1、實用文檔 標準文案 微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實驗檢驗的規(guī)律來建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。 （3）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟等學(xué)科的實際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現(xiàn)象。 一、模型的建立與求解 1.1傳染病模型 （1

2、）基礎(chǔ)模型 假設(shè)：t時刻病人人數(shù)()xt連續(xù)可微。每天每個病人有效接觸（使病人治病的接觸）的人數(shù)為?，0t?時有0x個病人。 建模：t到tt?病人人數(shù)增加 ()()()xttxtxtt? （1） 0,(0)dxxxxdt? （2） 解得： 0()txtxe? （3） 所以，病人人數(shù)會隨著t的增加而無限增長，結(jié)論不符合實際。 （2）SI模型 實用文檔 標準文案 假設(shè)：1.疾病傳播時期，總?cè)藬?shù)N保持不變。人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的比例為s(t),病人占總?cè)藬?shù)的比例為i(t)。 2.每位病人每天平均有效接觸?人，?為日接觸率。有效接觸后健康者變?yōu)椴∪恕?依據(jù)：患病人數(shù)的變化率=Ni(t)(原患病

3、人數(shù))* ?s(t)(每個病人每天使健康人變?yōu)椴∪说娜藬?shù)) 建模： diNNsidt? （4） 由于 ()()1stit? （5） 設(shè)t=0時刻病人所占的比例為0i，則可建立Logistic模型 0(1),(0)diiiiidt? （6） 解得： 01()111ktitei? （7） 用Matlab繪制圖1()itt，圖 2 diidt圖形如下， 結(jié)論：在不考慮治愈情況下 當12i? 時didt 達到最大值mdidt? ，這時101ln1mti? 實用文檔 標準文案 t?時人類全被感染。未考慮治愈情況。 （3）SIS模型 假設(shè)：1.疾病傳播時期，總?cè)藬?shù)N保持不變。人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的

4、比例為s(t),病人占總?cè)藬?shù)的比例為i(t)。 2.每位病人每天平均有效接觸?人，?為日接觸率。有效接觸后健康者變?yōu)椴∪恕?3.在所有病人中，每天有比例?的人能被治愈，治愈后看作可被感染的 健康者，傳染病的平均傳染期為1?。 依據(jù)：患病人數(shù)的變化率= Nsi?（患病人數(shù)的變化率）-Ni?(治愈率） 建模： diNNsiNidt? （8） 0(1),(0)diiiiiidt? （9） 令?為整個傳染期內(nèi)每位病人有效接觸的平均人數(shù)，?。 則有 11diiidt? （10） 用Matlab 繪制出diidt（圖3，圖5）和 it（圖4，圖6）。 實用文檔 標準文案 結(jié)論：1?為一個閾值。 1?，()

5、it 極限值1()1i?為增函數(shù)，()it的增減性由0i的大小確定。 1?，病人比例()it越來越小，最終趨于0。 （4）SIR模型（某些疾病患者治愈后獲得了很強的免疫力，不會再次被感染） 假設(shè)：總?cè)藬?shù)N不變，將人群分為健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他們在總?cè)藬?shù)中所占的比例依次為()st，()it，()rt。 ?為病人的日接觸率，為日治愈率，?為傳染期接觸數(shù)。 建模：由假設(shè)1得 ()()()1stitrt? （11） drNNidt? （12） 令t=0時健康者與病人所占比例分別為0000(0),(0)ssii?，則有 00,(0),(0)disiiiidtdssissdt? （13） 利

6、用Matlab繪制出()it，()st（圖7），is（圖8）圖形，is圖形稱為相軌線。 實用文檔 標準文案 相軌線分析：利用相軌線討論解()it，()st的性質(zhì)。 si平面稱為相平面，相軌線在其上的定義域為(,)siD?為 ?,0,0,1Dsisisi? （14） 消去方程中的dt，并由?得到 0011,ssdiiidss? （15） 解得： ? ?0001lnsisiss? （16） 在定義域D內(nèi)，相軌線是上式所表示的曲線，如圖9所示，其中箭頭表示隨著時間t的增加()st和()it的變化趨勢。下面分析()st、()it和()rt的變化情況（t?時它們的極限值分別記做,si?和r?） 不論初始

7、條件00,si如何，病人最終會消失，0i? ，證明： 首先，由式（13） ，0dsdt?，而?0st?，所以s?存在；由式（11 ），0drdt?，而()1rt?，所以r?存在；由式（11）得i?存在。 實用文檔 標準文案 其次，若0i?，則由式（11），對于充分大的t 有2drdt?，導(dǎo)致r?，與r?存在相矛盾。 從圖形來看，無論相軌線從何點出發(fā)，最終都將與s軸相交。 令式（16）中0i?，則最終未被感染的健康者的比例是s?，s?為方程 0001ln0ssiss? （17） 在(0,1/)?內(nèi)的根，在圖形上表示為相軌線與s軸在(0,1/)?內(nèi)交點的橫坐標。 若01/s?，則()it先增加，當

8、1/s?時，()it達到最大值 0001(1ln)isis? （18） 然后()it減小且趨于0，()st單調(diào)減小至s?，如圖中由1P出發(fā)的相軌線。 若01/s?，則()it單調(diào)減小至0，()st單調(diào)減小至s?，如圖中由2P出發(fā)的相軌線。 結(jié)論：若病人比例有一段時間增長即認為傳染病在蔓延，則1/?為一個閾值， 01/s?時蔓延。可以通過減小? 使01/s?，使傳染病不蔓延。 01/s?，?減小時，s?增加，也能控制蔓延程度。 1.2捕魚模型 考察一個漁場，其中魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長、如果捕撈量恰好等于增長量，那么漁場魚量將保持不變，這個捕撈量就可以持續(xù) 產(chǎn)量模型 假設(shè)：()xt為漁場中

9、魚量。 1.無捕撈時，魚的的增長服從logistic規(guī)律，即 ()()1xxtfxrxN? ? （19）其中：r表示固有增長率，N表示環(huán)境容許的最大魚量，()fx表示單位時間的增長量。 2. 用E表示單位時間捕撈率，單位時間捕撈量和漁場魚量()xt成正比，則有實用文檔 標準文案 單位時間捕撈量為 ()hxEx? （20） 建模：捕撈情況下漁場魚量滿足 ()()1xxtFxrxExN? ? （21） 其中：()()()Fxfxhx?。 判斷()xt的穩(wěn)定條件，求式（21）的平衡點，分析其穩(wěn)定性。 令式（21）為0，得兩個平衡點： 01(1),0ExNxr? （22） 穩(wěn)定性判斷 01(),()F

10、xErFxrE? 當Er?時01()0,()0FxFx?，則0x點穩(wěn)定，1x點不穩(wěn)定。 當Er?時01()0,()0FxFx?，則1x點穩(wěn)定，0x點不穩(wěn)定。 分析：用E表示捕撈率，r表示固有增長率。 當Er?時，可使魚量穩(wěn)定在0x，獲得穩(wěn)定產(chǎn)量。 當Er?時，1x穩(wěn)定，漁場干枯。 根據(jù)（19），（20）式分別繪制曲線()yfx?及()()yhxEx?，使用Matlab繪制圖形如下所示， 得兩曲線交點為P，則P橫坐標為穩(wěn)定平衡點0x，縱坐標為穩(wěn)定條件下單位時間的產(chǎn)量，當交點位于拋物線頂點時獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量， 此時的穩(wěn)定平衡點為*02Nx?， 單位時間的最大持續(xù)產(chǎn)量為4mrNh? ，捕撈率*2r

11、E?。 結(jié)論：將捕撈率控制在固有增長率r的一半，即使?jié)O場魚量保持在最大魚量的一半時，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。 效益模型（經(jīng)濟效益=總收入收入-成本） 假設(shè)：魚銷售單價p，單位捕撈率費用是c，單位時間收入為T，成本為S，單位利潤為R，則有 ()TphxpExScERTSpExcE? （23） 實用文檔 標準文案 建模：在穩(wěn)定條件0xx?下，將式（22）代入式（23）得 ()()()(1)ERETESEpNEcEr? （24） 求出使利潤最大的捕撈強度為 12RrcEpN? （25） 最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量Rx和單位時間的持續(xù)產(chǎn)量Rh 22RNcxp? （26） 222(1)14RRRxrNch

12、rxNpN? （27） 結(jié)論：當有最大效益時，捕撈率和持續(xù)產(chǎn)量都減小，漁場應(yīng)保持的穩(wěn)定魚量增加，捕撈成本越大或銷售價格越低所需減少增大的部分越大。 捕撈過度：封閉式捕撈追求利益最大，開放式捕撈只追求利潤。 令式（24）中()0RE?,解SE,則 1ScErpN? (28） 當SEE?時，利潤()0RE?經(jīng)營者加大捕撈強度，當SEE?，()0RE?經(jīng)營者減小捕撈強度，SE為盲目捕撈下的臨界強度。 或利用Matlab繪制(),()ETESE曲線如圖（12），則(),()TESE交點橫坐標即為SE。 二、微分方程與平衡點理論 2.1一階微分方程 設(shè)一階微分方程為 ?xtfx ? （1） 求解方程?=

13、0fx即可出平衡點0xx?。再判斷平衡點0x是否穩(wěn)定。 判斷平衡點的常用方法有以下兩種 （1）直接法 實用文檔 標準文案 將?fx在0x點作泰勒展開，僅取一次項，則得方程（1）的近似線性方程為 ?'0xtfxxx? ? （2） 所以，0x也是方程（2）的平衡點。令?'0=fxa，則方程（2）的一般解為 ?0atxtcexc?為常數(shù) 對于0x點的穩(wěn)定性有如下結(jié)論： 如果?'00fx?，則0x對于方程（2）和（1）都是穩(wěn)定的； 如果?'00fx?，則0x對于方程（2）和（1）都是不穩(wěn)定的； （2）間接法 如果存在0x某個鄰域內(nèi)的任意值，使方程（1）的解?xt滿足 ?0limtxtx? （3） 那么0x是穩(wěn)定的，否則0x是不穩(wěn)定的。 2.2二階微分方程 設(shè)二階微分方程為 ?112212,xtfxxxtgxx? ? （4） 求出方程?1212,0,0fxxgxx?的解，即為二階微分方程的平衡點001122,xxxx?記作?00012Pxx， 利用直接法判斷平衡點的穩(wěn)定性，由線性常系數(shù)微分方程組 ?1112221122xtaxaxxtbxbx? ? （5） 得系數(shù)矩陣記 1212=aaAbb? （6） 為求出方程（5）的惟一平衡點?000P，的穩(wěn)定性，令A(yù)的行列det0A? （7） ?000P，的穩(wěn)定性可由方程（5）的特征方程的根?決定