1、第四節函數y=asin(x+)的圖象及三角函數模型的簡單應用(全國卷5年6考)【知識梳理知識梳理】1.y=asin(x+)的有關概念的有關概念y=asin(x+)(a0,0),xr振幅振幅 周期周期頻率頻率相位相位初相初相at=_ f= =_ _2 1t2 x+2.“五點法五點法”作函數作函數yasin(x)(a0，0)的五的五個關鍵點個關鍵點x_x+_y=asin(x+)0a0-a02322022323.函數函數y=sin x的圖象經變換得到的圖象經變換得到y=asin(x+) (a0,0)的圖象的兩種途徑的圖象的兩種途徑【常用結論常用結論】1.兩種圖象變換的區別兩種圖象變換的區別由由y=s

2、in x的圖象變換到的圖象變換到y=asin(x+)的圖象的圖象,兩種兩種變換的區別變換的區別:先相位變換再周期變換先相位變換再周期變換(伸縮變換伸縮變換),平平移的量是移的量是|個單位長度個單位長度;先周期變換先周期變換(伸縮變換伸縮變換)再再相位變換相位變換,平移的量是平移的量是 (0)個單位長度個單位長度.|2.由圖象求解析式的三種必會方法由圖象求解析式的三種必會方法(1)直接法直接法:如果從圖象可確定振幅和周期如果從圖象可確定振幅和周期,則可直接確定則可直接確定函數表達式函數表達式y=asin(x+)中的參數中的參數a和和,再選取再選取“第第一零點一零點”的數據代入的數據代入“x+=0

3、”求得求得.(2)五點法五點法:通過若干特殊點代入函數式求解通過若干特殊點代入函數式求解,依據是五點依據是五點法法.(3)逆向思維法逆向思維法:運用逆向思維的方法運用逆向思維的方法,根據圖象變換可以根據圖象變換可以確定相關的參數確定相關的參數.【基礎自測基礎自測】題組一題組一:走出誤區走出誤區1.判斷正誤判斷正誤(正確的打正確的打“”“”錯誤的打錯誤的打“”)(1)將函數將函數y=3sin 2x的圖象左移的圖象左移 個單位長度后所得個單位長度后所得圖象的解析式是圖象的解析式是y=3sin . ()4(2x)4(2)利用圖象變換作圖時利用圖象變換作圖時“先平移先平移,后伸縮后伸縮”與與“先伸先伸

4、縮縮,后平移后平移”中平移的長度一致中平移的長度一致.()(3)函數函數y=acos(x+)的最小正周期為的最小正周期為t,那么函數圖那么函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為 . ()t2提示提示: :根據根據y=asin(x+)y=asin(x+)的圖象與性質知的圖象與性質知(1)(2)(1)(2)是錯是錯誤的誤的,(3),(3)是正確的是正確的. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.函數函數g(x)的圖象是由的圖象是由f(x)=sin 的圖象向左平的圖象向左平移移 個單位得到個單位得到,則則g(x)的一條對稱軸方程是的一條對稱軸方程是(

5、) a.x=- b.x= c.x=- d.x= (2x)26661212【解析解析】選選a.a.將圖象向左平移將圖象向左平移 個單位后解析式為個單位后解析式為y=sin ,y=sin ,令令2x+ = +k (kz),2x+ = +k (kz),解得解得:x=- (kz),:x=- (kz),對對k k賦值賦值, ,當當k=0k=0時時,x=- ,x=- ,即為一條對稱軸方程即為一條對稱軸方程. .65(2x)6562k6263.將函數將函數f(x)=sin x圖象上每一點的橫坐標縮短為原圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半來的一半(縱坐標不變縱坐標不變),再向右平移再向右平移 個單位長度得個

6、單位長度得到到y=g(x)的圖象的圖象,則函數則函數y=g(x)的單調遞增區間為的單調遞增區間為 ()65a.2k,2kkz12125b.2k,2kkz665c.k,kkz12125d.k,kkz66【解析解析】選選c.將函數將函數y=sin x的圖象上所有點的橫坐標的圖象上所有點的橫坐標變為原來的變為原來的 倍倍(縱坐標不變縱坐標不變),可得可得y=sin 2x的圖象的圖象,再將所得圖象向右平移再將所得圖象向右平移 個單位長度個單位長度,得到函數得到函數y=g(x)= 的圖象的圖象,令令2k- 2x- 2k+ ,求得求得k- xk+ ,可得函數的遞可得函數的遞增區間為增區間為 ,kz.126

7、sin 2(x)sin(2x)63232125125k,k1212題組二題組二:走進教材走進教材1.(必修必修4p57習題習題1.5t1(2)改編改編)為了得到為了得到y=3cos 的圖象的圖象,只需把只需把y=3cos 圖象上的所有點的圖象上的所有點的 ()a.縱坐標伸長到原來的縱坐標伸長到原來的3倍倍,橫坐標不變橫坐標不變b.橫坐標伸長到原來的橫坐標伸長到原來的3倍倍,縱坐標不變縱坐標不變(3x)8(x)8c.縱坐標縮短到原來的縱坐標縮短到原來的 ,橫坐標不變橫坐標不變d.橫坐標縮短到原來的橫坐標縮短到原來的 ,縱坐標不變縱坐標不變1313【解析解析】選選d.d.因為變換前后因為變換前后,

8、 ,兩個函數的初相相同兩個函數的初相相同, ,所所以只需把以只需把y=3cos y=3cos 圖象上的所有點的縱坐標不變圖象上的所有點的縱坐標不變, ,橫坐標縮短到原來的橫坐標縮短到原來的 , ,即可得到函數即可得到函數y=3cos y=3cos 的圖象的圖象. .(x)813(3x)82.(必修必修4p56練習練習t3改編改編)已知函數已知函數f(x)=2sin 的圖象經過點的圖象經過點(0,1),則該函數的振幅為則該函數的振幅為_ _,周周期期t為為_,頻率為頻率為_ _,初相初相為為_. (x)3(|)2 【解析解析】振幅振幅a=2,t= =6,f= ,因為圖象過點因為圖象過點(0,1)

9、,所以所以1=2sin ,所以所以sin = ,又又|0,0),)+b(a0,0),由題意得由題意得a=1,b=6,t=4,a=1,b=6,t=4,因為因為t= ,t= ,所以所以= ,= ,所以所以y= y= 因為當因為當x=1x=1時時,y=6,y=6,所以所以6= 6= 結合表中數據得結合表中數據得 + +=2k,kz,=2k,kz,可取可取=- ,=- ,所以所以y= y= 答案答案: :y= y= 22sin(x)6.2 sin()6,2 22sin(x)6.22sin(x)622考點一函數考點一函數y=asin(x+)的圖象及圖象變換的圖象及圖象變換【題組練透題組練透】1.(201

10、7全國卷全國卷)已知曲線已知曲線c1:y=cos x,c2:y=sin 則下面結論正確的是則下面結論正確的是 ()2(2x)3，a.把把c1上各點的橫坐標伸長到原來的上各點的橫坐標伸長到原來的2倍倍,縱坐標不變縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移再把得到的曲線向右平移 個單位長度個單位長度,得到曲線得到曲線c2b.把把c1上各點的橫坐標伸長到原來的上各點的橫坐標伸長到原來的2倍倍,縱坐標不變縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移再把得到的曲線向左平移 個單位長度個單位長度,得到曲線得到曲線c2612c.把把c1上各點的橫坐標縮短到原來的上各點的橫坐標縮短到原來的 倍倍,縱坐標不縱坐標不變變,再把得到

11、的曲線向右平移再把得到的曲線向右平移 個單位長度個單位長度,得到曲線得到曲線c2d.把把c1上各點的橫坐標縮短到原來的上各點的橫坐標縮短到原來的 倍倍,縱坐標不縱坐標不變變,再把得到的曲線向左平移再把得到的曲線向左平移 個單位長度個單位長度,得到曲得到曲線線c21261212【解析解析】選選d.c1:y=cos x,c2:y= 首先把曲線首先把曲線c1,c2統一為同一三角函數名統一為同一三角函數名,可將可將c1:y=cos x用誘導公式處理用誘導公式處理.y=cos x=cos =sin .橫坐標變換需將橫坐標變換需將=1變成變成=2,即即y=sin 2sin(2x)3，(x)22(x)2(x

12、)2注意注意的系數的系數, ,在左右平移時需將在左右平移時需將=2=2提到括號外面提到括號外面, ,這時這時x+ x+ 平移至平移至x+ ,x+ ,根據根據“左加右減左加右減”原則原則, ,“x+ x+ ”到到“x+ x+ ”需加需加上上 , ,即再向左平移即再向左平移 . .2ysin(2x)sin 2(x)ysin(2x)sin2(x)243343431212【誤區警示誤區警示】平移變換和伸縮變換都是針對平移變換和伸縮變換都是針對x而言只要而言只要平移平移|個單位都是相應的解析式中的個單位都是相應的解析式中的x變為變為x|,而而不是不是x變為變為x|.2.若將函數若將函數y=2cos x(

13、sin x+cos x)-1的圖象向左平的圖象向左平移移個單位個單位,得到的函數是偶函數得到的函數是偶函數,則則的最小正值的最小正值是是() 33a. b. c. d.8824【解析解析】選選a.a.化簡函數化簡函數:y=2cos x(sin x+cos x)-1=:y=2cos x(sin x+cos x)-1=2sin xcos x+2cos2sin xcos x+2cos2 2 x-1 x-1=sin 2x+cos 2x= =sin 2x+cos 2x= 向左平移向左平移個單位可得個單位可得y= y= 因為因為y= y= 是偶函數是偶函數, ,2 sin(2x)4，2 sin(2x2)4

14、 ，2 sin(2x2)4 所以所以2 2+ +k,kz,+ +k,kz,= = 由由k=0k=0可得可得的最小正值是的最小正值是 . .42k28，83.已知函數已知函數f(x)=sin(x+)(0),若若f(x)的圖象向的圖象向左平移左平移 個單位所得的圖象與個單位所得的圖象與f(x)的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位所得的圖象重合個單位所得的圖象重合,則則的最小值為的最小值為_. 36【解析解析】函數函數f(x)=sin(x+)(0),把把f(x)的圖象的圖象向左平移向左平移 個單位所得的圖象為個單位所得的圖象為y= 把把f(x)f(x)的圖象向右平移的圖象向右平移 個單位所得個單位所

15、得的圖象為的圖象為y= y= 3sin (x)3 sin( x)3 ，sin (x)sin( x)66 ，6根據題意可得根據題意可得y= y= 和和y= y= 的圖的圖象重合象重合, ,故故 求得求得=4k,=4k,故故的最小的最小值為值為4.4.答案答案: :4 4sin( x)3 sin( x)6 2k36 ，4.某同學用某同學用“五點法五點法”畫函數畫函數f(x)=asin(x+) 在某一個周期內的圖象時在某一個周期內的圖象時,列表并填入了列表并填入了部分數據部分數據,如表如表:(0,|)2 (1)請將上表數據補充完整請將上表數據補充完整,并直接寫出函數并直接寫出函數f(x)的解的解析式

16、析式;(2)將將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動圖象上所有點向左平行移動(0)個單個單位長度位長度,得到得到y=g(x)的圖象的圖象. 若若y=g(x)圖象的一個對稱圖象的一個對稱中心為中心為 求求的最小值的最小值.5(,0)12，【解析解析】(1)(1)根據表中已知數據根據表中已知數據, ,得得a=5,=2,a=5,=2,=- . =- . 數據補全如表數據補全如表: :6且函數解析式為且函數解析式為f(x)=f(x)=5sin(2x).6(2)(2)由由(1)(1)知知 f(x)= f(x)= 得得g(x)= g(x)= 因為因為y=sin xy=sin x的對稱中心為的對稱中心為(k

17、,0),kz.(k,0),kz.令令2x+2- =k,kz,2x+2- =k,kz,解得解得x= -,kz.x= -,kz.5sin(2x)6，5sin(2x2).6 6k212由于函數由于函數y=g(x)y=g(x)的圖象關于點的圖象關于點 成中心對稱成中心對稱, ,令令 解得解得= ,kz. = ,kz. 由由00可知可知, ,當當k=1k=1時時,取得最取得最小值小值 5(,0)12k5kz,21212 ，k23.6【互動探究互動探究】若題若題4中的表改為中的表改為(1)求求x1,x2,x3的值及函數的值及函數f(x)的表達式的表達式.(2)將函數將函數f(x)的圖象向右平移的圖象向右平

18、移(0)個單位長度個單位長度,可得到函數可得到函數g(x)的圖象的圖象.若若y=g(x)的圖象的一條對稱軸的圖象的一條對稱軸方程為方程為x= ,求求的最小值的最小值.512【解析解析】(1)(1)由由 +=0, +=0, +=可得可得= ,= ,=- .=- .由由 x x1 1- = , x- = , x2 2- = , x- = , x3 3- =2,- =2,可得可得由由asin =2,asin =2,得得a=2,a=2,所以所以f(x)= f(x)= 123238312321233212312351114xxx.333，2x2sin().23(2)(2)由由f(x)=2sin f(x)

19、=2sin 的圖象向右平移的圖象向右平移個單位長度個單位長度, ,得得g(x)=2sin g(x)=2sin 的圖象的圖象, ,因為因為y=g(x)y=g(x)的圖象的一條對稱軸方程為的圖象的一條對稱軸方程為x= x= 所以所以 解得解得=-2k- ,kz,=-2k- ,kz,又又0,0,所以當所以當k=-1k=-1時時,取得最小值取得最小值 1(x)23x()223512，15k,kz212232 ，543.4【規律方法規律方法】作函數作函數y=asin(x+)(a0,0)的圖的圖象常用的兩種方法象常用的兩種方法(1)五點法作圖五點法作圖:用用“五點法五點法”作作y=asin(x+)的簡的簡

20、圖圖,主要是通過變量代換主要是通過變量代換,設設z=x+,由由z取取0, , ,2來求出相應的來求出相應的x,通過列表通過列表,計算得出五點坐計算得出五點坐標標,描點后得出圖象描點后得出圖象.232(2)圖象的變換作圖圖象的變換作圖:由函數由函數y=sin x的圖象通過變換得到的圖象通過變換得到y=asin(x+)的圖象有兩種途徑的圖象有兩種途徑:“先平移后伸縮先平移后伸縮”與與“先伸縮后平移先伸縮后平移”.考點二由圖象求解析式考點二由圖象求解析式【典例典例】(1)函數函數y=f(x)=acos(x+)的部分圖象如圖的部分圖象如圖所示所示,則則a,的值為的值為()a.1, b.-1, c.1,

21、2, d.1,- 4444(2)(2018銀川模擬銀川模擬)函數函數f(x)=2sin(x+)(0, xr)的部分圖象如圖所示的部分圖象如圖所示,則該函數圖象的一個對稱則該函數圖象的一個對稱中心是中心是 () 2a.(,0) b.(,0)3344 c.(,0) d.(,0)33【解析解析】(1)(1)選選a.a.由題圖知由題圖知, ,周期周期t= =2,a=1,t= =2,a=1,所所以以 =2,=2,所以所以=.=.由由 + += +2k,kz,= +2k,kz,得得= +2k,kz,= +2k,kz,不不妨取妨取= .= .512()44214244(2)(2)選選c.c.由題得由題得t=

22、 t= 所以所以=2,=2,所以所以f(x)=2sin(2x+f(x)=2sin(2x+).).由于曲線經過點由于曲線經過點 , ,所以所以2=2sin ,2=2sin ,所以所以1=sin ,1=sin ,所以可令所以可令=- .=- .所以所以f(x)=2sin ,f(x)=2sin ,令令2x- =k,2x- =k,1152() 2,1212 5(,2)125(2)125()63(2x)33所以所以x= ,kz,x= ,kz,當當k=-3k=-3時時,x=- .,x=- .所以函數圖象的一個對稱中心是所以函數圖象的一個對稱中心是 k26434(,0).3【答題模板微課答題模板微課】本例本

23、例(1)的求解過程可模板化為的求解過程可模板化為:建模板建模板:“由圖象知由圖象知t= =2,a=1”,由圖象求由圖象求t與與a“所以所以 =2,即即=”, 求求“由由 += +2k(kz)得得= +2k(kz),不妨取不妨取= ”.求求512()44214244套模板套模板:已知函數已知函數y=f(x)=2sin(x+)(0,- )的部分圖象如圖所示的部分圖象如圖所示,則則,的值分別是的值分別是()22a.2,b.2,36c.4,d.4,63【解析解析】選選a.a.由題圖可知由題圖可知, , ,即即t=,t=,求求t t所以所以 =,=,即即=2, =2, 求求由由2 2 + += +2k(

24、kz)= +2k(kz)得得=- +2k,kz,=- +2k,kz,又又- - ,0,0)的解析式的步驟的解析式的步驟(1)求求a,b,確定函數的最大值確定函數的最大值m和最小值和最小值m,則則 (2)求求,確定函數的周期確定函數的周期t,則則= mma2，2.tmmb.2(3)求求,常用方法有常用方法有:代入法代入法:把圖象上的一個已知點代入把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象的最高點或或把圖象的最高點或最低點代入最低點代入.五點法五點法:確定確定值時值時,往往以尋找往往以尋找“五點法五點法”中的特中的特殊點

25、作為突破口殊點作為突破口.具體如下具體如下:“第一點第一點”(即圖象上升時即圖象上升時與與x軸的交點軸的交點)為為x+=0;“第二點第二點”(即圖象的即圖象的“峰峰點點”)為為x+= ;“第三點第三點”(即圖象下降時與即圖象下降時與x軸的軸的交點交點)為為x+=;“第四點第四點”(即圖象的即圖象的“谷點谷點”)為為x+= ;“第五點第五點”(即圖象上升時與即圖象上升時與x軸的交點軸的交點)為為x+=2.232【對點訓練對點訓練】設函數設函數f(x)=cos(x+)(0,- 0)的最小正周期為的最小正周期為,且且 23f().42(1)求求和和的值的值.(2)在給定坐標系中作出函數在給定坐標系中

26、作出函數f(x)在在0,上的圖象上的圖象.【解析解析】(1)(1)因為因為t= =,t= =,所以所以=2,=2,又因為又因為f( )=f( )=且且- - 0,0,所以所以=- .=- .243cos(2)cos()sin422 23(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)= f(x)= 列表列表cos(2x).3描點描點, ,連線連線. .考點三函數考點三函數y=asin(x+)的圖象與性質的綜合應用的圖象與性質的綜合應用【明考點明考點知考法知考法】 函數函數y=asin(x+)的圖象和性質是在高考中必考的的圖象和性質是在高考中必考的內容之一內容之一,試題常以選擇題、填空題形式出現試題常以

27、選擇題、填空題形式出現,考查三角考查三角函數模型的應用、方程根函數模型的應用、方程根(函數零點函數零點)問題問題,以及圖象與性以及圖象與性質的綜合應用等問題質的綜合應用等問題.命題角度命題角度1三角函數模型的應用三角函數模型的應用【典例典例】如圖如圖,某港口一天某港口一天6時到時到18時的水深變化曲線時的水深變化曲線近似滿足函數近似滿足函數y=3sin +k,據此函數可知據此函數可知,這段時這段時間水深間水深(單位單位:m)的最大值為的最大值為 ()a.5b.6c.8d.10(x)6【解析解析】選選c.設水深的最大值為設水深的最大值為m,由題意結合函數圖由題意結合函數圖象可得象可得 解得解得m

28、=8.3kmk32，【狀元筆記狀元筆記】三角函數模型的應用策略三角函數模型的應用策略(1)三角函數模型的應用體現在兩方面三角函數模型的應用體現在兩方面:一是已知函數模一是已知函數模型求解數學問題型求解數學問題;二是把實際問題抽象轉化成數學問題二是把實際問題抽象轉化成數學問題,建立數學模型再利用三角函數的有關知識解決問題建立數學模型再利用三角函數的有關知識解決問題.(2)研究研究y=asin(x+)的性質時可將的性質時可將x+視為一個整視為一個整體體,利用換元法和數形結合思想進行解題利用換元法和數形結合思想進行解題.命題角度命題角度2方程根方程根(函數零點函數零點)問題問題【典例典例】已知關于已

29、知關于x的方程的方程2sin2x- sin 2x+m-1=0在在 上有兩個不同的實數根上有兩個不同的實數根,則則m的取值范圍是的取值范圍是_.30,2【解析解析】方程方程2sin2x- sin 2x+m-1=0m=2sin 要使原方程在要使原方程在 上有兩個不同實根上有兩個不同實根,函數函數 與與y=m在在 上有兩個不同交點上有兩個不同交點,如圖如圖,需滿足需滿足1m2. 答案答案:1m23(2x),60,2y2sin(2x)60,2【狀元筆記狀元筆記】方程根的個數問題可轉化為兩個函數圖象的交點個數問方程根的個數問題可轉化為兩個函數圖象的交點個數問題題.命題角度命題角度3綜合應用問題綜合應用問題【典例典例】已知函數已知函數f(x)=2sin(2x+)(00,0)單調區間的方法單調區間的方法:采用采用“換元換元”法整體代換法整體代換,將將x+看作一個整體看作一個整體,可令可令“z=x+”,即通過求即通過求y=asin z的單調區間而求出函數的單調區間而求出函數的單調區間的單調區間.若若0,則可利用誘導公式先將則可利用誘導公式先將x的系數轉變的系數轉變為正數為正數,再求單調