1、第四節(jié)函數(shù)y asinx 的圖象及三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用 考綱傳真 1.明白函數(shù) yasinx 的物理意義；能畫出函數(shù)的圖象，明白參數(shù)a，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響 .2.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡潔實(shí)際問題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型1yasin x的有關(guān)概念2.用五點(diǎn)法畫 yasinx 一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示3.由 y sin x 的圖象變換得到y(tǒng)asinx其中 a0，0的圖象先平移后伸縮先伸縮后平移.1摸索辨析 判定以下結(jié)論的正誤 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”1利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮，后平移”中平移的單位長度一樣2將 y3

2、sin 2x 的圖象左移4個(gè)單位后所得圖象的解析式是y 3sin 2x4 .3函數(shù) fx asinx的圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸間的距離為一個(gè)周期24函數(shù) y acosx 的最小正周期為 t，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為t. 答案1×2×3×422021 ·四川高考 為了得到函數(shù) ysin x3 的圖象，只需把函數(shù) y sin x 的圖象上全部的點(diǎn) a 向左平行移動(dòng)b向右平行移動(dòng)c向上平行移動(dòng)d向下平行移動(dòng)個(gè)單位長度3個(gè)單位長度3個(gè)單位長度3個(gè)單位長度3xa 把函數(shù) ysin x 的圖象上全部的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度就得到函數(shù)ysin33的圖象

3、3如函數(shù) ysinx0的部分圖象如圖 3-4-1，就 圖 3-4-1a 5b.4c.3d.2b 由圖象可知，t x02x0 ，44所以 t 2，所以 4. 24將函數(shù) ysin2x 的圖象沿 x 軸向左平移能取值為 個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，就的一個(gè)可83a. 4b.4c.0d.4 8b 把函數(shù) ysin2x沿x 軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)y sin 2 x28sin 2x 4 為偶函數(shù)，就 的一個(gè)可能取值是 4.5教材改編 電流 i 單位： a 隨時(shí)間 t單位： s變化的函數(shù)關(guān)系式是i 5sin 100t 3 ，t 0 ，就電流 i 變化的初相、周期分別是 1，由初相和周期的定義，得電

4、流i 變化的初相是，周期 t21.3503100 50函數(shù) yasinx 的圖象及變換1已知函數(shù) fx3sin2x 4 ，xr.1畫出函數(shù) fx在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡圖；2將函數(shù) ysin x 的圖象作怎樣的變換可得到fx的圖象？ 解1列表取值：357922222x13x022242fx030 30描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡圖.5 分2先把 y sin x 的圖象向右平移2個(gè)單位，然后把全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原先的倍，再把全部點(diǎn)4的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原先的3 倍，得到 fx的圖象 .12 分 規(guī)律方法 1.變換法作圖象的關(guān)鍵是看x 軸上是先平移后伸縮仍是先伸縮后平移，對(duì)于后者可

5、利用 x x 確定平移單位2用“ 五點(diǎn)法 ”作圖，關(guān)鍵是通過變量代換，設(shè)z x，由 z 取 0， ，232，2來求出相應(yīng)的 x，通過列表，描點(diǎn)得出圖象假如在限定的區(qū)間內(nèi)作圖象，仍應(yīng)留意端點(diǎn)的確定 變式訓(xùn)練 112021 全·國卷 將函數(shù) y 2sin 2x6 的圖象向右平移的函數(shù)為 1個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)4a y2sin 2x 4b.y2sin 2x 3cy2sin 2x4d.y2sin 2x 322021 全·國卷 函數(shù) y sin x3cos x 的圖象可由函數(shù)ysin x3cos x 的圖象至少向右平移 個(gè)單位長度得到21d21 函數(shù) y2sin 2x1y2sin

6、2x36 的周期為 ，將函數(shù)6 的圖象向右平移個(gè)周期即4x個(gè)單位長度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2sin 244 6 2sin 2x 3 ，應(yīng)選 d.2由于 y sin x3cos x 2sin x3 ，ysin x3cos x2sin x3 ，所以把 y 2sin x3 的圖象2至少向右平移3 個(gè)單位長度可得y2sin x 3 的圖象 求函數(shù) yasinx的解12021析式全·國卷 函數(shù) yasinx 的部分圖象如圖 3-4-2 所示，就 a y2sin 2x 6by2sin 2x3cy2sin x6dy2sin x3圖 3-4-22已知函數(shù) y asinxba 0， 0的最大值為4，

7、最小值為0，最小正周期為，直線 x 2 是其圖象的一條對(duì)稱軸，就下面各式中符合條件的解析式為 3a y4sin 4x 6by2sin 2x3 2cy2sin 4x3 2dy2sin 4x 6 23t21a2d1 由圖象知 2 6 2，故 t，因此 2.又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為3，2 ，所以 a2，且 2×應(yīng)選 a. 2k32k z ，故 2k6k z ，結(jié)合選項(xiàng)可知y 2sin 2x6 .22由函數(shù) yasinxb 的最大值為 4，最小值為 0，可知 b2，a2.由函數(shù)的最小正周期為，2可知 2，得 4.由直線 x4是其圖象的一條對(duì)稱軸， 可知×3k 352，kz ，從而

8、k 6 ，kz ，故滿意題意的是y2sin 4x 6 2. 規(guī)律方法 確定 yasinxba 0， 0的步驟和方法m mmm1求 a，b：確定函數(shù)的最大值m 和最小值 m，就 a22，b2；2求 ：確定函數(shù)的周期t，就可得 t ；3求 ：常用的方法有：代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入此時(shí) a，b 已知或代入圖象與直線yb 的交點(diǎn)求解 此時(shí)要留意交點(diǎn)在上升區(qū)間上仍是在下降區(qū)間上五點(diǎn)法：確定 值時(shí)，往往以查找 “五點(diǎn)法 ”中的某一個(gè)點(diǎn)為突破口“第一點(diǎn) ”即圖象上升時(shí)與 x 軸的交點(diǎn) 時(shí) x 0；“ 其次點(diǎn) ”即圖象的 “峰點(diǎn)”時(shí) x ；“第三點(diǎn) ”即圖象下降時(shí)2與 x 軸的交點(diǎn) 時(shí) x；“ 第四點(diǎn)

9、” 即圖象的 “ 谷點(diǎn)” 時(shí) x 32 ；“ 第五點(diǎn)” 時(shí) x2. 變式訓(xùn)練 22021 ·石家莊一模 函數(shù) fxasinx a0， 0的部分圖象如圖 3-4-3 所示，11就 f24的值為a622c.2b.32d.1圖 3-4-3d 由圖象可得 a2，最小正周期 t47 3，就 122t 2.又 f712 2sin76 2，51111 53解得 3 2kk z ，即 k1，就 fx2sin 2x， f 3242sin12 3 2sin 4 1，應(yīng)選 d.函數(shù) yasinx圖象與性質(zhì)的應(yīng)用2021 ·天津高考 已知函數(shù) fx4tan xsin1求 fx的定義域與最小正周期；

10、2 x ·cos x3 3.2爭論 fx在區(qū)間 4，上的單調(diào)性4 解1fx的定義域?yàn)閤 xk， k z.2 分 2fx4tan xcos xcos x3 34sin xcos x 3 34sin x 1332cos x2 sin x2sin xcos x 23sin2x3sin 2x31cos 2x3sin 2x3cos 2x2sin 2x3 .所以 fx的最小正周期 t2.6 分2 22令 z2x，就函數(shù) y2sin z 的單調(diào)遞增區(qū)間是32k，2 2k，kz .由 2k2x2 2k，32得kx125k，kz .8 分 12 設(shè) a ，44 ，b x kx125.k， kz ，易知

11、 ab ，12124所以當(dāng) x 4， 4 時(shí)， fx在區(qū)間 4，上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ，12412上單調(diào)遞減 .12 分 規(guī)律方法 爭論函數(shù)的單調(diào)性，爭論函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性，都必需第一利用幫助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)32 變式訓(xùn)練 3設(shè)函數(shù) fx.最近的對(duì)稱軸的距離為 42 3sin xsin xcos x0，且 yfx圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01772119】1求 的值；2求 fx在區(qū)間 ，332上的最大值和最小值2 解1fx2 3sinx sin xcos x31cos 2x 12 3·22sin 2x31xx sin 2x分2 cos 22sin

12、23 .322由于圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為2由1知 fx sin 2x 3 .6 分，又 0，所以44× ，因此 1.5 分4當(dāng) x32 時(shí)，5 83 2x 3 ，333所以2 sin 2x 3 1，就 1 fx 2 .10 分故 fx在區(qū)間 ，32上的最大值和最小值分別為32 ，1.12 分三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用某試驗(yàn)室一天的溫度單位： 隨時(shí)間t單位： h的變化近似滿意函數(shù)關(guān)系：ft103cos12tsin12t， t0,24 1求試驗(yàn)室這一天的最大溫差；2如要求試驗(yàn)室溫度不高于11 ，就在哪段時(shí)間試驗(yàn)室需要降溫？ 解1由于 ft10 2312 cos12t2sin

13、12t102sin12t 3 ，2 分又 0t24， 73所以 312t 3 ， 1 sin12t 3 1.4 分當(dāng) t 2 時(shí)， sin12t3 1；當(dāng) t 14 時(shí)， sin12t 3 1.于是 ft在0,24上取得最大值 12，取得最小值 8.故試驗(yàn)室這一天最高溫度為12 ，最低溫度為 8 ，最大溫差為 4 .6 分2依題意，當(dāng) ft11 時(shí)試驗(yàn)室需要降溫由1得 ft 102sin12t 3 ，故有 10 2sin12t3 11，1即 sin分12t3 2.97 11t又 0t24，因此 61236 ，即 10 t18.故在 10 時(shí)至 18 時(shí)試驗(yàn)室需要降溫 .12 分 規(guī)律方法 1.

14、三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用表達(dá)在兩個(gè)方面：一是用已知的模型去分析解決實(shí)際問題，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型解決問題，其關(guān)鍵是合理建模2建模的方法是仔細(xì)審題，把問題供應(yīng)的“條件 ”逐條地 “ 翻譯”成“數(shù)學(xué)語言 ”，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)建模的過程 變式訓(xùn)練 42021 ·陜西高考 如圖 3-4-4，某港口一天 6 時(shí)到 18 時(shí)的水深變化曲線近似滿意函數(shù)y3sin 6x k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深單位： m的最大值為 a 5b.6c.8d.10圖 3-4-4c 依據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有 3 k2，k5，最大值為 3 k 8. 思 想 與 方 法 1由圖象確定函數(shù)解析式由圖象確定yasinx 時(shí)， 的確定是關(guān)鍵，盡量挑選圖象的最值點(diǎn)代入；如選零點(diǎn)代入，應(yīng)依據(jù)圖象升降找 “五點(diǎn)法 ”作圖中第一個(gè)零點(diǎn)2對(duì)稱問題函數(shù) yasinx 的圖象與 x 軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，經(jīng)過該圖象上坐標(biāo)為 x，±a的點(diǎn)與 x 軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸， 這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的肯定值是半個(gè)周期 或兩個(gè)相鄰