1、第五節(jié)第五節(jié) 空間曲面、曲線及其方程空間曲面、曲線及其方程一一. 空間曲面及其方程空間曲面及其方程二二. 空間空間 曲線及其方程曲線及其方程第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程一一. 曲面及其方程曲面及其方程1. 曲面及其方程2. 球面及其方程4. 二次柱面5. 旋轉(zhuǎn)曲面及其方程3. 柱面及其方程第五節(jié)第五節(jié) 空間曲面、曲線及其方程空間曲面、曲線及其方程1. 曲面及其方程 ,建點(diǎn)就與有序的三個(gè)實(shí)數(shù)系后在空間中建立直角坐標(biāo) 立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。 , , 的方程來描述。含變量空間中的曲面可以用包zyx 程的解析究可歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的方對(duì)曲面的幾何性質(zhì)的研 性質(zhì)的研究。 曲面方程 ) , ,(

2、, 3上的位于一張曲面點(diǎn)中在空間zyxmr , , 滿足方程的坐標(biāo)充要條件是點(diǎn)zyxm 0) , ,(。zyxf 0) , ,( 的曲面方程。稱為方程zyxf : 3是指空間中的點(diǎn)集中的曲面r ),( , 0) , ,( | ) , ,(3。rzyxzyxfzyx例例解解 )2, 4 , 1 ( ),2 , 3, 2( ),( bazyxm恒保持與兩定點(diǎn)已知?jiǎng)狱c(diǎn) , 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。等距 , | | : 即有應(yīng)滿足條件動(dòng)點(diǎn)mbmam )2()4() 1()2()3()2(222222。zyxzyx ,的軌跡方程為整理后得動(dòng)點(diǎn)兩邊平方m 0247。zyxmab 的垂直平分平面。這是線段 ab2

3、. 球面及其方程 球面及其方程 ) , ,( , 00003的距離到定點(diǎn)中在空間zyxmr 該球面的方程為為半徑的球面。以r , , 0為中心稱為一個(gè)以點(diǎn)的點(diǎn)的集合等于mr )()()(2202020。rzzyyxx , 的球面的方程為半徑等于球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)r 2222。rzyx , )()()( 2202020得展開將球面方程rzzyyxx 02222202020000222。rzyxzzyyxxzyx :由此發(fā)現(xiàn) , , , . 1其二次項(xiàng)系數(shù)相等。的二次方程球面方程是一個(gè)關(guān)于zyx , , . 2。項(xiàng)球面方程不含二次混合xzyzxy ? . 3面方程的三元二次方程必為球任何一個(gè)滿足上述

4、兩條 2 1 的三元二次方程和設(shè)有滿足條件)0( , 0222agfzeydxazayax , 0 222agzafyaexadzyx則 , 得配方后 ; , 04 222為一球面時(shí)當(dāng)agfed ; , 04 222為一點(diǎn)時(shí)當(dāng)agfed , 442222222222aagfedafzaeyadx例例解解 086 222表示什么曲面？方程yxzyx , 得將方程配方后 , 25)4()3(222zyx的球面。半徑等于為中心故原方程表示以點(diǎn) 5 , )0 4, , 3( m3. 柱面及其方程 柱面的概念 , * , 3llr平行的直線與某定直線中在空間 , 稱為柱面。平行移動(dòng)所生成的曲面沿已知曲線

5、 柱面上與定直稱為柱面的準(zhǔn)線；已知曲線 * 母線。平行的直線稱為柱面的線 l 稱來命名。柱面通常以其準(zhǔn)線的名* ll柱面的方程柱面的方程 , 0),( : yxfxys平面上的曲線的準(zhǔn)線為設(shè)柱面 , 求此柱面的方程。軸柱面的母線平行于 z , ),( 0000zyxm在柱面上任取一點(diǎn) , 0平面交軸作直線平行于過點(diǎn)xyzm ) 0 ,( 00。于點(diǎn)yxmoxyz0mm , 其坐標(biāo)滿足上必在準(zhǔn)線點(diǎn)m 0),(00。yxf. 0),( 00yxfm 的坐標(biāo)滿足方程故點(diǎn)柱面的方程柱面的方程 , 0),( : yxfxys平面上的曲線的準(zhǔn)線為設(shè)柱面 , 求此柱面的方程。軸柱面的母線平行于 zoxyz0

6、mm)0 ,(111yxp),(11zyxp ),(上在柱面szyxm 0),( ),(。的坐標(biāo)滿足yxfzyxm , , 3的方程而缺少變量只含變量中在空間zyxr , 0),(yxf , 平面上的曲線準(zhǔn)線為軸為母線平行于xyz 0),(yxf 0z )( 柱面方程的柱面的方程。 :類似地 0),(。軸的柱面方程為母線平行于 xzyf 0),(。軸的柱面方程為母線平行于 yzxf例例 , 3？下列方程表示什么曲面中在 r 1 . 122。 yx 14 . 222。 zx 0 . 3。 yz : , 平面上的單位圓準(zhǔn)線為軸母線平行于xyz122 yx。 0z 圓柱面 : , 平面上的橢圓準(zhǔn)線為

7、軸母線平行于xzy1422 zx。 0y 橢圓柱面 : , 平面上的直線準(zhǔn)線為軸母線平行于yzx0 yz。 0 x 。軸的平面實(shí)際上是平行于 x二次柱面及其方程二次柱面及其方程 , 稱為二次柱面。曲線的柱面準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的二次 : . 1 圓柱面 )()(222。rbyax )()(222。rbzay )()(222。rbzaxoxyz )()( :222rbyax二次柱面及其方程二次柱面及其方程 , 稱為二次柱面。曲線的柱面準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的二次 : . 2橢圓柱面 12222。byax 12222。czby 12222。czax 1 :2222byaxoxyz二次柱面及其方程二次柱面及其方程

8、 , 稱為二次柱面。曲線的柱面準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的二次 : . 3拋物柱面 22。xpy 22。xpz 22。zpx : . 4雙曲柱面 12222。byax 12222。czby 12222。czax 例例解解 2 , 與曲面準(zhǔn)線為平面軸求母線平行于zz 194222的交線的柱面方程。zyx 準(zhǔn)線方程194222zyx 2z 2 上的曲線即為平面z ) 2 ( , 59422上在平面zyx 故所求柱面方程為 ) ( 59422軸的橢圓柱面母線平行于。zyx旋轉(zhuǎn)曲面及其方程旋轉(zhuǎn)曲面及其方程 旋轉(zhuǎn)曲面的概念 , 3旋轉(zhuǎn)一周繞某一定直線由一條曲線中在空間lr , 稱為旋轉(zhuǎn)曲面。所生成的幾何體 。稱為旋

9、轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸直線 l 的名稱來命名。旋轉(zhuǎn)曲面通常以曲線 周。旋轉(zhuǎn)曲面的交線為一圓垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面與oyzx旋轉(zhuǎn)曲面的方程旋轉(zhuǎn)曲面的方程 : lyz 平面上的曲線求將 0),(zyf 0 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的繞 z 旋轉(zhuǎn)曲面的方程。oyzxloyzxl , ), 0( 00zynl上任取一點(diǎn)在曲線 . 0),( 00zyfn 的坐標(biāo)滿足方程點(diǎn)), , 0(00zyn 2022yyx 0zz 0) ,(22。zyxf nzl軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)繞當(dāng)曲線 ：軸旋轉(zhuǎn)一周生成一圓周繞z220 yxy z 0z ),(滿足關(guān)系式：圓周上點(diǎn)的坐標(biāo)zyx 0),(00得到旋轉(zhuǎn)曲面方程：將上述關(guān)系式代入方程y

10、xf 旋轉(zhuǎn)曲面的方程 : lyz 平面上的曲線 0),(zyf 0 x 軸旋轉(zhuǎn)一周繞 z 程為所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方 0) ,(22。zyxf , , 22代替。用不動(dòng)軸繞yxyzz 0),(zyf 0 x 0),(zyf 0 x , , 22代替。用不動(dòng)軸繞zxzyy 旋轉(zhuǎn)曲面的方程 : lxy平面上的曲線 0),(yxf 0z 軸旋轉(zhuǎn)一周繞 x 程為所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方 0) ,(22。zyxf , , 22代替。用不動(dòng)軸繞zyyxx 0),(yxf 0z 0),(yxf 0z , , 22代替。用不動(dòng)軸繞zxxyy 旋轉(zhuǎn)曲面的方程 : lxz 平面上的曲線 0),(zxf 0y 軸旋轉(zhuǎn)一周

11、繞 x 程為所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方 0) ,(22。zyxf , , 22代替。用不動(dòng)軸繞zyzxx 0),(zxf 0y 0),(zxf 0y , , 22代替。用不動(dòng)軸繞yxxzz例例解解求 12222czby 0 x 面方程。軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲繞 z 所生成的曲面方程為 , 1) (222222czbyx 1 222222。即czbybx )(旋轉(zhuǎn)橢球面面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲繞 y 1222222。czbycx例例 曲面？下列方程是否表示旋轉(zhuǎn) ,。請(qǐng)說明它是如何產(chǎn)生的如果是 1 . 1222222。czayax 0 . 222。zyx 0 . 3222。zyx 1754 . 4222

12、。zyx 是 不是 是 是二二. 空間曲線及其方程空間曲線及其方程1.空間曲線的一般方程2. 空間曲線的參數(shù)方程3. 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 , 3條曲線。相交的兩張曲面確定一空間中在 r 0),( : 0),( : 21zyxgzyxf與相交的兩曲面 的方程為所確定的曲線 , 0),(zyxf 0),(。zyxg 3中曲線的一般方程。該方程組稱為空間r 3不止一對(duì)曲面的交線。中的一條曲線可以作為空間r1. 空間曲線的一般方程例例解解 , 3空間中寫出r 心的單位圓的方程。平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓xy 1 22與軸的圓柱面看成母線平行于 yxz , 則所求方程為坐標(biāo)面的交線xy , 122 yx

13、 0。z例例解解 , 3空間中寫出r 心的單位圓的方程。平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓xy 1 222與的單位球面看成以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心zyx , 則所求方程為坐標(biāo)面的交線xy , 1222zyx 0。z例例解解 , 3空間中寫出r 心的單位圓的方程。平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓xy 1 1 22222的交線與球面看成圓柱面zyxyx 則所求方程為 , 122 yx 1222。zyx , 相同。但它們的幾何意義卻不數(shù)解相同盡管這三個(gè)方程組的代2. 空間曲線的參數(shù)方程 3上的任意一點(diǎn)中的曲線來表示空間用參數(shù)rt : ),(的坐標(biāo)zyxm , )( txx , )( tyy , )( tzz , bta 的參數(shù)方程。

14、線則稱該方程組為空間曲oxy例例解解 222上以角速度在圓柱面若點(diǎn)ayxp , 軸正向作勻速沿平行于同時(shí)又以速度軸勻速旋轉(zhuǎn)繞zvz ,的運(yùn)動(dòng)方程。求點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)ptzaapp , 處開始運(yùn)動(dòng)軸上點(diǎn)由設(shè)點(diǎn)axp ),( 處。時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)在時(shí)刻zyxpt )0 ,( 。平面上的投影為在點(diǎn)yxpxyp) ( , 轉(zhuǎn)動(dòng)則tpao ) ( , |上升tvpp , sin , cos 。故tvztaytaxoxy )0 ,(yxp taayxoxy例例解解 , 軸正向作勻速沿平行于同時(shí)又以速度軸勻速旋轉(zhuǎn)繞zvz ,的運(yùn)動(dòng)方程。求點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)ptzaapp 的運(yùn)動(dòng)方程可表示為點(diǎn)p 螺旋線。該方程表示的曲線稱為,

15、costax , sintay 。tvz )0, t 222上以角速度在圓柱面若點(diǎn)ayxp3. 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 , , xyz軸的柱面作母線平行于為準(zhǔn)線以空間曲線 平面上的投影。在平面的交線為曲線與稱柱面xyxyxy ,稱為投影柱面。稱柱面此時(shí)yxzo 3的方程為中曲線設(shè)r , 0),(1zyxf , 0),(2zyxf 的方程軸的柱面便得到母線平行于由方程組消去變量xyzz 0),(。yxf , 。即為投影柱面柱面上位于柱面曲線xyxy 坐標(biāo)面在的交線就是曲線與坐標(biāo)面投影柱面xyxyxy :上的投影 , 0),(yxf 0。zyxzo 由方程組 0),(1z

16、yxf 0),(2zyxf , 坐可得往消去變量yzx 的方程標(biāo)面上的投影柱面zy , 0),(zyf 坐標(biāo)面上的投影為在則曲線yz , 0),(zyf 0。x , 同理 由方程組 0),(1zyxf 0),(2zyxf , 坐可得往消去變量xzy 的方程標(biāo)面上的投影柱面zx , 0),(zyf 坐標(biāo)面上的投影為在則曲線zx , 0),(zxf 0。y , 同理例例解解 1) 1() 1( 1 :222222的交線與求球面zyxzyx 。在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影 . 1坐標(biāo)面上的投影在 xy 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 兩式相減消去變量 z , 0) 1() 1(2

17、222zzyy 1 。即 zy , 1 得一個(gè)中代入兩個(gè)球面方程的任以yz 022 : 22。投影柱面方程yyxyx , 所求投影為從而 , 02222yyx 0。z) (平面上的橢圓xy例例解解 1) 1() 1( 1 :222222的交線與求球面zyxzyx 。在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影 . 2坐標(biāo)面上的投影在 xz 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 兩式相減消去變量 y , 0) 1() 1(2222zzyy 1 。即 zy , 1 得一個(gè)中代入兩個(gè)球面方程的任以zy 022 : 22。投影柱面方程zzxzx , 所求投影為從而 , 02222zzx 0。y) (平面

18、上的橢圓xz例例解解 1) 1() 1( 1 :222222的交線與求球面zyxzyx 。在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影 . 3坐標(biāo)面上的投影在 yz 由 1222zyx1) 1() 1(222zyx : )( 兩式相減消去變量 x , 0) 1() 1(2222zzyy 1 。即 zy 1 : 。投影柱面方程zyzy , 所求投影為從而 , 1 zy 0。x) (平面上的直線段yzyzo請(qǐng)注意：一條曲線在一個(gè)坐標(biāo)面上的投影是唯一的。坐標(biāo)面上的一條曲線可以是無窮多條曲線的投影。 半球面與錐面的交線為)(34:2222yxzyxzc由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1yxzox2 + y2 1于是

19、交線c 在xoy面上的投影曲線為x2 + y2 = 1z = 0這是xoy面上的一個(gè)圓.求上半球面 和錐面224yxz)(322yxz的交線在xoy面上的投影曲線.練習(xí)練習(xí)圓柱面)(解解:1、橢球面2、 拋物面3、雙曲面第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程 :曲面的對(duì)稱性 , ),(),( . 1zyxfzyxf若 )( 其余類推對(duì)稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)面 xy , ),(),( . 2zyxfzyxf若)( 其余類推軸對(duì)稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)軸 x , ),(),( . 3zyxfzyxf若 稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)研究方法是采用平面截割法.二次曲面二次曲面由x, y, z的二次方程:

20、ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 稱為二次曲面. 其中a, b, , i, j 為常數(shù)且a, b, 不全為零.c, d,e, f幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面.(1) 橢球面橢球面zoxyo1222222czbyax對(duì)稱性有界性czbyax| | ,|oxyoz2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓kzckbyax2222221當(dāng) |k | c 時(shí), |k |越大, 橢圓越小;當(dāng) |k | = c 時(shí), 橢圓退縮成點(diǎn).1 用平面z = 0去截割, 得橢圓012222zbyaxkzkc

21、cbykccax1)()(2222222222即3 類似地, 依次用平面x = 0, 平面 y = 0截割, 得橢圓:,012222xczby.012222yczaxzoxyo橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別122222 czayx方程可寫為方程可寫為,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可寫為方程可寫為（2 2）雙曲拋物面）雙曲拋物面zbyax2222zxy002222zb

22、yaxzxy022yzax022xzby交線為：雙曲拋物面與坐標(biāo)面xy(1)交線為：與坐標(biāo)面雙曲拋物面xz交線為：雙曲拋物面與坐標(biāo)面yzzbyax2222kzkbyax2222的交線為：雙曲拋物面與平面kz )2(0k0kkzkbykax1)()(2222kzkaxkby1)()(2222zxyzbyax2222kybakzax222)(的交線為：雙曲拋物面與平面ky zxykxabkzby222)(的交線為：平面雙曲拋物面與kx zbyax2222(3) 橢圓拋物面橢圓拋物面: zbyax22221 平面 z = k ,(k 0)截割, 截線是平面 z = k上的橢圓.kzkbyax2222

23、k = 0時(shí), 為一點(diǎn)o(0,0,0); 隨著k增大, 橢圓也增大.zyxo2 用平面 y = k去截割, 截線是拋物線,2222kyzbkax. ,022axzk為時(shí)當(dāng)3 類似地，用平面 x = k 去截割, 截線是拋物線.kxzbyak2222. ,022byzk為時(shí)當(dāng)zyxozbyax2222（4 4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222czbyax(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截線方程為,12202222czbyax.0zz 橢圓以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截線方程為,12202222byczax.0yy 雙曲線以平行于 yz

24、 面的平面x=x0 截曲面，所得截線方程為：,12202222axczby.0 xx 雙曲線1222222czbyax（5 5）雙葉雙曲面）雙葉雙曲面1222222czbyax(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截線方程為, 12202222czbyax.0zz 橢圓0zxy以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截線方程為,12202222byaxcz.0yy 雙曲線以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截線方程為：,12202222axbycz.0 xx 雙曲線0zxy1222222czbyax橢球面、拋物面、雙曲面、橢球面、拋物面、雙曲面

25、、截割法截割法.（熟知這幾個(gè)常見曲面的特性）（熟知這幾個(gè)常見曲面的特性）小結(jié)思考題思考題方程方程 3254222xzyx表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？思考題解答思考題解答 3254222xzyx.316422 xzy表示雙曲線表示雙曲線.思考題解答思考題解答 3254222xzyx.316422 xzy表示雙曲線表示雙曲線.三三、 畫畫出出下下列列各各曲曲面面所所圍圍成成的的立立體體的的圖圖形形：1 1、4,2,1,0,0yzyxzx ；2 2、222,0,0,0ryxzyx , ,222rzy ( (在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)) ) . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、 0922

26、zxy, ,位位于于平平面面3 z上上的的拋拋物物線線. .xyzooxyz二、二、. 1. 2. 2. 1三、三、x1yzo2xyzorrr1 1共面共面且且，使使，求一單位向量求一單位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 2 2.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx3 3.1243:,12:)1 , 1 , 1(210lxzxylxzxylm都相交的直線都相交的直線且與兩直線且與兩直線求過點(diǎn)求過點(diǎn) 4 4.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzy

27、xzyxl5 5.,1101:求旋轉(zhuǎn)曲面的方程求旋轉(zhuǎn)曲面的方程軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周繞繞直線直線zzyxl 典型例題典型例題例例1 1解解共面共面且且，使使，求一單位向量求一單位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 設(shè)設(shè)由題設(shè)條件得由題設(shè)條件得1|0ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即由題設(shè)知由題設(shè)知114sinnnnn222222)1 (5)1 ()8()4(1)8()1 ()4(51)1 ( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回