1、NEUQNEUQ2021-11-251靈敏度分析又稱靈敏度分析又稱“后驗分析后驗分析”，它是對已經得到的最優，它是對已經得到的最優方案改變某些條件來檢驗最優解的方案改變某些條件來檢驗最優解的“穩定性穩定性”以及目標以及目標函數最優值隨各種條件變化的函數最優值隨各種條件變化的“敏感性敏感性”；換言之，假；換言之，假定對于已知線性規劃問題已求得的最優解是獲得的最大定對于已知線性規劃問題已求得的最優解是獲得的最大利潤的生產計劃安排，現在如果在生產過程中成本系數利潤的生產計劃安排，現在如果在生產過程中成本系數向量向量C C，約束常數向量，約束常數向量b, b,約束系數約束系數A A以及其他條件發生變以

2、及其他條件發生變化或波動，這些變化限制在什么范圍內，在原來得到的化或波動，這些變化限制在什么范圍內，在原來得到的最優安排仍為最優，而不需要改變工作計劃？最優安排仍為最優，而不需要改變工作計劃？解決這些問題的理論和方法就是靈敏度分析解決這些問題的理論和方法就是靈敏度分析靈敏度越小，解的穩定性越好靈敏度越小，解的穩定性越好NEUQNEUQ2021-11-252靈敏度分析包括以下幾個方面的內容靈敏度分析包括以下幾個方面的內容分析成本系數向量分析成本系數向量C C的變化對解和目標函數值的的變化對解和目標函數值的影響影響分析約束常數向量分析約束常數向量b b的變化對解的影響，以及通的變化對解的影響，以及

3、通過對偶最優解研究過對偶最優解研究b b的變化對目標函數值的影響的變化對目標函數值的影響分析系數矩陣分析系數矩陣A A中元素變化對解和目標值的影響中元素變化對解和目標值的影響增加新變化量時最優解和最優值的變化增加新變化量時最優解和最優值的變化增加新的約束條件后對最優解和最優值的影響增加新的約束條件后對最優解和最優值的影響NEUQNEUQ2021-11-253單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）0maxXbAXCXz線性規劃問題線性規劃問題0, 00maxsssXXbIXAXXCXz化為標準型化為標準型NEUQNEUQ2021-11-254單純形法計算的矩陣描述（回顧）單

4、純形法計算的矩陣描述（回顧）),(),(NBNBCCCXXXNBAbNXBXbXXNBNBNB),(NEUQNEUQ2021-11-255初始單純形表初始單純形表00NBjjssNBCCzcINBbXXXX非基變量非基變量基變量基變量初始基變量初始基變量單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）NEUQNEUQ2021-11-256111110BCNBCCzcBNBIbBXCXXXBBNjjBBsNB基變量基變量非基變量非基變量當前檢驗數當前檢驗數當前基解當前基解設若干步迭代后，基變量為設若干步迭代后，基變量為 ,在初始單純形在初始單純形表中的系數矩陣為表中的系數矩陣為B，而

5、，而A中去掉中去掉B的若干列組成矩的若干列組成矩陣陣N，則迭代后的單純形表為：，則迭代后的單純形表為： BXBX單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）NEUQNEUQ2021-11-257單純形法計算的矩陣描述（回顧）單純形法計算的矩陣描述（回顧）0011BCNBCCBBN001BBCCICCBBBBBX檢驗數檢驗數0011BCABCCBB因此因此NEUQNEUQ2021-11-258一、目標函數系數一、目標函數系數C C（價值系統）（價值系統）變化變化 c cj j 變動可能由于市場價格的波動，或生產成本的變動變動可能由于市場價格的波動，或生產成本的變動 c cj j

6、的靈敏度分析是在保證最優解的基變量不變的情況下，的靈敏度分析是在保證最優解的基變量不變的情況下，分析分析c cj j 允許的變動范圍允許的變動范圍 c cj j c cj j 的變化會引起檢驗數的變化，有兩種情況的變化會引起檢驗數的變化，有兩種情況 非基變量價值系數變化，不影響其它檢驗數非基變量價值系數變化，不影響其它檢驗數 基變量價值系數變化，影響所有非基變量檢驗數基變量價值系數變化，影響所有非基變量檢驗數NEUQNEUQ2021-11-259此表仍為最優，此表仍為最優，此時最優解不變但最優值改變此時最優解不變但最優值改變此表不是最優單純形表此表不是最優單純形表檢驗數和最優值改變檢驗數和最優

7、值改變，用單純形法繼續迭代用單純形法繼續迭代不變但01bBCC當變為時，01NBCCBN若01NBCCBN若 XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1b00NEUQNEUQ2021-11-25101 1、非基變量對應的價值系數的靈敏度分析、非基變量對應的價值系數的靈敏度分析 則最優解不變；否則，將最優單純形表的檢驗數則最優解不變；否則，將最優單純形表的檢驗數 k k 用用 k k取代，繼續單純形法的表格計算取代，繼續單純形法的表格計算。 kkcc1mkkkiikkkiccc ac0kkkc kc設設變化為變化為只要只要即即1kkkkic

8、ccc 結結論論 ：若若是是非非基基變變量量的的系系數數，則則當當 的的改改變變量量在在范范圍圍內內時時，最最優優解解不不變變NEUQNEUQ2021-11-2511 例：最優單純形表例：最優單純形表 從表中看到從表中看到3 3= = c c3 3+c c3 3-(-(c c2 2a a1313+ +c c1 1a a23 23 ) ) 可得到可得到c c3 3 9/5 9/5 時，原最優解不變。時，原最優解不變。CI-2-3-400CBXBbX1X2X3X4X5-3 X22/501-1/5 -2/51/5-2 X111/5107/5-1/5 -2/5j00-9/5 -8/5 -1/5CI-2

9、-3-4+c300CBXBbX1X2X3X4X5-3 X22/501-1/5-2/51/5-2 X111/5107/5-1/5-2/5j00-9/5+c3-8/5-1/5NEUQNEUQ2021-11-25122 2、基變量對應的價值系數的靈敏度分析、基變量對應的價值系數的靈敏度分析由于基變量對應的價值系數在由于基變量對應的價值系數在 中出現，因此它會影響所中出現，因此它會影響所有非基變量的檢驗數。設有非基變量的檢驗數。設 中一個基變量的中一個基變量的 發生變發生變化，變化量為化，變化量為 。 100000jjj (), , , mjjiijkkjijjjjjjkjkkjkjkkjkkjkjk

10、jzzc ac aczzczacaacacaaa要要滿滿足足則則有有當當有有當當有有kckcBCBCNEUQNEUQ2021-11-251300jj, maxminkjkkjjjkjkjacaaa 為為保保證證所所有有非非基基變變量量檢檢驗驗數數仍仍滿滿足足最最優優條條件件 有有200max|,min|,kkkjjkjkkjkjkjcccajNcajNaa 結結論論 ：若若 是是基基變變量量的的系系數數，則則當當 的的改改變變量量在在范范圍圍內內時時，最最優優解解不不變變NEUQNEUQ2021-11-2514C i 2 3 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 2 X1

11、4 1 0 0 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 j 0 0 -1.5 -1/8 0 Ci 2 3+C C2 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 2 X1 4 1 0 0 1/4 0 0 X5 4 0 0 -2 1/2 1 3+C C2 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0 j 0 0 -1.5 -C C2/2 -1/8+C C2/8 0 從表中看到從表中看到j=cj-(c1a1j+c5 a5j+(c2+c2)a2j) j=3,4可得到可得到 -3-3c c2 211時，原最優解不變。時，原最優解不變。NEU

12、QNEUQ2021-11-2515設設 XB=B 1b 是最優解，則有是最優解，則有XB=B 1b 0b 的變化的變化不會不會影響檢驗數影響檢驗數b 的變化量的變化量 b 可能導致原最優解變為非可行解可能導致原最優解變為非可行解二、右邊項二、右邊項 b b 發生變化的靈敏度分析發生變化的靈敏度分析NEUQNEUQ2021-11-2516 最優單純形表：最優單純形表：00，設bb 不變01NBCCBNbBCZbBCZBB11bBbB11：若01bB單純形表保持最優，1*0XB b最優解（， ），bBCZB1*最優值：若01bBbBbB11在原最優單純形表中，bBCZbBCZBB11，用用對偶單純

13、形法對偶單純形法迭代求出最優解迭代求出最優解1B求 XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1bNEUQNEUQ2021-11-25170.maxXbAXtsCXz對問題0.maxXbXAXtsCXzS標準型bBXBNXBXSNB111最優單純形表的最優單純形表的s.ts.t中中松弛變量的系數松弛變量的系數的求法：1BNEUQNEUQ2021-11-2518變化時，原最優基不變在什么范圍內變，則其余不問題：設iiiibbbb,miibbbbb1bb 001imibbbbmmmimmimiB1222111111，bB1)(1bbBbBbB1

14、1mmmimmimi12221111100ibimiiiiibbb21121mbbB bb 記記12mbbb 1122iiiimmiibbbbbb 0 XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1b12mbbb NEUQNEUQ2021-11-251901bBbi在什么范圍內變化時，問題：bB11122iiiimmiibbbbbb 01122000iiiimmiibbbbbb 1122iiiimiimbbbbbb 0ki若,kikibb 0ki若,kikibb min|0kikikibb max|0kkikib 滿足的改變量結論：當iibb

15、max|0kkikib 原問題的最優基不變列的第iB1bB1min|0kikikibb 01bBNEUQNEUQ2021-11-2520121121.iimimBibbB bs tb其中：是的第 列，是最優單純形表中的常數項滿足的改變量結論：當iibb原問題的最優基不變max|0kkikib min|0kikikibb NEUQNEUQ2021-11-25211220b、若若勞勞動動力力擁擁有有量量 增增加加了了個個，求求最最優優生生產產方方案案例：某工廠準備生產例：某工廠準備生產A A、B B、C C三種產品，他們都消耗勞動三種產品，他們都消耗勞動力和材料，有關數據如下：力和材料，有關數據如

16、下： 原料原料 產品產品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）314最優單純形表最優單純形表111Bbb問問題題 、勞勞動動力力擁擁有有量量 的的改改變變量量在在什什么么范范圍圍內內變變化化時時，仍仍然然不不生生產產產產品品2700305ZX最優值），（最優解X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2021-11-25220|min111kkkbb0|max11kkkb21bb1B0|min11kkkb150|max11kkkb212b111b153060B結結論論：當

17、當勞勞動動力力的的擁擁有有量量在在至至之之間間時時，仍仍然然不不生生產產產產品品15151b即最優單純形表最優單純形表X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5111bbB問問題題 、勞勞動動力力擁擁有有量量 的的改改變變量量在在什什么么范范圍圍內內變變化化時時，仍仍然然不不生生產產產產品品NEUQNEUQ2021-11-2523最優單純形表最優單純形表bB15/ 25/ 13/ 13/ 113/351:BZ C B b35 33 41/,31X1X2X3X4X5X1101-25/301/3X450-5-51-2Z=300-3

18、-10-130050010ZX最優值），（最優解結論：最優生產方案：結論：最優生產方案：1010個個A A，其余不生產，其余不生產1220b、若若勞勞動動力力擁擁有有量量 增增加加了了個個，求求最最優優生生產產方方案案1B 原料原料 產品產品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）3143065X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/513/3531Z=NEUQNEUQ2021-11-2524三、新增三、新增決策變量決策變量的靈敏度分析的靈敏度分析研究：增加新變量時最優解和最優值的變化NE

19、UQNEUQ2021-11-2525資源的合理利用問題：資源的合理利用問題：資源單位消費產品mAAA21nBBB21mnmmnnaaaaaaaaa212222111211資源限制mbbb21單位利潤nccc21nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121110,21nxxx的總利潤最大？利用現有資源，使獲得排生產計劃，才能充分下表，問如何安件產品可獲得的利潤如資源的數量限制以及每所消費的資源數、每種種資源，已知每件產品，耗種產品，要消，周期內生產某廠計劃在下一個生產mnAAABBB2121), 2 , 1nj

20、Bxjj（的產量表示產品解：設新問題：工廠研制了一種新產品，估計單位利新問題：工廠研制了一種新產品，估計單位利 潤為潤為c cn+1n+1，問是否投入生產，若投入生產，問是否投入生產，若投入生產，求最優生產方案求最優生產方案1112111nmnnnncaaaB111nnxc111nnxa112nnxa11nnmxa1NEUQNEUQ2021-11-2526nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mBcccC,210,21nxxx對問題：對問題：mPPPB,21設最優單純形表最優單純形表nmmPPPN,

21、21，mBxxxX,21nmmNcccC,21nmmNxxxX,21mbbbb,21mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nPPP,21增加一個新變量xn+1 XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-1bNEUQNEUQ2021-11-2527nnxcxcxcz2211maxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121110,21nxxx對問題：對問題：mPPPB,21設 XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ： CBB-

22、1b最優單純形表最優單純形表bb BB 基增加一個新變量增加一個新變量x xn+1n+1111nnxc111nnxa112nnxa11nnmxaBBXX BBCC 11,nnmPPPNN， 11,NNmnnXXxx x 11, ,NNmnnCCcc c 1nP1nPN，1,nNxX1,nNcC1nxNBCCNBCCBNBN11NBNB11NBCCBN11,nNcC11,nBPNBC1,nNcC111,nBBPBCNBC1111,nBnBNPBCcNBCC111nBnPBCcNB111nPNB，111nPBNB，11nPBNEUQNEUQ2021-11-2528112211maxnnnnxcxc

23、xcxczmnmnnmnmmnnnnnnnnbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa11221121122222121111112121110,121nnxxxx對新問題：對新問題： XB XN常數項常數項XBE B-1NB-1b檢驗行檢驗行0 CN- CBB-1NZ：CBB-1b最優單純形表最優單純形表1nx111nBnPBCc11nPB，此時01NBCCBN01bB：若0111nBnPBCc此表達到最優此表達到最優為非基變量1nx：若0111nBnPBCc此表未達到最優此表未達到最優為入基變量，1nx用單純形法迭代用單純形法迭代至找到最優解至找到最優解0*1nx新產品不投產N

24、EUQNEUQ2021-11-2529例：某工廠準備生產例：某工廠準備生產A A、B B、C C三種產品，他們都消耗三種產品，他們都消耗勞動力和材料，有關數據如下：勞動力和材料，有關數據如下： 產品產品原料原料ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）售價（元）314最優單純形表最優單純形表: :2700305ZX），最優值，（最優解最優生產方案：最優生產方案：5個個A，0個個B，3個個C問題問題1、若工廠開發出第四種產品、若工廠開發出第四種產品D，預計售價，預計售價2元，元， 生產每個生產每個D產品需要產品需要3個勞動力和個勞動力和3個單位材個單位材 料，問是否生產

25、該產品？料，問是否生產該產品？2、若產品、若產品D的售價為的售價為3元，問如何調整生產方案？元，問如何調整生產方案？633P 26c4 , 3BC0616PBCcB？X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2021-11-253033,6P26c616PBCcB 1/31/3323 41/52/53 5/ 2,6xD的產量為設產品525131311B問題問題1、若工廠開發出第四種產品、若工廠開發出第四種產品D，預計售價，預計售價2元，元， 生產每個生產每個D產品需要產品需要3個勞動力和個勞動力和3個單位材個單

26、位材 料，問是否生產該產品？料，問是否生產該產品？0最優基不變，X6是非基變量，在最優解中取0即當新產品即當新產品D的售價為的售價為2元時，不生產該產品。元時，不生產該產品。NEUQNEUQ2021-11-2531X603/53/5最優單純形表最優單純形表: :061PB335/ 25/ 13/ 13/ 15/ 302、若產品、若產品D的售價為的售價為3元，問如何調整生產方案？元，問如何調整生產方案？33,6P36c525131311B616PBCcB335/ 25/ 13/ 13/ 14335/ 3X1X2X3X4X5X6X151-1/301/3-1/30X6505/35/3-1/32/31

27、Z=300-3-10-105 0 0 0 0,530XZ最優解（ ，），最優值最優生產方案：最優生產方案：5個個A產品，產品， 0個個B產品，產品， 0個個C產品，產品， 5個個D產品產品X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5NEUQNEUQ2021-11-2532四、新增四、新增約束條件約束條件的靈敏度分析的靈敏度分析 1 1、將最優解代入新的約束條件，若滿足，則最優、將最優解代入新的約束條件，若滿足，則最優 解

28、不變解不變2 2、若不滿足，則當前最優解要發生變化；將新增約、若不滿足，則當前最優解要發生變化；將新增約 束條件加入最優單純形表，并變換為標準型束條件加入最優單純形表，并變換為標準型3 3、利用單純形法或對偶單純形法繼續迭代、利用單純形法或對偶單純形法繼續迭代 為什么可以利用對偶單純形法？為什么可以利用對偶單純形法？NEUQNEUQ2021-11-2533例：某工廠準備生產例：某工廠準備生產A A、B B、C C三種產品，他們都消耗三種產品，他們都消耗勞動力和材料，有關數據如下：勞動力和材料，有關數據如下： 原料原料 產品產品ABC擁有量擁有量勞動力勞動力63545材料材料34530售價（元）

29、售價（元）3142700305ZX最優值），（最優解最優生產方案：最優生產方案：5個個A，0個個B，3個個C新問題：新問題：由于特殊原因，要求至由于特殊原因，要求至少生產少生產6個個C產品，求最產品，求最優生產方案優生產方案63x即最優單純形表最優單純形表63*3x顯然63x約束方程：在最優單純形表中增加663xx為基變量并取6xX1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/5300000-1001-6X6X6NEUQNEUQ2021-11-2534X1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/53X6X6000X1