1、第10章靜電場習題解10.1四個點電荷到坐標原點的距離均為 d,如題10.1圖所示，求點0的電場強度的大小和方向rI+2q+2qOqxq題圖10.1解：由圖所示x軸上兩點電荷在0點產生場強為E1 = E2qi Ei2q4二；0d2i亠4二；0d3q4二；0d2y軸上兩點電荷在點0產生場強為-,- 2qq3q .E2 一 E2q j Ej -'二；°d2 j _40d2 j _ S二；0d2 j所以，點O處總場強為Eo=E1 E23q i2 I4二；od大小為E = E12 E；3 2Q?，方向與x軸正向成-45°角。4“0d10.2電量為q8.0 10“C和q2 一

2、16.0 10C的兩個點電荷相距20 cm,求離它們都是20 cm處的電場強度。（；。=8.85 102 F m_1）解：如圖，E1=1.8 106 V m4二；。E2=3.6 106 V m4二；0r2方向如圖由 E = E2 E：其中Ey=E1 cos60° E2=E1 sin60° - E2sin60°題圖10.2= 3.12 106 V m J610.3 一細棒被彎成半徑為R的半圓形，其上部均勻分布有電荷勻分布有電荷-Q,如題10.3圖示，求圓心點O的電場強度。題圖10.3解：由圖可知，由于正、負電荷在圓環上對稱分布，總場強一定沿在圓環上取電荷元dq =

3、d二，Rd，在點O產生的場強-y方向。4"0R24 聴0R24m0R方向如圖示。正電荷在點O產生場強的y分量為E.2小0 4 二 0Rcos 二'cos 迓4 0R 04二 0R由對稱性可知，負電荷在點O產生場強的y分量與正電荷在點O產生場強的y分 量大小相等，方向相同所以E。=E_ E =人Q2 ；0 R二2 ；0 R2負號表示E。方向指向y軸負方向。10.4正方形的邊長為a,四個頂點都放有電荷，求如題 情況下，其中心處的電場強度。10.4圖所示的4種+ q + q q q q + q + q (a)(b)'(c)題圖10.4(d) q解：在四種情況下，均以中心O為

4、坐標原點，水平向右為x軸正方向，豎直 向上為y軸正方向建立坐標系，則有(a)根據對稱性，四個頂點處的電荷在中心處產生的場強兩兩相互抵消。 所以Ea =0(b)根據對稱性，電荷在中心處產生的場強在x軸上抵消，只有y軸上的分量，所以2qE廠 作八-44“(a/2)2/2)2嚴45 " P J(c)根據對稱性，對角線上的電荷在中心處的場強可以相互抵消，所以Ec -0(d)根據對稱性，電荷在中心處產生的場強在y軸上抵消，只有x軸上的分量，所以亠_q©一 2q 亠Ed =4Eqxi =44j(a/2)2 (a/2)2 門45i =a2i10.9有一非均勻電場，其場強為 E = (E&

5、#176;kx)i，求通過如題圖10.9所示的邊長為0.53 m的立方體的電場強度通量。(式中k為一常量)y題圖10.9解：由于E只有x方向的分量Ex =E0 kx，故電場線只穿過垂直于x軸， 且位于Xi=0和X2=0.53m處的兩個立方體面Si和S?？紤]到這兩個面的外法線方 向相反，故有門廠 * dS EMSE/SSSiS2=-EoS (E00.53k)S2二 0.15k10.10設勻強電場的電場強度E與半徑為R的半球面的軸平行，求通過此半 球面的電場強度通量。題圖10.10解：作半徑為R的大圓平面S'與半球面S 一起構成閉合曲面，由于閉合曲 面內無電荷，由高斯定理，有、qeE dS

6、 二eS eS'0"0所以，通過半球面S的電場強度通量為GeS - -:-：JeS' _ -E二R2cos二二二R2E10.11兩個帶有等量異號的無限長同軸圓柱面，半徑分別為R和R （Ri vRO, 單位長度上的帶電量為 九，求離軸線為r處的電場強度：（1）r <R ； （2） R < r < R2 ； （3） r > R。題圖10.11解：（1）作高為I的同軸圓柱面（如題圖10.11 ）為高斯面。由于兩帶電圓 柱面的電場為柱對稱，所以，通過此高斯面的電場強度通量為- E dSS二 s E1 dS S E2 dS S E3 dSS1'S

7、2'S3其中第一、第三項積分分別為通過圓柱面上、 下底面的電場強度通量。由于E垂 直于軸線，故E在底平面內，第一、第三項的積分均為零。第二項積分為E dS 二 EdS =Er12“S2S2根據高斯定理” e八q/ ；0，有Ergn =0所以(2)同理 R1 :2 : R2 時，有E dS =；0所以E22二；。2r3R2時，有:E dS =-名0所以Er -0由上述結果可知，兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面所形成的電 場只存在于兩柱面之間。10.12如題圖10.12所示，一半徑為R的均勻帶電無限長直圓柱體，電荷體 密度為+ '，求帶電圓柱體內、外的電場分布。題圖10.12

8、解：此圓柱體的電場分布具有軸對稱性， 距軸線00等距離各點的電場強度 值相同，方向均垂直00軸，沿徑向，因此，可用高斯定理求解。1.圓柱體內的電場強度分布（* ： R）設點P為圓柱體內任意一點，它到軸線的距離為r1，在圓柱體內，以r,為半 徑作一與圓柱體同軸，高為I的閉合圓柱面為高斯面（如題圖10.12 ）。由于高斯 面上、下底面的法線均與面上各點的電場強度方向垂直， 故通過上、下底面的電 場強度通量為零，側面上任一點的法線方向，均與該處電場強度方向一致，故通 過整個高斯面的電場強度通量為 2r1IE1，高斯面內包圍的總電荷為二rjl'，由高 斯定理2“歸=丄匕2.圓柱體外的場強分布（

9、r2R）設P'為圓柱體外任一點，類似上面的討論，以 °為半徑作高斯面（如題圖10.12 ）,由高斯定理有二 r2lE22T2I =。0由此得E2=d2兀 ®r210.13兩個均勻帶電的金屬同心球面，半徑分別為0.10 m和0.30 m ,小球面帶電1.0絆0C,大球面帶電1.510 C。求離球心為（1）0.05 m（2）0.20 m（3）0.50 m處的電場強度。解：由于電荷在球面上對稱分布，所以兩球面電荷的電場也具有球對稱性, 場強方向沿徑向向外。 以球心O為中心，r 0.05 m為半徑作一同心球面，并以此為高斯面, 其內部電量為零，面上各點的場強大小均相同。由高

10、斯定理有2（2）同理以BI E d = EA4rA =0= EA = 0二0.20m為半徑作高斯面，面內包含小帶電球面上的所有電荷Q, =1.0 10*C。由高斯定理有5 "sE dS 二 Eb4二rBQ191091.0103斗二 Eb 1 222.25 103V m44二；。詰 (0.20)2 同理，可以得到點C處的電場強度大小為EcQ1Q24 ；or9 109 (1.0 1.5) 10(0.50)2 1=9 10 V m10.16兩平行無限大均勻帶電平面上的面電荷密度分別為+和-2匚，求圖示中3個區域的場強。+ ；二一2CI n 三題圖10.16解：對左極板作水平高斯柱面，且該高

11、斯面相對于左極板對稱，高斯面的兩 底面面積均為S，其上場強E的大小相等，方向均與兩S相同，由高斯定理，并:一 S注意高斯面的側表面無電場強度通量。有 2E1S-，即左極板在空間產生的場%強為E1，其方向為：在該極板左邊，方向水平向左；在該極板右邊，方向2奄水平向右。同理，對右極板作相似處理，可得，右極板在空間產生的場強為E2 ，其方向為：在該極板左邊，方向水平向右；在該極板左邊，方向水平名0向左。因此，根據場強迭加原理，可得上圖中各個區域中的場強分別為：ee2 -巳=旦方向為水平向右2%= E1 E2 方向為水平向右2%E = E E1方向為水平向左J2軋10.17如題圖10.17所示，AB兩

12、點相距21，處是以B為圓心，I為半徑的半圓。A點有正電荷 q ,B點有負電荷q。求(1)把單位正電荷從0點沿°己移到D點時電場力對它做的功?(2)把單位負電荷從D點沿AB的延長線移到無窮遠時電場力對它做的功?題圖10.17解：-q4二；0 314二；01_q6二；01A =1(Vo -Vd)=q6二；0I(2)設無窮遠處電勢為零，則-1Vd 7 二 Vdq6二；0I10.19 一均勻帶電半圓環，半徑為 R,帶電量為Q,求環心處的電勢。解：在帶電圓環上取一電荷元 dq，根據點電荷的電勢公式，其在環心處的 電勢為dUdq4二 0R然后對整個帶電體積分，可得環心處的總電勢為Q4二；0R10

13、.20電量q均勻分布在長為2l的細桿上，求在桿外延長線上與桿端距離為a的點P的電勢(設無窮遠處為電勢零點)。021題解圖10.20解：設坐標原點位于桿中心點 O, x軸沿桿的方向，如圖所示。細桿的電荷qdxdq線密度唱，在 x處取電荷元dq“晉，它在點P產生的電勢為dU P4 兀名 0(l +a-x)8 讓名 0l(l +a_x)整個桿上電荷對點P產生的電勢為q l dxUp - 8二；。1(l ax)=-qIn (I + a -x ) 1 8二 0l218二；0I10.21 一段半徑為a的細圓弧，對圓心的張角為 氓，其上均勻分布正電荷q,如題圖10.21所示，求圓心O點的電場強度和電勢。/

14、aOb)題圖10.21( a)解：（1）建立如題圖（b）所示坐標系，以圓心 O為坐標原點，水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向。根據對稱性可知，電荷在點 O處產生的場強沿y軸負向，在x軸的場強相互抵消，即.dEx =0。取電荷元dq，其在點O處產生的場強在y軸的分量為dqqcosdbdEy = cos： _24：；°a4 二；。入玄對整個帶電圓弧積分E =Ey 二 dEy / 2 ,> q cosd日 _ qsin(日0 /2)J 二 20日 220a(2)設無窮遠處為電勢零點，則點0處的電勢為dq _ q4:;0a 4二；0a10.22如題圖10.22所示，兩個同心球面，半

15、徑分別為Ri和內球面帶R2 (3) r >R2 處一電-q,外球面帶電+Q 求距球心(1)r < R i (2) R < r <點的電勢題圖10.22=0解法一：利用場強和電勢的積分關系計算。 在小球面內、兩球面間和大球面 外分別以點O為球心做高斯面，應用高斯定理可求得r : R-iEr = 0R1 : r : : R2rR2E2_q4 0r2Q - q4 0r2選無窮遠處電勢為零，由于不同區域電場強度的數值不同，于是有 (1)在r :尺區域:RR2為 一 _U1 二.r E d r E1 dl 尺 E2 dl r E3 dlr2-qR1 4二；0r2drR=3idrR24二；0r(2)在 R :：: r :：: R2區域:r2:U2 E dlE2 dl E3 dl叮叮唱R?q4二；0r2dr:Q - q R2 4- ；0r2dr=Q _ q4 二；0R24二；°r(3)在r R2區域U3dl =Q -q4二；0r二