1、1第四章第四章彎彎 曲曲 內內 力力2本章內容本章內容:1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例2 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化3 剪力和彎矩剪力和彎矩4 剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖5 載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系6 平面曲桿的彎曲內力平面曲桿的彎曲內力34. 1 彎曲彎曲的概念和實例的概念和實例工程問題中，有很多桿件是受彎曲的。工程問題中，有很多桿件是受彎曲的。4l 彎曲變形彎曲變形載荷載荷垂直于垂直于桿的軸線，桿的軸線，以以彎曲變形彎曲變形為主的桿件為主的桿件軸線由軸線由直線直線曲線曲線稱為稱為梁梁。l 對稱彎曲對稱彎曲若梁

2、若梁(1) 具有縱向對稱具有縱向對稱面面;(2) 所有外力都作所有外力都作用在縱向對稱用在縱向對稱則軸線變形后也是該對稱面內的曲線。則軸線變形后也是該對稱面內的曲線。面內。面內。54. 2 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化1 支座的幾種基本形式支座的幾種基本形式u 固定鉸支座固定鉸支座61 支座的幾種基本形式支座的幾種基本形式u 固定鉸支座固定鉸支座u 可動鉸支座可動鉸支座u 向心軸承向心軸承7u 向心軸承向心軸承u 向心止推軸承向心止推軸承8u 固定端約束固定端約束FAxFAy2 載荷的簡化載荷的簡化u 集中力集中力u 集中力偶集中力偶u 分布載荷分布載荷3 靜定梁的基本形式靜定梁的基本形式主要

3、研究主要研究等直梁等直梁。93 靜定梁的基本形式靜定梁的基本形式主要研究主要研究等直梁等直梁。u 簡支梁簡支梁u 外伸梁外伸梁u 懸臂梁懸臂梁104. 3 剪力和彎矩剪力和彎矩下面求解梁彎曲時的內力。下面求解梁彎曲時的內力。u 例子例子已知已知：q = 20 kN/m, 尺寸尺寸如圖。如圖。求求：D截面處的內力。截面處的內力。x求內力的方法求內力的方法解解：建立建立x坐標如圖。坐標如圖。(1) 求支座反力求支座反力RARAxRC取整體，受力如圖。取整體，受力如圖。0X0AxR11(1) 求支座反力求支座反力取整體，受力如圖。取整體，受力如圖。0X0AxRxRARCRAx0)(FCMkN80AR

4、0YkN40CR(2) 求求D截面內力截面內力從從D處截開，取左段。處截開，取左段。xRAQD橫截面上的內力如圖。橫截面上的內力如圖。RAxNMD120XAxRN0)(FDM2/xqxxRMAD0YqxRQAD(2) 求求D截面內力截面內力從從D處截開，取左段。處截開，取左段。橫截面上的內力如圖。橫截面上的內力如圖。0 xRAQDMDNRAxx208021080 xx規律規律Q = 截面一側所有橫向外力代數和截面一側所有橫向外力代數和M = 截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和13xRARCRAx若從若從D處截開，取右段。處截開，取右段。橫截面上的內力如

5、圖。橫截面上的內力如圖。xRAQDMDNRAxRCQDMD計算可得計算可得QD, MD的數值與取左段所得結果相同。的數值與取左段所得結果相同。但從圖上看，它們的方向相反。但從圖上看，它們的方向相反。 剪力剪力和和彎矩彎矩的正負號規則如何？的正負號規則如何？14l 剪力剪力和和彎矩彎矩的正負號規定的正負號規定QQu 剪力剪力使其作用的一使其作用的一段梁產生順時段梁產生順時針轉動的剪力針轉動的剪力為正。為正。u 彎矩彎矩使梁產生上凹使梁產生上凹(下凸下凸)變形的變形的彎矩為正。彎矩為正。154. 4 剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖u 剪力方程剪力方程xRARA

6、xRC)(xQQ u 彎矩方程彎矩方程)(xMM 2/xqxxRMADqxRQADF 上例中上例中u 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖16例例 2 (書例書例4. 2) 已知已知：簡支梁如圖。：簡支梁如圖。解解：求求：剪力方程，彎矩：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和方程，并作剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。(1) 求支反力求支反力,lPbRA需分段求解。需分段求解。lPaRB(2) 求求剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程分為兩段：分為兩段：AC和和CB段。段。u AC段段 取取x截面，左段受力如圖。截面，左段受力如圖。17需分段求解。需分段求解。lPbxQ)(2) 求求剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方

7、程分為兩段：分為兩段：AC和和CB段。段。u AC段段取取x截面，左段受力如圖。截面，左段受力如圖。QM由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)0(ax xlPbxM)()0(axu CB段段x取取x截面，截面，18lPaxQ)(由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(lxa)()(xllPaxM)(lxau CB段段x取取x截面，截面，xQM左段受力如圖。左段受力如圖。(3) 畫畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖19(3) 畫畫剪力圖和剪力圖和彎矩圖彎矩圖lPbxQ)()0(ax xlPbxM)()0(axlPaxQ)()(lxa)()(xllPaxM)(lxa20例例 3 (書例書例4. 3) 已知

8、已知：懸臂梁如圖。：懸臂梁如圖。解解：求求：剪力方程，彎：剪力方程，彎矩方程，并作剪力矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。圖和彎矩圖。(1) 求支反力求支反力,qlRA為使計算簡單，為使計算簡單，221qlMA(2) 求求剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程取取x截面，右段受力如圖。截面，右段受力如圖。21為使計算簡單，為使計算簡單，(2) 求求剪力方程和剪力方程和彎矩方程彎矩方程取取x截面，右段截面，右段受力如圖。受力如圖。QM)()(xlqxQ由平衡方程，可得由平衡方程，可得:)(xM2xl2)(21xlq )(xlq 22)()(xlqxQ2)(21)(xlqxM(3) 畫畫剪力圖和剪力圖和彎矩

9、圖彎矩圖23l 作剪力圖和彎矩圖的作剪力圖和彎矩圖的步驟步驟(1) 求支座反力；求支座反力；(2) 建立坐標系建立坐標系(一般以梁的左端點為原點一般以梁的左端點為原點)；(3) 分段分段 在在載荷變化處載荷變化處分段；分段；(4) 列出每一段的剪力方程和彎矩方程；列出每一段的剪力方程和彎矩方程；(5) 根據剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和根據剪力方程和彎矩方程畫出剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。24例例 4 已知已知：外伸梁如圖。：外伸梁如圖。解解：求求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖.(1) 求支反力求支反力kN,10ARkN5BR25(1) 求支反力求

10、支反力kN,10ARkN5BR需分段求解。需分段求解。(2) 求求剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程分為分為3段：段：CA, AD和和DB段。段。PxQ)(u CA段段取取x截面，截面，左段左段受力如圖。受力如圖。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)6 . 00( xPxxM)(m)6 . 00( xxkN3x326u CA段段取取x截面，截面，左左段段受力如圖。受力如圖。由平衡方程，由平衡方程，可得可得:m)6 . 00( xxxM3)(m)6 . 00( xxkN3)(xQPRxQA)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如圖。受力如圖。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2

11、. 16 . 0(xPxxM)(m)2 . 16 . 0(xkN767 x)6 . 0( xRA27xPRxQA)(u AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如圖。受力如圖。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:m)2 . 16 . 0(x)6 . 0()(xRPxxMAm)2 . 16 . 0(xkN767 xu DB段段取取x截面，右段受力如圖。截面，右段受力如圖。)4 . 2()(xqxQm)4 . 22 . 1 (xx1019BR28xu DB段段取取x截面，右段受力如圖。截面，右段受力如圖。BRxqxQ)4 . 2()(m)4 . 22 . 1 (xx1019)4 . 2()(xRxMA

12、m)2 . 16 . 0(x2)4 . 2( 5512xx2)4 . 2(21xq(3) 畫畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖29(3) 畫畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖END304. 5 載荷集度、剪力和彎矩間的關系載荷集度、剪力和彎矩間的關系對圖示的直梁對圖示的直梁,考察考察dx 微段的微段的受力與平衡。受力與平衡。31考察考察dx微段的受力與微段的受力與平衡平衡0Y)(xQ)(d)(xQxQ0)(dd)(xQxxq)(d)(dxqxxQ0)(FCMC)(xMxxQd)()(d)(xMxM2dd)(xxxqxxqd)(0032)(d)(dxqxxQ0)(FCMC)(xMxxQd)()(d)(x

13、MxM02dd)(xxxq略去高階微量略去高階微量)(dxMxxQd)(0)(d)(dxQxxM還可有：還可有：)(d)(d22xqxxM33)(d)(dxqxxQ)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxMl q(x)、Q(x)和和M(x)間的間的微分關系微分關系上次例上次例 3 (書例書例4. 3) l 由由微分關系微分關系可得以下可得以下結論結論34l 由由微分關系微分關系可得以下可得以下結論結論(1) 若若q(x) = 0上次例上次例 2 (書例書例4. 2) Q(x) =常數，常數，剪力圖為剪力圖為水平線水平線；M(x) 為一次函數為一次函數，彎矩圖為彎矩圖為斜直線斜直線。(2)

14、 若若q(x) = 常數常數Q(x)為一次函數為一次函數，剪力圖為剪力圖為斜直線斜直線；M(x) 為二次函數為二次函數，彎矩圖為彎矩圖為拋物線拋物線。35上次例上次例 3 (書例書例4. 3) (2) 若若q(x) = 常數常數Q(x)為一次函數為一次函數，剪力圖為剪力圖為斜直線斜直線；M(x) 為二次函數為二次函數，彎矩圖為彎矩圖為拋物線拋物線。當當q(x) 0(向上向上)時時,拋物線拋物線是是下凸下凸的；的；當當q(x) 0(向下向下)時時,拋物線拋物線是是上凸上凸的；的；(3) 在剪力在剪力Q為為零零處處,彎矩彎矩M取取極值極值。36(3) 在剪力在剪力Q為為零零處處,彎矩彎矩M取取極值

15、極值。注意注意: 以上結論只在該以上結論只在該段梁上段梁上無無集中力集中力或或集中力偶集中力偶作用作用時才成立時才成立。37(4) 在在集中力集中力作用點：作用點：上次例上次例 2 (書例書例4. 2) 剪力圖有剪力圖有突變突變，突變值突變值即為集中力的數值，突即為集中力的數值，突變的方向沿著集中力的變的方向沿著集中力的方向方向(從左向右觀察從左向右觀察)；彎矩圖在該處為彎矩圖在該處為折點折點。(5) 在在集中力偶集中力偶作用點作用點:對剪力圖形狀無影響；對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有彎矩圖有突變突變，突變值突變值即為集中力偶的數值。即為集中力偶的數值。38集中力偶為集中力偶為逆逆時針時針時，向

16、時，向下下跳跳(從左向右從左向右看看);順時針順時針時，時，向向上跳上跳(從從左向右看左向右看).(5) 在在集中力偶集中力偶作用點作用點:對剪力圖形狀無影響；對剪力圖形狀無影響；彎矩圖有彎矩圖有突變突變，突變值突變值即為集中力偶的數值。即為集中力偶的數值。上次例上次例 4 39l 根據根據微分關系微分關系作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖(1) 求支反力；求支反力；(2) 建立坐標系建立坐標系(一般以梁的左端點為原點一般以梁的左端點為原點)；(3) 分段分段 確定確定控制面控制面；(4) 求出控制面上的求出控制面上的Q、M值；值；(5) 根據根據微分關系微分關系連線，作出剪力圖和彎矩圖。連線，

17、作出剪力圖和彎矩圖。40例例 1 已知已知：簡支梁：簡支梁如圖。如圖。解解：求求：利用微分：利用微分關系作剪力圖關系作剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。(1) 求支反力求支反力(2) 坐標系坐標系xQQABC(3) 確定控制面確定控制面(4) 計算控制面的計算控制面的Q和和M2qa2/qa2qa(5) 連線連線x41u 作彎矩圖作彎矩圖281qa281qa42例例 2 已知已知：懸臂梁：懸臂梁如圖。如圖。解解：求求：利用微分：利用微分關系作剪力圖關系作剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。(1) 求支反力求支反力, 0DR2qaMDMDRD(2) 坐標系坐標系(3) 確定控制面確定控制面x(4) 計算控制面的計算

18、控制面的Q和和MB處：處：,qaQ2/2qaM43MDRDx(4) 計算控制計算控制面的面的Q和和MB處：處：,qaQ2/2qaMxQQ(5) 連線連線qaD處：處：, 0Q2qaM44(4) 計算控制計算控制面的面的Q和和MB處：處：,qaQ2/2qaMu 彎矩圖彎矩圖221qa2qaD處：處：, 0Q2qaM45例例 3 已知已知：外伸梁：外伸梁如圖。如圖。解解：求求：利用微分：利用微分關系作剪力圖關系作剪力圖和彎矩圖。和彎矩圖。(1) 求支反力求支反力,qaRBqaRD方向如圖。方向如圖。46例例 4 (上次的例上次的例4 ) 已知已知：外伸梁如圖。：外伸梁如圖。解解：求求： 利用微分關

19、系作剪力圖和彎矩圖。利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。(1) 求支反力求支反力kN,10ARkN5BR47(2) 畫畫剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖END48例例 5 ( 書習題書習題4.13(a) ) 已知已知：內力圖。：內力圖。解解：求求：利用微分：利用微分關系找出圖中關系找出圖中的錯誤并改正。的錯誤并改正。qaRA41l 支反力支反力qaRB47RARB245qa23249qa49例例 6 ( 書習題書習題4.16(a) ) 已知已知：剪力圖，且：剪力圖，且梁上無集中力偶。梁上無集中力偶。解解：求求：載荷圖和彎：載荷圖和彎矩圖。矩圖。3kN4kN2kN3kNq=1kN/m50彎矩圖彎矩圖3kN

20、4kN2kN3kNq=1kN/m6kNm4kNm 4.5kNmM51例例 7 (書習題書習題4.19 ) 已知已知：q, P。解解：求求：用：用疊加法疊加法作彎矩圖。作彎矩圖。RARBRA1RB1RA2RB2lPbqlRA21l 約束反力約束反力lPaqlRB21若梁分別受到這兩種載若梁分別受到這兩種載荷的作用：荷的作用：52RARBRA1RB1RA2RB2lPbqlRA21l 約束反力約束反力lPaqlRB21若梁分別受到這兩種載若梁分別受到這兩種載荷的作用：荷的作用：,211qlRA,2lPbRAqlRB211lPaRB253RARBRA1RB1RA2RB2若梁分別受到這兩種載若梁分別受到

21、這兩種載荷的作用：荷的作用：,211qlRA,2lPbRAqlRB211lPaRB2可以看出：可以看出：21AAARRR21BBBRRRl 彎矩方程彎矩方程54RARBl 彎矩方程彎矩方程AC段：段：xlPbqxqlxM22121CB段：段：22121qxqlxM)(xllPal 結論結論在在小變形小變形的情況下，約束反力和內力都是外載的情況下，約束反力和內力都是外載荷的荷的線性函數線性函數，可以使用，可以使用疊加法疊加法。l 疊加法作疊加法作彎矩圖彎矩圖55l 疊加法作疊加法作彎矩圖彎矩圖+=+=5/2, 5/3,lblaqlP56l 剛架的內力圖剛架的內力圖剛節點剛節點剛節點剛節點 在連接

22、兩部分的在連接兩部分的節點處夾角不變。節點處夾角不變。u 特點特點內力分量中，除了剪力內力分量中，除了剪力和彎矩外，通常還有軸和彎矩外，通常還有軸力。力。u 內力的正負號與觀察位置內力的正負號與觀察位置NNQQ無關無關無關無關57u 內力的正負號與觀察位置內力的正負號與觀察位置NNQQ有關有關無關無關無關無關u 彎矩畫在受壓側彎矩畫在受壓側58(1)(1) 可分段建立坐標系；可分段建立坐標系；(2)(2) 軸力、剪力畫在內側或軸力、剪力畫在內側或外側均可，但需標出正外側均可，但需標出正負號；負號；(3)(3) 彎矩畫在受壓側。彎矩畫在受壓側。 u 剛架內力圖的畫法剛架內力圖的畫法59例例 8 剛架剛架已知已知：q，a。解解：求求：內力圖。：內力圖。(1) 求支反力求支反力(2) 求內力求內力結果如圖。結果如圖。BC段段:QNM0X0N0YqaQ21D0)(FDMxqaM21x60(2) 求內力求內力BC段段:0NqaQ2