1、 振動分類振動分類非線性振動非線性振動線性振動線性振動受迫振動受迫振動自由振動自由振動本章介紹人們易感知的本章介紹人們易感知的機械振動機械振動。廣義振動：廣義振動：任一物理量任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數值附近反復變化。數值附近反復變化。機械振動：機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。物體在一定位置附近作來回往復的運動。如：如：物體在搖擺、顛簸、打擊、發聲之處均有振動。物體在搖擺、顛簸、打擊、發聲之處均有振動。5.1簡諧振動的描述簡諧振動的描述5.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成5.3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動5.4 非線性振動簡介非線性振

2、動簡介 本章內容：本章內容：一、簡諧振動一、簡諧振動 彈簧振子：彈簧彈簧振子：彈簧 物體系統物體系統 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態的穩定位置彈簧處于自然狀態的穩定位置輕彈簧輕彈簧質量忽略不計質量忽略不計物體物體可看作質點可看作質點 kxOmkxF5.1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述1. 受力特點受力特點2. 動力學方程動力學方程makxF0dd222xtx常微分方程常微分方程mk 式中式中 為為 固有頻率固有頻率,是一個表征系統性質的物理量是一個表征系統性質的物理量3. .簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程0dd222xtx由于簡諧振動的微分方程為由于簡諧振動的微分方程為該方程的

3、其通解為該方程的其通解為)cos(tAx上式為簡諧振動的位移方程上式為簡諧振動的位移方程根據速度與位移的關系根據速度與位移的關系, ,其速度方程其速度方程)sin(ddtAtxv)cos(dd2tAtav加速度方程加速度方程2 2、平衡位置是指、平衡位置是指合外力為零的位置合外力為零的位置。1 1、物體發生振動的條件：物體受到始終指向平衡位置、物體發生振動的條件：物體受到始終指向平衡位置 的的回復力回復力；物體具有；物體具有慣性慣性。說明：說明：3 3、判斷物體是否作簡諧振動的依據、判斷物體是否作簡諧振動的依據: :（1 1）物體所受的合外力與位移物體所受的合外力與位移正比但反向正比但反向；

4、（2 2）滿足位移與時間有）滿足位移與時間有余弦余弦（或正弦）關系。（或正弦）關系。4 4、簡諧振動位移、速度、加速度都隨時間、簡諧振動位移、速度、加速度都隨時間t做周期性變化。做周期性變化。5 5、任何振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。、任何振動都可看成若干不同頻率的簡諧振動的合成。二、簡諧振動的參量二、簡諧振動的參量振幅振幅 A: 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。移）的絕對值。周期周期T T ： 物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。頻率頻率 ：(Hz)21T)(cos)cos(TtAtA2T單位時

5、間內振動的次數。單位時間內振動的次數。角頻率角頻率 :22T對于彈簧振子對于彈簧振子, ,有有kmT 2 mk 21 mk 對于單擺對于單擺,擺球對擺球對 C 點的力矩點的力矩有有sinsinmglMmglM根據轉動定律根據轉動定律,有有：gmfCOT當單擺的擺角當單擺的擺角5 5o o時時, ,有有mgltml222dd0dd222t結論：結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。l/g 2 令令則則比較彈簧振子與單擺的共同特征：比較彈簧振子與單擺的共同特征： 力或力矩的大小與質點的位置坐標或角坐標成力或力矩的大小與質點的位置坐標或角坐標成正比正比并反向并反向。所

6、以單擺的固有所以單擺的固有周期周期、固有、固有頻率頻率、固有、固有角頻率依次為角頻率依次為glT 2 lg 21 lg 相位：相位：(1) ( t + + ) 是是 t 時刻的時刻的相位相位 (2) 是是 t =0 時刻的相位時刻的相位 初相初相相位的意義相位的意義: 1.相位確定了振動的狀態相位確定了振動的狀態2.2.相位每改變相位每改變 2 振動重復一次振動重復一次, ,相位在相位在 2 范圍范圍內變化內變化, ,狀態不重復狀態不重復. .) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv3.3.兩個振動的相位差兩個振動的相位差 )cos(1111tAx)cos(2222tAx12

7、時）（當12)()(1122tt4.4.同頻率振動的同相和反相同頻率振動的同相和反相當當 = 2k 兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱稱同同相相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2當當 = (2k+1) 兩振動步調相反兩振動步調相反 , , 稱稱反相反相。 5.超前和落后超前和落后若若 = 2- - 1 0 , 則則 稱稱 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。 t xOA1-A1x1- A2A2x2相位差相位差 小結：小結：121.1.當當=2 2k , ,k =0,=0,1,1,2 2, ,兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱

8、稱同相同相2.2.當當 = = (2(2k+1)+1) , , k = 0,= 0,1,1,2.2. 兩振動步調相反兩振動步調相反, ,稱稱反相反相. .2 超前于超前于1 或或 1滯后于滯后于 2 相位差反映了兩個振動不同程度的參差錯落。相位差反映了兩個振動不同程度的參差錯落。 03.) cos()(tAtxcos0Ax ) sin( tAvsin 0Av22020v xA)arctan(00 x-v根據初始條件根據初始條件( (t =0=0時時, ,有有v0及及x0) )求振幅和初相位求振幅和初相位底面積為底面積為S的長方體木塊的長方體木塊m浮于水面，水面下浮于水面，水面下a，用手按下，用

9、手按下x 后釋放，證明木塊運動為諧振動，后釋放，證明木塊運動為諧振動，并計算其振動并計算其振動周期周期。浮Fmg gaS任意位置任意位置x處處，合力，合力浮FmgF例例axxoS證明：證明：木塊平衡時木塊平衡時gSxagaS)( gxSkx此合力為回復力：此合力為回復力：gSkagmk2Tga2例例)cos(tAx一物體沿一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周期為，周期為2s。當。當t = 0時，位移為時，位移為0.06m，且，且向向x軸正方向運動軸正方向運動。求求(2) t = 0.5s時，物體的位置、速度和加速度；時，物體的位置、速度和加速度；解解（1）設其運動方

10、程為設其運動方程為(3)(3)在在x = - 0.06m處，且向處，且向x軸負方向軸負方向運動。物體從這一狀運動。物體從這一狀態回到平衡位置的最短時間。態回到平衡位置的最短時間。(1)初相位；初相位；)cos()sin(2tAatAv則速度和加速度分別為則速度和加速度分別為1s2T已知已知A=0.12m，T=2s，所以所以當當t =0時，有時，有cos12. 006. 00 x21cos0sin00即v3由于由于所以，有所以，有（2）當當t = 0.5s時時)35 . 0cos(12. 0 xm104. 06cos12. 0)35 . 0sin(12. 0v1sm19. 006. 0)35 .

11、 0cos(12. 02a22sm03. 1306. 0（3）由于三角函數具有周期性，取第一個周期即可。設當由于三角函數具有周期性，取第一個周期即可。設當物體在物體在0.06m，且向，且向x軸負向方向運動對應的時刻為軸負向方向運動對應的時刻為t1，平衡位置對應的時刻為平衡位置對應的時刻為t2，則則)3cos(12. 006. 01t3231 t0)3sin(1t0)3cos(2t0)3sin(2t2332 t)3()3(12tt)(12tt 3223s65t兩式相減得兩式相減得如圖如圖 m = 210-2 kg ,彈簧的靜止形變為彈簧的靜止形變為 l = 9.8cm；t = 0時，時，x0=

12、9.8cm， v0= 0 確定平衡位置：確定平衡位置： mg=k l 取為原點取為原點 令向下有位移令向下有位移 x, 則回復力則回復力)cos(tAx1srad10098.08 .9lgmkXOxm例例求求 （1）取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；）取開始振動時為計時零點，寫出振動方程；（2）若取）若取 x0=0，v0 0為計時零點為計時零點,寫出振動方寫出振動方 程，并計算振動頻率。程，并計算振動頻率。解解該振動為簡諧振動，則該振動為簡諧振動，則lmgk)(xlkmgFkx由初始條件得由初始條件得或, 0)arctan(00 xvm098. 0)(2020vxA由由x0=0.098m知

13、知srad/10振動方程為振動方程為：(2)按題意按題意 t = 0 時時 x0 = 0，v0 0對同一諧振動計時起點不同對同一諧振動計時起點不同, 不同，但不同，但 、A不變不變Hz6 . 1212lg固有頻率固有頻率0sin0cos 1cosm)10cos(108 . 92tx2m)210cos(108 . 92txXOxm(1)試證明物體試證明物體m的運動是諧振動；的運動是諧振動；(2)求此振動系統的振動周期；求此振動系統的振動周期；(3)寫出振動方程。寫出振動方程。輕質彈簧一端固定，另一端輕質彈簧一端固定，另一端系一輕繩，繩過定滑輪掛一系一輕繩，繩過定滑輪掛一質量為質量為m的物體。彈簧

14、的勁度的物體。彈簧的勁度系數為系數為k，滑輪的轉動慣量為，滑輪的轉動慣量為J，半徑為，半徑為R。若物體。若物體m在其在其初始位置時彈簧無伸長，然初始位置時彈簧無伸長，然后由靜止釋放。后由靜止釋放。(1)設設物體物體m離開初始位置的距離為離開初始位置的距離為b時受力平衡，則此時有時受力平衡，則此時有例例求求解解kbmg kmgb 以此平衡位置以此平衡位置O為坐標為坐標原點原點，豎直向下為，豎直向下為x軸正軸正向，當物體向，當物體m在坐標在坐標x處處時時，由，由牛頓運動定律牛頓運動定律和和定軸轉動定律定軸轉動定律有有maTmg1JRTRT21)(2bxkTRa 2211TTTT和聯立式聯立式解得解

15、得所以，此振動系統的運動是諧振動所以，此振動系統的運動是諧振動. .即即(2)由上面的表達式知，此振動系統的角頻率由上面的表達式知，此振動系統的角頻率故振動周期為故振動周期為 0dd222kxtxRJm）（0)(dd222xRJmkxtx)(2RJmkkRJmT)(222振動系統的振動方程為振動系統的振動方程為，bx0(3)依題意知依題意知t0時時， ，可求出00vkmgbvxA22020)arctan(000 xvtRJmkkmgtAx)(cos)cos(20三、簡諧振動的三、簡諧振動的旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法 t = 0Ax t+ t = tA)cos(tAxox在在y軸上的投影描述軸

16、上的投影描述電振動電振動。A在在x軸上投影描述軸上投影描述機械振動機械振動；A習慣上習慣上2A用旋轉矢量表示相位關系用旋轉矢量表示相位關系x1A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)cos()cos(2tatAam)cos(tAx)2cos()sin(ttAmvv諧振動的位移、速度、加速度之間的相位關系諧振動的位移、速度、加速度之間的相位關系a vTxto. axvT/4T/4)2cos(tmxvv)2cos(tA由圖可見：由圖可見：x t+ o Amvma 090090v2A超前超前a2v超前超前)cos(taam)cos(2tA例例由圖可知由圖可知3求求一物體沿一物體沿 X 軸作簡諧

17、振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為0.12m，周期為，周期為2s。當。當t = 0時，位移為時，位移為 0.06m，且向，且向 x 軸正方向運動。軸正方向運動。（2）在）在x = - 0.06m處，且向處，且向 x 軸負向軸負向方向運動時，物體從方向運動時，物體從 這一位置回到平衡位置所需的最短時間這一位置回到平衡位置所需的最短時間 （1）初相；）初相； 2A xo2Ao(1) 根據題義作圖如下根據題義作圖如下解解(2)所轉角度所轉角度MONs6522656532tMN例例如圖所示，一質點作簡諧振動，在一個周期內相繼通過距如圖所示，一質點作簡諧振動，在一個周期內相繼通過距離為離為12cm的兩點的

18、兩點E和和F，歷時，歷時2s，并且在，并且在E，F兩點處具有兩點處具有相同的速率相同的速率；再經過；再經過2s后，質點又從另一方向通過后，質點又從另一方向通過F點。點。解解EFOx質點運動的周期和振幅。質點運動的周期和振幅。求求由題意可知，由題意可知，EF的中點為平衡位置的中點為平衡位置，周期為，周期為T = 4 2 = 8 (s)cm6Excm6Fx設平衡位置為坐標原點，則設平衡位置為坐標原點，則設設 t = 0 時，質點位于平衡位置，且向時，質點位于平衡位置，且向 x 軸正方向運動，軸正方向運動，則由旋轉矢量可知：則由旋轉矢量可知：t = 1 時時, 質點位于質點位于F點點, 所以所以 )

19、 282cos(6 Acm 26A2已知某簡諧振動的速度與時間的關系曲線如圖所示已知某簡諧振動的速度與時間的關系曲線如圖所示. .431.431. 715. 715.10)(st)(1scmv例例求求 振動方程。振動方程。解解 用旋轉矢量法輔助求解用旋轉矢量法輔助求解:)cos(tAx)sin(tAv1scm4 .31mv)2cos(tmv0 tst1 2 vov的旋轉矢量與的旋轉矢量與v軸夾角表示軸夾角表示t 時刻相位時刻相位2 t由圖知由圖知3226 35211scm1014. 34 .31mAvcm)6cos(10tx以彈簧振子為例以彈簧振子為例某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度

20、為v，位移為位移為x)sin(tAv)cos(tAx221vmEk)(sin2122tkA221kxEp )(cos2122tkA四、簡諧振動的能量四、簡諧振動的能量機械能機械能221kAEEEpk（簡諧振動系統機械能守恒）（簡諧振動系統機械能守恒）2 41d1kAtETETttkk一個與時間有關的物理量一個與時間有關的物理量F(t)在時間間隔在時間間隔T 內的平均值內的平均值F定義為定義為： TttFTF0d1則：則：諧振動在一周期內的平均動能和平均勢能相等。諧振動在一周期內的平均動能和平均勢能相等。2Tt41d1kAtETEtPPkEkEA022 由起始能量求振幅由起始能量求振幅221kA

21、E EpkpEE toETxotEk221kA動動能能221mvEk)(sin21022tkA勢勢能能)(cos21022tkA情況同動能情況同動能0minkE2max21kAEk機機械械能能簡諧振動系統機械能守恒簡諧振動系統機械能守恒221kxEp241d1kAtETETttkkpppEEE，minmax221kAEEEpk（1 1）E1 1/4/4；（2 2）E1 1/2/2；（3 3）2 2E1 1；（4 4）4 4E1 1。 一彈簧振子作簡諧振動，總能量為一彈簧振子作簡諧振動，總能量為E1 1，如果諧振動的，如果諧振動的振幅增加為原來的兩倍，重物的質量增加為原來的振幅增加為原來的兩倍，

22、重物的質量增加為原來的4倍，倍，則其總能量將變為則其總能量將變為課堂練習：課堂練習： 一、同頻率同方向簡諧振動的合成一、同頻率同方向簡諧振動的合成分振動分振動 : 合振動合振動 :)cos()cos(2211tAtA)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx結論：結論：合振動合振動 x 仍是簡諧振動仍是簡諧振動5.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成tAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211 cosA sinA) cos( sinsincoscostAtAtAx

23、合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, ,其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx合振動合振動 ：2A1AA21 x1x1M2x2M旋轉矢量法處理諧振動的合成旋轉矢量法處理諧振動的合成Mx若若 A1=A2 , 則則 A=0, 2 , 1 , 0212kk21AAA , 2 , 1 , 0) 12(12kk21AAA 討論：討論：若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :)cos(212212221AAAAA合振動加強合振動加強1A2A合振動減弱合

24、振動減弱1A2A（1 1）0 0 ；（2 2）4cm4cm；（4 4）8 8 cmcm。 兩個同方向同頻率的諧振動，振動方程分別為兩個同方向同頻率的諧振動，振動方程分別為則其合振動的振幅為諧振動則其合振動的振幅為諧振動, ,振幅為：振幅為：課堂練習：課堂練習： ，m)25cos(10621txm)5sin(10222tx（3 3） ；cm254二、同方向不同頻率諧振動的合成二、同方向不同頻率諧振動的合成 1. 分振動分振動 :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振動合振動 :21xxx當當 時時, , 當當 時，時，合振動振幅的頻率為

25、合振動振幅的頻率為: :21AAA21AAA2 )(12kt ) 12( )(12ktA 有最大值有最大值A有最小值有最小值t )(122 )(1212122vvv結論：結論：tAAAAA)cos(212212221)2cos()2cos(21212ttAx合振動可看作合振動可看作振幅緩變的簡諧振動振幅緩變的簡諧振動拍拍: : 合振動忽強忽弱的現象合振動忽強忽弱的現象拍頻拍頻: : 單位時間內強弱變化的次數單位時間內強弱變化的次數 = =| | 2 2- - 1 1| | xt tx2t tx1t t12 拍拍122T3. 拍的現象：拍的現象： 2.當當 時：時：消去參數消去參數 t 得軌跡方

26、程得軌跡方程)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx分振動分振動)cos(11tAx)cos(22tAy三、同頻率互相垂直的簡諧振動的合成三、同頻率互相垂直的簡諧振動的合成012xAAy12 討論：討論：yx2A1A1.當當 時：時：12xAAy12yx2A1A21212212 AyAx)cos(11tAx質點沿橢圓的運動方向是質點沿橢圓的運動方向是順時針順時針的。的。)2cos(12tAyyx2A1A3.當當 時：時：4.當當 時：時： 2,2312質點沿橢圓的運動方向是質點沿橢圓的運動方向是逆時針逆時針的。的。yx2A1A = 0 = /2 = 3 /4 = /4

27、= 5 /4 = 3 /2 = 7 /40 時，逆時針方向轉動。時，逆時針方向轉動。 0時，順時針方向轉動。時，順時針方向轉動。 = 相互垂直、相互垂直、頻率相同頻率相同的兩列諧振的合振動軌跡有如下規律的兩列諧振的合振動軌跡有如下規律: : (1) (1)一般情況下軌跡為一般情況下軌跡為橢圓橢圓; ; (2) (2) 時時, ,退化為退化為直線直線; ; (3) (3) 時時, ,為正橢圓為正橢圓, ,若若A A1 1= =A A2 2, ,則退化則退化 為為圓圓. . ( (4) )橢圓軌跡橢圓軌跡內切于內切于邊長為邊長為2 2A A1 1和和2 2A A2 2的的矩形矩形; ; (5) (

28、5) 時時, ,橢圓橢圓順時針方向轉順時針方向轉; ; 橢圓橢圓逆時針方向轉逆時針方向轉. .)(2 , 0或)2(23,2或0)2(0或 當兩列相互垂直、頻率成整數比關系的簡諧當兩列相互垂直、頻率成整數比關系的簡諧振動合成時，合振動的軌跡是閉合的，運動是周振動合成時，合振動的軌跡是閉合的，運動是周期性的，這些圖形稱為期性的，這些圖形稱為李薩如（李薩如（J. A. LissajousJ. A. Lissajous 1822-1880 1822-1880 法國）圖形法國）圖形。xyyxNN相互垂直但頻率不同的簡諧振動的合成相互垂直但頻率不同的簡諧振動的合成 x y2 13 13 2 x = 0：

29、 y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x0振幅隨時間減小的振動叫振幅隨時間減小的振動叫阻尼振動。阻尼振動。 5.3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動一、一、 阻尼振動阻尼振動形成阻尼振動的原因：形成阻尼振動的原因：振動系統受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動系統受摩擦、粘滯等阻力作用，造成熱損耗；振動能量轉變為波的能量向周圍傳播或輻射。振動能量轉變為波的能量向周圍傳播或輻射。1. 阻尼振動的微分方程阻尼振動的微分方程 粘滯阻力粘滯阻力彈性力彈性力xv( (以液體中的水平彈簧振子為例以液體中的水平彈簧振子為例) )vCFrmaCkxFfrv）（令2/,/20mCmk彈性力彈性力

30、: :kxf粘滯阻力粘滯阻力: :牛頓第二定律：牛頓第二定律：0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtxmk0（固有頻率）（固有頻率）mC2（阻尼系數）（阻尼系數） （阻尼振動的微分方程）（阻尼振動的微分方程） （方程的解及其物理意義）（方程的解及其物理意義） 2. 幾種阻尼振動模式幾種阻尼振動模式 （1）小阻尼）小阻尼（3）大阻尼）大阻尼（2）臨界阻尼）臨界阻尼)(202)cos(220tAextXtOtAe)(202)(202XtO大阻尼大阻尼臨界阻尼臨界阻尼teccx)(21常用于靈敏儀器的回零裝置。常用于靈敏儀器的回零裝置。ttececx)(2)(1202202與大阻

31、尼相比，臨界阻尼一般將更快回到平衡位置與大阻尼相比，臨界阻尼一般將更快回到平衡位置 。幅幅 值值0F二、受迫振動二、受迫振動系統在周期性外力的持續作用下所作的系統在周期性外力的持續作用下所作的等幅振動稱為等幅振動稱為受迫振動受迫振動。示意示意周期性外力周期性外力（強迫力強迫力）tFFpcos0角頻率角頻率pvCFr彈性力彈性力kxf牛頓第二定律：牛頓第二定律：matFCkxpcos0vtfxtxtxpcosdd2dd2022fmFmCmk/,2/,/020令令則則)cos()cos(00tAteAxpt此方程的解為：此方程的解為：1、受迫振動的微分方程、受迫振動的微分方程（以彈簧振子為例）（以

32、彈簧振子為例）)cos()cos(00tAteAxpt等幅振動等幅振動阻尼振動阻尼振動2、方程解的物理意義、方程解的物理意義 開始振動開始振動比較復雜比較復雜經過一段時間后，受迫經過一段時間后，受迫振動進入穩定振動狀態。振動進入穩定振動狀態。+ +自由振動的能量是外界一次性輸入自由振動的能量是外界一次性輸入 受迫振動過程中，外界在不斷地向振動系統補充能量受迫振動過程中，外界在不斷地向振動系統補充能量無阻尼：能量守恒，等幅振動無阻尼：能量守恒，等幅振動有阻尼：有能量損耗，減幅振動有阻尼：有能量損耗，減幅振動)cos(tAp由諧和策動力所維持的穩定受迫振動。由諧和策動力所維持的穩定受迫振動。 由初

33、始能量所維持的固有項，由初始能量所維持的固有項， 當其衰減完畢時，與初始條件相關的當其衰減完畢時，與初始條件相關的 也就不存在了。也就不存在了。)cos(00teAt00，A3 3、穩定的受迫振動、穩定的受迫振動 )cos(tAxp a.說明此時振動方程的位相說明此時振動方程的位相 與初始條件無關，其表示與初始條件無關，其表示振動位移的位相與策動力位相的位相差；振動位移的位相與策動力位相的位相差； b.說明振幅是策動力的函數，因此存在極值的問題說明振幅是策動力的函數，因此存在極值的問題, ,與與此對應的極值現象，稱為位移共振。此對應的極值現象，稱為位移共振。穩定受迫振動的頻率等于策動力的頻率穩

34、定受迫振動的頻率等于策動力的頻率 穩定受迫振動的振幅穩定受迫振動的振幅A和位相和位相 （用待定系數法可得）（用待定系數法可得）2222204)(ppfA2202arctanpp三、共振三、共振（受迫振動的振幅出現極大值的現象稱為共振。）（受迫振動的振幅出現極大值的現象稱為共振。）1 1、位移共振、位移共振( (振幅取極值振幅取極值) )共振頻率共振頻率 : :2202r共振振幅共振振幅 : :2202fAr2 2、速度共振、速度共振( (速度振幅取極值速度振幅取極值) )共振頻率共振頻率 : :0共振速度振幅共振速度振幅 : :2fvm2222024)(fvmA阻尼阻尼0 0阻尼較小阻尼較小阻

35、尼較大阻尼較大O0p位移共振曲線位移共振曲線3 3、 共振的利用與防止共振的利用與防止(1)(1)位移共振位移共振 (2) 速度共振速度共振調諧（能量輸入處于最佳狀態）調諧（能量輸入處于最佳狀態）防止防止過橋、機床、海堤過橋、機床、海堤利用利用振動篩、打夯、核磁共振振動篩、打夯、核磁共振5.4 非線性振動簡論非線性振動簡論 一、非線性振動的原因一、非線性振動的原因由非線性微分方程所描述的振動由非線性微分方程所描述的振動，稱其為，稱其為非線性振動非線性振動。從動力學角度來看，發生非線性振動的原因有兩個方面：從動力學角度來看，發生非線性振動的原因有兩個方面：2、系統外部的非線性影響：、系統外部的非

36、線性影響：如受迫振動中，驅動力如受迫振動中，驅動力F為為位移或速度的非線性函數時，引起非線性振動位移或速度的非線性函數時，引起非線性振動 。 1、系統內在的非線性因素：、系統內在的非線性因素：如不限制擺角的單擺或復擺如不限制擺角的單擺或復擺二、自激振動二、自激振動以單方向的力激勵的振動稱為以單方向的力激勵的振動稱為自激振動自激振動或或自振。自振。 例如：例如：樹梢在狂風中呼嘯，提琴奏出悠揚的樂聲，樹梢在狂風中呼嘯，提琴奏出悠揚的樂聲， 自來水管突如其來的喘振。自來水管突如其來的喘振。 1 1、廣義坐標、廣義坐標 廣義速度廣義速度 在經典力學中，一個自由質點的運動狀態可以用在經典力學中，一個自由

37、質點的運動狀態可以用6 6個變量個變量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述描述，一般來講，一個力學系統的運動狀態，可以用一般來講，一個力學系統的運動狀態，可以用n個個廣義坐標廣義坐標qi 和和n個相應的個相應的廣義速度廣義速度pi 共共2n 個變量描述。個變量描述。2 2、相平面、相平面 相空間相空間以以(qi，pi)為坐標，可以構建一個為坐標，可以構建一個2n（n 為力學系統為力學系統的獨立變量的數目）維的狀態空間。的獨立變量的數目）維的狀態空間。這個狀態空間這個狀態空間稱為稱為相空間相空間.相空間相空間:三、相圖三、相圖 相平面相平面當然如果力學系統只有兩個變量，相空間就簡化為當然如果

38、力學系統只有兩個變量，相空間就簡化為相平面相平面。相平面相平面:相平面、相空間中的相平面、相空間中的“相相”是指是指物體的運動狀態物體的運動狀態。相空間的每相空間的每一點稱為相點，對應力學系統的一個狀態；狀態空間的每一曲一點稱為相點，對應力學系統的一個狀態；狀態空間的每一曲線稱為線稱為相軌跡相軌跡或或相圖相圖，對應，對應力學系統一種可能的狀態變化過程。力學系統一種可能的狀態變化過程。以以位置位置和和速度速度作為坐標參量構建的平面或新的空間，是最簡作為坐標參量構建的平面或新的空間，是最簡單的相平面或相空間。單的相平面或相空間。如某質點作直線運動，其坐標為如某質點作直線運動，其坐標為x、速度、速度

39、vy為坐標為坐標,建立一個平面坐標系建立一個平面坐標系Oxy,就是最簡單的相平面就是最簡單的相平面以以（x，y ）相平面中的一個點相平面中的一個點M（x,y ），對應），對應一個運動狀態，一個運動狀態，M 稱為稱為相點相點。在相平面中相點的運動軌跡就是在相平面中相點的運動軌跡就是相相圖圖，一般是一條光滑的曲線。，一般是一條光滑的曲線。M相點相點相軌跡相軌跡例：例：以以簡諧振子簡諧振子為例，來分析討論相圖的實際應用。為例，來分析討論相圖的實際應用。簡諧振子的位移、速度和加速度分別為簡諧振子的位移、速度和加速度分別為)cos(tAx)sin(ddtAtxyv)cos(222ttxaAddxyo22

40、22Cyx常數常數C由初始條件決定。由初始條件決定。以以x和和y為軸，可建立相平面為軸，可建立相平面Oxy。簡諧振子的相圖簡諧振子的相圖研究諧振子的位移、速度隨時間的變化，就可以得到一系列研究諧振子的位移、速度隨時間的變化，就可以得到一系列點，繼而可描繪出一條曲線點，繼而可描繪出一條曲線相軌跡相軌跡。對于一定的對于一定的C值，值，相軌跡是一個橢圓相軌跡是一個橢圓，如圖所示。，如圖所示。從位移、速度公式中消去時間從位移、速度公式中消去時間t ，得，得yxo按按C值的不同，可得到一族大小不值的不同，可得到一族大小不同的橢圓。同的橢圓。從相軌跡中，可以看出：從相軌跡中，可以看出：簡諧振子的所有相軌跡

41、都是閉合曲線。相點沿閉合曲線運行簡諧振子的所有相軌跡都是閉合曲線。相點沿閉合曲線運行了一周，又回到原先的運動狀態了一周，又回到原先的運動狀態因此可以斷定，因此可以斷定，所有的橢圓相軌跡都對應著一個所有的橢圓相軌跡都對應著一個周期運動周期運動，其周期是一個有限值。其周期是一個有限值。在在相平面上的相平面上的O點點處，物體運動的速度和加速度均為零，處，物體運動的速度和加速度均為零，相平面上這樣的點對應著一個平衡狀態。若沒有任何擾動相平面上這樣的點對應著一個平衡狀態。若沒有任何擾動使系統偏離使系統偏離O點，它將一直停留在該點。點，它將一直停留在該點。yxo3 3、奇點、奇點相圖上速度和加速度同時為零

42、的那些點稱為相圖上速度和加速度同時為零的那些點稱為奇點奇點，奇點對奇點對應著動力學系統的平衡狀態，因此應著動力學系統的平衡狀態，因此奇點也稱為平衡點奇點也稱為平衡點。奇點的分類奇點的分類yxoyxoyxoyxo中心中心焦點焦點結點結點鞍點鞍點單擺的線性振動：單擺的線性振動：mmg單擺單擺例：例：以以單擺的振動單擺的振動為例，來分析討論相圖。為例，來分析討論相圖。小角度小角度下單擺的運動是下單擺的運動是gLT2單擺的非線性振動單擺的非線性振動: :簡諧振動簡諧振動，其，其周期周期為為隨著隨著的增大，單擺的周期變的增大，單擺的周期變為為)2sin6492sin411 (242mmgLT兩邊積分得兩

43、邊積分得1222)dd(Ct單擺線性振動的相圖單擺線性振動的相圖sindd22Lgt6323265012mTT1/)dd(21212CCt即即T/T隨擺幅隨擺幅m變化關系變化關系tddo單擺無阻尼線性振動的相圖單擺無阻尼線性振動的相圖可見，線性振動的相軌跡為可見，線性振動的相軌跡為橢圓橢圓, ,中心點是穩定的中心點是穩定的奇點。奇點。初始條件確初始條件確定后，單擺運動過程就對應于其中定后，單擺運動過程就對應于其中一個橢圓，一個橢圓，單擺的運動是一系列的單擺的運動是一系列的同周期運動，且運動狀態完全確定。同周期運動，且運動狀態完全確定。當擺幅增大當擺幅增大到時，相跡線上出現了兩個分支點，我們稱到

44、時，相跡線上出現了兩個分支點，我們稱之為之為鞍點鞍點, ,如上圖。如上圖。tddo單擺無阻尼非線性振動的相圖單擺無阻尼非線性振動的相圖單擺非線性振動的相圖單擺非線性振動的相圖 如果對擺角不加限制，如果對擺角不加限制，微分方程變成非線性微分微分方程變成非線性微分方程，可以證明方程，可以證明其相圖不其相圖不再是一橢圓，再是一橢圓，相軌跡兩端相軌跡兩端凸出略呈尖角狀，但仍是凸出略呈尖角狀，但仍是封閉曲線，封閉曲線，表示運動表示運動仍是仍是周期性往復擺動周期性往復擺動。鞍點鞍點和中心點一樣也是一個和中心點一樣也是一個奇點奇點，但是在鞍點上但是在鞍點上 m0ddt0dd22t說明說明鞍點鞍點是不穩定的平

45、衡點，是不穩定的平衡點，因為與之相連的四條相軌跡中因為與之相連的四條相軌跡中兩條指向它，兩條背離它，而兩條指向它，兩條背離它，而附近相軌跡呈雙曲線狀。附近相軌跡呈雙曲線狀。tddopEo從勢能曲線和相圖上可知從勢能曲線和相圖上可知處勢能最大，處勢能最大，勢能曲線、相圖、鞍點勢能曲線、相圖、鞍點雙曲點的存在，預示著混沌運動的可能雙曲點的存在，預示著混沌運動的可能假定存在阻尼和驅動力，讓擺作受迫振動這樣一來，假定存在阻尼和驅動力，讓擺作受迫振動這樣一來，雙曲點就成了雙曲點就成了敏感區敏感區能量稍大，單擺就會越過勢壘的能量稍大，單擺就會越過勢壘的頂峰，跨到它的另一側；能量稍小，則為勢壘所阻，滑頂峰，

46、跨到它的另一側；能量稍小，則為勢壘所阻，滑回原來的一側單擺向回擺動。回原來的一側單擺向回擺動。四、四、非線性振動系統的混沌行為非線性振動系統的混沌行為仍以單擺為例仍以單擺為例, 前面已經討論過它的自由振動前面已經討論過它的自由振動,下面分析下面分析其阻尼振動和受迫振動其阻尼振動和受迫振動有阻尼、無策動力的振動有阻尼、無策動力的振動小擺幅時運動方程為小擺幅時運動方程為0sindd2dd2022ttyxo單擺阻尼振動的相圖單擺阻尼振動的相圖(小擺幅小擺幅) 取取0.25，01，用軟，用軟件件MathLab給出數值解。給出數值解。有阻尼、并有策動力的振動有阻尼、并有策動力的振動大擺幅時運動方程是非線

47、性的大擺幅時運動方程是非線性的yxo單擺阻尼振動的相圖單擺阻尼振動的相圖(大擺幅大擺幅)此時此時,從其相圖上可以看出從其相圖上可以看出,相平面被分成不同的區域相平面被分成不同的區域,相軌跡都收斂與該區域中心相軌跡都收斂與該區域中心的的吸引子吸引子.振動方程為振動方程為tfttDcossindd2dd2022 這是非線性微分方程這是非線性微分方程,此時單擺的運動情況變得非常此時單擺的運動情況變得非常復雜復雜,可以對三個參量在不同組合情況下進行數值計算可以對三個參量在不同組合情況下進行數值計算,畫畫出相圖來分析出相圖來分析. 取取0.25，01， D2/3，f的變化范圍為的變化范圍為0.5,1.98,每一個相圖相差每一個相圖相差0.02，用軟件，用軟件MathLab給出數給出數值解。值解。 (1)f=0.