1、定積分概念定積分概念與與變限積分求導變限積分求導 . )2(,)()1(記號無關記號無關積分結果與積分變量的積分結果與積分變量的是一個數是一個數定積分定積分dxxfba 1.定積分的概念定積分的概念._)(,)(2)(,)(10 xfdttfxxfxf則則且且是是連連續續函函數數設設例例:,)(:10dttfk 令令分析分析,2)(kxxf 則則,)2()(1010dxkxdxxf ,221kk ,21 k得得. 1)( xxf1: x解答解答2.積分中值定理積分中值定理例：例： .3sinlim, 1lim,2dttfttxfxfxxxx 計算計算且且連續連續設設由積分中值定理由積分中值定理

2、 23sin3sin2 fdttfttxx ,2時時且且間間與與介于介于xxx解解: dttfttxxx 23sinlim f 3sinlim2 63lim2 f . 0)()( ),1 , 0(, 1 , 0 1 , 1 , 0 , 1 , 0 00 ffxfxdtttfxfx使使得得證證明明內內有有解解在在且且方方程程內內可可導導上上連連續續在在設設例例: , 1 , 0 1 00 xxfdtttfx內有解內有解在在由由 , 1 000fxdtttfx 得得證證: , , 0,0 x 利利用用積積分分中中值值定定理理 ,100fxfx , )1()( ff 即即 ,xxfxg 令令 , 1

3、 , ,1 ,內內可可導導上上連連續續在在 xg ,1)1()(gffg 且且 ,1 ,01 , 定定理理由由rolle .0,0 ffg即即使使.導導一一般般離離不不開開變變限限積積分分求求，凡凡在在題題中中出出現現變變限限積積分分3.變限積分求導變限積分求導 xxfxxfdttfdxdxx ,arctan)(2xxf 例例: 0arctan,23232 xdxdyxxfxxfy計計算算的的一一個個原原函函數數是是其其中中設設解：解： 23412323xxxfdxdy22)23(122323arctan xxx4331arctan0 xdxdy:分析分析例例: ._1 , 2ln21ln 2

4、,22 fxdttfxfx則則且且上上連連續續在在設設函函數數 2ln21ln 222 xdttfx方程方程 xxxfx1222 求求導導得得兩兩邊邊對對 22212xxf .61)1(,3 fx得得取取61:解答解答例例:.111322對對應應點點處處切切線線方方程程在在求求曲曲線線 tdueyduextutu解解: 0 , 0,1 yxt時時432ttetdtdxedtdy 4321ttetdxdy 211 tdxdyk切切xy21: 切線方程切線方程例例: 1,arctan0ln12fdudttxfxeu 求求設設 解解: 2ln1arctanxexfxtdt e 21arctanxxe

5、tdt 221arctanarctan2xxxfxetdtexx eef 421例例: dtdfvxvttxxduexfxu求求確確定定由由參參數數方方程程而而設設,sin2cos,1sin111 解解:dtdxdxdfdtdf dtdxxex cos1sin11xvvvdvdtdvdxdtdx41sin412sin2cos 而而 xxedtdfx41cos1sin11 xexxsin1114cos.4arccosarcsin,20 22sin0cos0 xxdttdttx 成成立立時時證證明明當當例例:,arccosarcsin)(:22cos0sin0dttdttxfxx 令令證證, 02

6、sin)arccos(cos2sin)arcsin(sin)( xxxxxf則則.)(為一常數為一常數故故xfdttdttfxf 2/102/10arccosarcsin)4()( dttt 2/10)arccos(arcsindt 2/102 4 . 831 , 1 23xfxdttgxgxfxf，求求且且有有關關系系式式都都可可微微及及其其反反函函數數設設函函數數 例例:解解: 求導求導兩邊對兩邊對 831 231xxdttgxf 2121212331xxxfxfg 得得 xxfg 又因又因 xxxf212121 cxxf 41 xxf時時當當1 c 1 xxf.),(2)()(1)(,

7、0)(,)(內內有有且且僅僅有有一一實實根根在在方方程程試試證證且且上上連連續續在在設設baxbadttfdttfxfbaxfxbxa 例例:,2)()(1)()(:xbadttfdttfxfxbxa 令令證證,)(上連續上連續在在則則baxf, 0)()(1)( abdttfafab, 0)()()( abdttfbfba. 0)(),(, fba使使由零值定理由零值定理, 02)(1)()( xfxfxf又又,)(上上嚴嚴格格單單調調增增加加在在即即baxf.唯唯一一故故上上述述 .),(2)()(1)(內內有有且且僅僅有有一一實實根根在在方方程程baxbadttfdttfxbxa 例例:

8、 .,0130032小小點點并并判判定定是是極極大大點點還還是是極極的的極極值值點點所所確確定定的的函函數數求求由由方方程程xyydttdtexyt 解解: xyyx ,求導求導方程兩邊對方程兩邊對 031132332 xxyey得得 3233231xexyy 01 xx不不可可導導點點駐駐點點0101000 yxyxyx是極大值點是極大值點1 x.)32)(22(1)(,), 0:,sin)()(022 nnxfndttttxfxn上上在在證證明明為為正正整整數數其其中中設設例例:xxxxxxxfnn222sin)1(sin)()(: 證證), 2 , 1(, 1, 0)( kkxxf 得駐

9、點得駐點令令);1()(, 0)(,10fxfxfx 時時當當, )1()(, 0)(,1fxfxfx 時時當當.)()1(的最大值的最大值為為故故xff有有時時當當,), 0 xdttttfxfn 1022sin)()1()()sin0)1 , 0(ttt .)32)(22(1 nndttttn 1022 )(例例: .,sin2的的最最大大值值與與最最小小值值求求設設xfdttxfxx 解解:為為周周期期的的周周期期函函數數是是以以 tsin dttxfxx 23sinduuxxtu 2sin 令令 xf ,為周期的周期函數為周期的周期函數是以是以 xf 的的情情況況因因此此只只需需考考慮

10、慮 ,0 x 23, 02, 0 xxx時時當當 2, 0 x xxdttxfxxcossinsin2 時時當當 ,2x dttdttxfxx 2sinsin xxsincos2 xxxxxxxf2,sincos220,cossin xxxxxxxf2,cossin20,sincos ,43,40 xxxf得得駐駐點點令令 10,2243,24 ffff 224343244 kffkffxf最最小小值值的的最最大大值值.是是整整數數k例例 dttgtfxgdttgxgxfdttgxfbaxxaxaxa)()()()()()()(1)(,(:2當當證證. ,( )( )()()( ,)( , ,

11、 )( 上上單單調調增增加加在在證證明明函函數數是是正正的的連連續續函函數數上上單單調調增增加加的的連連續續函函數數是是設設badttgdttgtfxfxgbaxfxaxa dttgtfxfdttgxgxaxa )( )()()()(2 ,)(單調增加單調增加由于由于xf, xta ),()(tfxf , 0 )( )()( dttgtfxfxa, 0)( xf于是于是.,()(上單調增加上單調增加在在baxf).( , )()(,)(:0 xfdttxfxfxfx 計算計算連續連續設設例例變限積分求導時變限積分求導時,必須保證被積函數中不出現求導變量必須保證被積函數中不出現求導變量.duuf

12、dttxfxfxxtxux )( )()(:20 令令解解)()2(2)(xfxfxf ,變變量量時時當當被被積積函函數數中中出出現現求求導導;變變量量提提出出積積分分號號或或利利用用代代數數方方法法將將求求導導.,下下限限導導變變量量放放到到積積分分的的上上或或利利用用換換元元積積分分法法將將求求 .sin)(lim, 0,1lnarctan)( 402022xxfxdttxtxxfxx 計算極限計算極限其中其中設設例例:,:2utx 令令解解duuuuxfx 02)1ln(arctan)(duuuux 0)1ln(arctan240040)1ln(arctan2limsin)(limxdu

13、uuuxxfxxx 型型00304)1ln(arctan2limxxxxx 21 :分析分析例例:_cos022 dttxdxdx dttxdxdx 022cos xxxdttx2coscos4022 4202cos2cos2xxdttx . 0)(),( )(lim, )()(,)(010處的連續性處的連續性在點在點討論討論為常數為常數且且連續連續設設 xxaaxxfdtxtfxxfx 例例:, 0)0(, 0)0(,: f得得由已知由已知解解)0( )(1)(,0 xduufxxuxtx 有有令令, )()()(,020 xduufxxfxxx 時時當當0)0()(lim(0)0 xxx

14、200 )(limxduufxx xxfx2)(lim0 2a 0 , 20 , )( )()(20 xaxxduufxxfxx 2000 )()(lim)(limxduufxxfxxxx 2000 )(lim)(limxduufxxfxxx )0(22 aaa.0)(處連續處連續在點在點 xx 自測題（選解）練習十二. ) ()(),(sin為為原原函函數數的的函函數數是是則則以以有有一一個個原原函函數數為為若若xefxfxx練習十二練習十二/一一(2) ? )( , sin)( : xefxxxf分析分析 xxxeefef )( )(.sinsinxxxxeeee )(: b解答解答._)

15、(,)2()(1)(1010 xfdxxfxdxxfxf則則若若練習十二練習十二/二二(1),)2(,)(1010dxxfldxxfk 解解：令令)2( 21)2( )1(1)(lxkxflxkxf 則則)3(211 )1()()1(1010lkdxlxkdxxfk 得得由式由式)4(1 )21()2()2(1010lkdxlxkdxxfl 得得由式由式, 2, 3),4()3( lk解得解得與式與式聯立式聯立式,231)(xxf .24)(xxf 即即._)( , )()(10 xfdtxttxf則則設設練習十二練習十二/二二(2),0:時時當當解解 x, 231 )()(10 xdtxtt

16、xf ,10時時當當 x, 3123 )( )()(310 xxdtxttdttxtxfxx,1時時當當 x, 312 )()(10 xdttxtxf注意注意:函數的定義域為整個實數域函數的定義域為整個實數域.1,31210,31230,231)(3xxxxxxxxf1, 2/110, 2/10, 2/1)(2xxxxxf.)1()0(要用可導充要條件計算要用可導充要條件計算與與其中其中ff 練習十二練習十二/四四.|,)(1220ln220222 ttuuutuudxyddueyduexxyy求求所確定所確定由參數方程由參數方程設函數設函數,:2ln22ln2222teeedxdyttttt

17、t 解解,22222ttetdxyd eedxydt22|1122 練習十二練習十二/十十. )(31 )(),(, 0)(,)(dxxfdxxfbaxfbaxfbaa 使使證明證明且且上連續上連續在在設函數設函數, )(31 )()( :dttfdttfxfbaxa 令令證證,.)(上連續上連續在在則則baxf, 0 )(310)( dttfafba, 0 )(32)( dttfbfba, 0)(),(, fba使使由零值定理由零值定理dxxfdxxfbaa )(31 )( 即即練習十二練習十二/十一十一. )()( , 0)( 0, 0)(),(0dttfxfxfxaaxfxfx 又又滿滿

18、足足時時且且當當上上可可積積在在對對任任意意正正數數使使求求函函數數可積可積解解)( :xf )(0連續連續dttfx 連續連續)(xf可導可導 )(0dttfx 可導可導)(xfdttfxfx )()(02 )()()(2:xfxfxfx 求導求導對對21)(0)( xfxf得得由由cxxf 2)(故故0, 0)0( cf于是于是又又2)(xxf .)( ,)(:, )()2()(,),()(0單調不減單調不減則則單調不增單調不增若若試證試證且且上連續上連續在在設函數設函數xfxfdttftxxfxfx 練習十二練習十二/十二十二, )( 2 )()(:00dttftdttfxxfxx 證證

19、)( )( )(2)( )()(00 xxfdttfxxfxxfdttfxfxx . )()(0dtxftfx 所以所以單調不增單調不增因因,)(xf),()(,0 ,0 xftfxtx 時時當當; 0)( xf),()(, 0,0 xftftxx 時時當當; 0)( xf, 0)(,0 xfx時時當當.)(單調不減單調不減于是于是xf. )(2 )(, ,)( dxxfbadxxxfbaxfbaba 證明證明上連續單增上連續單增在在若函數若函數練習十二練習十二/十三十三, )(2 )( )(:dttfxadtttfxfxaxa 令令證證, 0)( af則則)(2 )(21)()(xfxadt

20、tfxxfxfxa dttfxfaxxa )(21)(2 dttfxfxa )()( 21 , 0)(, xfax時時當當 )(xf, 0)()( afbf. )(2 )( dxxfbadxxxfbaba 在在什什么么范范圍圍取取值值時時，有有，問問若若xxttxfxt)0(de)(1 xxfln)( 解：解：xxfxgln)()( 令令)0( x, 01)( xxexgx )(xg0)1( g而而, 0)(10 xgx時，時，0)(1 xgx時，時，10ln)( xxxf練習十二練習十二/十四十四. )()( , )3 , 0( :, )( )( , 3 , 0 )( 3210 ffdxxf

21、edxxfexfxx 使使證明證明且有且有上可導上可導在在若函數若函數練習十二練習十二/十五十五同）同）注意到積分區間長度相注意到積分區間長度相由積分中值定理由積分中值定理證證( ,:, )( )( ,1 , 011011 fedxxfex 使使, )( )( ,3 , 223222 fedxxfex 使使).()(2121 fefe 于是于是),()(xfexgx 令令,)(21可導可導上連續上連續在在則則 xg),()(21 gg 且且, 0)(),3 , 0(),(,21 g使使由羅爾定理由羅爾定理. 0)()( fefe即即).()(, 0 ffe 故故因因. )()( )()( ),(,)(),(dttfgdttgfbabaxgxfab 使使證明證明上連續上連續在在設函數設函數練習