寬,離散度越大.所以,ux值確定分布曲線的位置,稱為正態分布的位置參數;x確定分布形狀,稱為正態分布的形狀參數.對于正態分布的密度函數,隨機變量x超出3x以外的概率不超過0.27%,即這個概率很小,在工程實際中,往往認為不可能發生.在可靠性試驗數據處理中，對超出3x以外數據認為是異常數據，予以剔除。例如:通常假設機械零件的尺寸、強度等服從正態分布,試求在可靠度R=99.73%

5、的前提下,下列各尺寸及強度極限的均值和方差:(1) 圖柱尺寸 d = 30 ± 0.5 mm, 則均值: ud = 30 mm標準差: (2) 從手冊查得某合金的屈服強度極限s = 1200 - 1600 MPa, 則:均值: 方差: 盡管母體服從正態分布,我們關心的是母體的均值ux,離差x及可靠度R.但是,實際上只能對母體進行抽樣研究,并由子樣的性質推測母體的性質.由子樣性質推測母體性質的過程,稱為"估計"；或者先假設母體服從某種分布,再用抽樣去驗證這種假設的準確性.很顯然這種推測出現錯誤的概率是存在的.檢驗產生錯誤有兩種情況:(a) 母體分布假設正確,由于子樣

6、數據的偶然錯誤而導致對母體分布假設的否定.出現這種錯誤(常稱為第一類錯誤)的概率叫生產者風險;用表示(又稱顯著度),通常定為0.05(或0.1)；(b) 母體分布假設不正確,而抽樣檢驗反倒確認了這一錯誤的假設,這種錯誤(又稱第二類錯誤)的概率叫使用者風險,用表示,通常它是不可知的.和中,任何一方的減小都導致另一方的增大.在母體正態分布的假設下,我們將應用各種抽樣分布函數來檢驗子樣的均值、離差Sx與母體均值ux與離差x的接近程度(或置信區間等),或者進行不同子樣間的比較.因此還要用到下列幾種分布函數.2 t 分布t 分布常用于子樣均值與正態分布母體的均值ux之間的比較.其分布密度函數為.式中:為

7、子樣自由度,= n-1(n為子樣容量)為伽瑪函數.可在統計書中查得.此外,h(-t)=h(t),即h(t)為偶函數, 布曲線如圖5所示,且有利用上式, 由子樣均值估計母體均值 u 包括:(1) 檢驗一個子樣是否來自已知的正態分布母體.當給定生產者風險(如=0.05)后,即可查得t 分布的區間值t,如圖5,如果母體的均值為ux,子樣均值和方差分別為和Sx, 則利用上式計算的t只有落在以內時才能認為子樣和Sx來自已知母體ux,否則(即|t|>t),認為子樣不是來自已知母體(即子樣與母體間存在顯著差異).所以稱為接受區間,|t|>t稱為舍棄區間.但即使t在接受區間以內,總還有的概率出現在

8、授受區間外,即判斷某一子樣來自已知正態母體ux的出錯概率仍然存在,且等于.例: 設有甲、乙兩組數,甲組均值=58,乙組均值=57.816,n=6,離差=0.40414,問甲、乙兩組數是否有顯著差異?解: 設 ux =58 (假設甲組為母體), 取= 5%,查 t 分布表: 接受區間為(-2.576,2.576).由式(5.27)算得:可見t(-2.576, 2.576),兩組數之間無顯著差異.(2) 在母體均值未知時, 利用子樣均值和方差估計母體均值 u 的區間.因為叫接受區間,t位于區間內的概率叫"置信度"或"置信水平",可見=1-所以,給定顯著度(如

9、=0.05)后, 置信度可算(=0.95),移項化簡得:即在置信度為時, 母體均值 u 落在 區間內,因此,該區間又叫置信區間.例: 對某一類材料的強度進行抽樣檢驗,子樣容量n=10,測得平均拉伸強度為,離差S=50MPa,若按95%的置信水平,試估計該類材料的平均拉伸強度的置信區間.解: = 95%,=1-=5%=n-1, 查t分布表: t=2.262則置信上限置信下限為所以,置信區間為(1384.2, 1455.8)MPa, 該類材料的平均拉伸強度將落在(1384.2,1455.8)MPa內.3 X2分布X2分布用以比較子樣方差S2 和正態分布母體方差2,其密度函數為: (X20)分布曲線

10、如圖6所示,其中2或是已知的,或是假設的.當給定顯著度,可根據和子樣自由度(=n-1)從分布表中查得X2(分位數),使得:用X2分布可確定方差為S2的子樣來自方差為2的正態分布母體的概率P,如P值大,則稱S2與2無顯著差異,否則,子樣不是取自方差為2的母體.設給定的條件下, 按照概率對稱分布原則, 即查得X2/的上下限(分位數)分別是C1、C2 , 則那么此式用來確定由子樣方差S2求在給定置信水平(1-)下母體方差2的區間.4 F分布F分布用于成組對比試驗的處理,以比較兩個方差并判斷是否取自方差為2的同一母體,其分布函數如下， 在給定后由分布表查得F1和F2,使得:通常,當，根據f(F)的性質

11、,只須檢查F<F=F2即可（詳見有關專業書籍）.例:有兩組對比實驗所得數據, 請判斷兩個子樣的母體標準離差是否相同.解: ,分母為S12,分子為S22 F = S22/S12 =0.032/0.026 =1.2308查F分布表,有F=F2 =4.82(單側檢驗,故按=0.025查表),可見F<F表明兩個子樣的母體具有相同的標準離差,即1=2.除上面的4 種分布函數以外,有時還用到指數分布、對數正態分布、威布爾分布等,可參考有關書藉.3.4.2.4 正態分布的可靠性指標及代數運算大量實驗數據統計結果表明,機械零部件的尺寸、壽命、應力、載荷、材料強度等指標與正態分布十分接近.因此,在可靠性設計中,通常用正態分布做為這些指標的統計學模型.少數情況下還要用到WEIBULL分布和指數分布。圖7所示為一常見機械零件的正態分布失效曲線,失效密度函數為f(t).各指標示于圖中.根據前面有關知識:圖7 常見機械零件的正態分布失效曲線上述公式是機械零件單一隨機變量正態分布公式.但是在進行機械強度計算中,需要進行各種參數運算,如應力計算必須用到載荷、強度計算又要用到應力及應力極限等.正態分布函數之間的運算,稱為正態分布函數代數設x、y分別屬于兩個正態分