1、第十二章第十二章 大跨度橋梁的穩定理論大跨度橋梁的穩定理論( (同濟大學博士、碩士研究生課程同濟大學博士、碩士研究生課程) ) 肖肖 汝汝 誠誠 ( (同濟大學橋梁工程系同濟大學橋梁工程系) )極限承載力是從極限承載力是從“極限設計極限設計”的思想中引出的概念。的思想中引出的概念。傳統的傳統的“強度設計強度設計”以構件最大工作應力乘以安全系以構件最大工作應力乘以安全系數等于材料的屈服應力為依據。但是，一般情況下，數等于材料的屈服應力為依據。但是，一般情況下，構件某截面開始屈服并不能代表結構完全破壞，結構構件某截面開始屈服并不能代表結構完全破壞，結構所能承受的荷載通常較構件開始屈服時的荷載為大，

2、所能承受的荷載通常較構件開始屈服時的荷載為大，為了利用這一強度富裕度，為了利用這一強度富裕度，“極限設計極限設計”提出極限荷提出極限荷載的概念，即引起結構完全崩潰的荷載，并將結構的載的概念，即引起結構完全崩潰的荷載，并將結構的工作荷載取為極限荷載的一個固定部分。顯然工作荷載取為極限荷載的一個固定部分。顯然“極限極限設計設計”更具科學性。更具科學性。第二類穩定和極限承載力全過程分析第二類穩定和極限承載力全過程分析橋梁結構的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大橋梁結構的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大能力。分析橋梁結構的極限承載力，不僅可以用于能力。分析橋梁結構的極限承載力，不僅可以用于其極限設計

3、，而且可以了解其結構破壞形式，準確其極限設計，而且可以了解其結構破壞形式，準確地知道它在給定荷載下的安全貯備或超載能力，為地知道它在給定荷載下的安全貯備或超載能力，為其安全施工和營運管理提供依據和保障。其安全施工和營運管理提供依據和保障。全過程分析是用于橋梁結構極限承載力分析的一種全過程分析是用于橋梁結構極限承載力分析的一種計算方法，它通過逐級增加工作荷載集度來考察結計算方法，它通過逐級增加工作荷載集度來考察結構的變形和受力特征，一直計算至結構發生破壞。構的變形和受力特征，一直計算至結構發生破壞。第二類穩定和極限承載力全過程分析第二類穩定和極限承載力全過程分析( (續續) )從力學分析角度看，

4、分析橋梁結構極限承載力的實從力學分析角度看，分析橋梁結構極限承載力的實質就是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性質就是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性的剛度方程，尋找其極限荷載的過程。橋梁結構在的剛度方程，尋找其極限荷載的過程。橋梁結構在不斷增加的外載作用下，結構剛度發生不斷變化，不斷增加的外載作用下，結構剛度發生不斷變化，當外載產生的壓應力或剪應力使得結構切線剛度陣當外載產生的壓應力或剪應力使得結構切線剛度陣趨于奇異時，結構承載能力就到達了極限，此時的趨于奇異時，結構承載能力就到達了極限，此時的外荷載即為極限荷載。因此，從理論上講，用我們外荷載即為極限荷載。因此，從理論上講，用我們前

5、面學過的知識就能完成橋梁結構的極限承載力分前面學過的知識就能完成橋梁結構的極限承載力分析。但在具體實施時，尚有兩方面問題值得討論。析。但在具體實施時，尚有兩方面問題值得討論。第二類穩定和極限承載力全過程分析第二類穩定和極限承載力全過程分析( (續續) )一般結構的結構剛度陣在一般結構的結構剛度陣在p-p- 曲線上升段是正定的，在曲線上升段是正定的，在下降段為負定的。進行下降段為負定的。進行“全過程全過程”分析過程中，當荷分析過程中，當荷載接近極限值時，很小的荷載增量都會引起很大的位載接近極限值時，很小的荷載增量都會引起很大的位移，可能還未找到極限荷載就出現了求解失效現象。移，可能還未找到極限荷

6、載就出現了求解失效現象。為了找到真實的極限荷載，克服下降段的不穩定現象為了找到真實的極限荷載，克服下降段的不穩定現象，各國學者提出了許多算法，下面就常用的兩種方法，各國學者提出了許多算法，下面就常用的兩種方法作一介紹。作一介紹。第二類穩定和極限承載力全過程分析第二類穩定和極限承載力全過程分析( (續續) )非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題1)1)逐步搜索法逐步搜索法 對于只要求出極值荷載，而對對于只要求出極值荷載，而對P-P- 下降段不感趣下降段不感趣的情況，可采用逐步搜索頂點的算法。其基本思想的情況，可采用逐步搜索頂點的算法。其基本思想是：是：加一荷載增量加一荷載增量 P P，計算發

7、散后，退回上級荷載，計算發散后，退回上級荷載狀態并改用荷載步長狀態并改用荷載步長 P/2P/2，若計算收斂，則再加一，若計算收斂，則再加一級荷載為級荷載為 P/4P/4。若加。若加 P/4P/4后計算發散，則再改用荷后計算發散，則再改用荷載步載步 長為長為 P/8P/8。如此搜索，若原步長。如此搜索，若原步長 P P預計為預計為5%5%的的破壞荷載，則破壞荷載，則 P/4P/4已接近已接近1%1%的極限荷載，對橋梁結的極限荷載，對橋梁結構來說，已可滿足精度要求。當然還可向前再搜索構來說，已可滿足精度要求。當然還可向前再搜索一步到一步到 P/8P/8。非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題(

8、(續續) )2)2)位移控制法位移控制法 如果在分析過程中不是控制荷載增量而是控制位如果在分析過程中不是控制荷載增量而是控制位移增量，則移增量，則P-P- 曲線的下降段部分便不難求得。曲線的下降段部分便不難求得。 對于一般結構，我們可將剛度矩陣重新排列，使對于一般結構，我們可將剛度矩陣重新排列，使得要控制的位移得要控制的位移( (例如例如= = u u2 2) )排到最后一項，同時將排到最后一項，同時將原剛度矩陣分塊，其有限元方程變為：原剛度矩陣分塊，其有限元方程變為： 非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題( (續續) )KKKKuuPPRR11122122121212式中：式中：PP1

9、1P P2 2 T T 參考荷載向量；參考荷載向量； 控制荷載的步長系數；控制荷載的步長系數； RR1 1R R2 2 T T 求解迭代過程中的不平衡力向量求解迭代過程中的不平衡力向量。 (12-88)(12-88) 改寫方程改寫方程(12-88)(12-88)為：為：非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題( (續續) )(12-89)(12-89) KPKPuRRKKu11121211212222 這樣，求解方程時可控制指定的值，求出相應的位移這樣，求解方程時可控制指定的值，求出相應的位移 u u1 1及荷及荷載增量比例因子載增量比例因子。由于。由于K Kijij與位移有關，求解時需要迭代

10、，使與位移有關，求解時需要迭代，使得得RR1 1R R2 2 T T值趨于零，以滿足精度要求。值趨于零，以滿足精度要求。 需要指出，方程需要指出，方程(12-89)(12-89)中的系數矩陣中的系數矩陣 是不對稱，是不對稱，也不呈帶狀，求解時需要的存儲單元較多，這是該方法的一大也不呈帶狀，求解時需要的存儲單元較多，這是該方法的一大缺點。缺點。 計算中還可以用強制迭代法、強化剛度法、弧長法等方法來計算中還可以用強制迭代法、強化剛度法、弧長法等方法來克服下降段的不穩定現象，限于篇幅，本書不再贅述。克服下降段的不穩定現象，限于篇幅，本書不再贅述。 KPKP111212單元模式與破壞形態的選取單元模式

11、與破壞形態的選取 首先首先介紹用于極限承載力分析的單元模式選取。介紹用于極限承載力分析的單元模式選取。橋梁結構分析以梁單元為主，用于極限承載力分析橋梁結構分析以梁單元為主，用于極限承載力分析的梁單元模式主要有三種，的梁單元模式主要有三種，一種是帶有塑性鉸的一一種是帶有塑性鉸的一般梁單元；般梁單元；一種是不分層的等參梁單元；常常沿梁一種是不分層的等參梁單元；常常沿梁軸向和橫截面上取一定數量的高斯點來反映梁元上軸向和橫截面上取一定數量的高斯點來反映梁元上不同點的應力、應變情況，單元剛度陣通過這些點不同點的應力、應變情況，單元剛度陣通過這些點的高斯積分來形成。這兩種單元模式只適用于規則的高斯積分來形

12、成。這兩種單元模式只適用于規則同材質的截面形式，因此，其應用受到限制。同材質的截面形式，因此，其應用受到限制。還有還有一種為上節介紹的分層梁元，一種為上節介紹的分層梁元，它可以克服前面的缺它可以克服前面的缺點，但輸入數據和計算過程都較復雜，讀者應根據點，但輸入數據和計算過程都較復雜，讀者應根據實際情況選用。實際情況選用。單元模式與破壞形態的選取單元模式與破壞形態的選取( (續續) ) 其次其次介紹破壞形態的模擬問題。當某個高斯點處介紹破壞形態的模擬問題。當某個高斯點處出 現 裂 縫 時 ， 其 應 力 釋 放 的 計 算 比 較 麻 煩 。出 現 裂 縫 時 ， 其 應 力 釋 放 的 計 算

13、 比 較 麻 煩 。DR.J.OwerDR.J.Ower和和E.HintonE.Hinton通過將梁單元取短，并假定單通過將梁單元取短，并假定單元內應力、應變沿軸向不變，即沿梁軸向僅取一個元內應力、應變沿軸向不變，即沿梁軸向僅取一個高斯點的方法來解決這一問題，這樣，梁元剛度陣高斯點的方法來解決這一問題，這樣，梁元剛度陣可寫成顯式，一當出現裂縫，梁元便可退出工作。可寫成顯式，一當出現裂縫，梁元便可退出工作。由此帶來的求解規模的增加，可以通過試探法來解由此帶來的求解規模的增加，可以通過試探法來解決，即先對結構進行一次預分析，找出可能出現塑決，即先對結構進行一次預分析，找出可能出現塑性區或開裂的部位

14、，對構件加密后再作極限承載力性區或開裂的部位，對構件加密后再作極限承載力分析。分析。單元模式與破壞形態的選取單元模式與破壞形態的選取( (續續) ) 相比之下，塑性鉸法雖然精度差一些，但處理上相比之下，塑性鉸法雖然精度差一些，但處理上述兩個問題十分方便。下面以塑性鉸法為例，說明述兩個問題十分方便。下面以塑性鉸法為例，說明橋梁結構的極限承載力計算步驟：橋梁結構的極限承載力計算步驟： 1)1)確定成橋狀態的內力與構形；確定成橋狀態的內力與構形； 2)2)以成橋狀態為初態，用單位計算荷載向量以成橋狀態為初態，用單位計算荷載向量pp進進行結構分析。根據計算結果和極限彎矩，估算第一行結構分析。根據計算結

15、果和極限彎矩，估算第一個塑性鉸出現時的荷載增量倍數個塑性鉸出現時的荷載增量倍數 1 1； 3) 3) 以以 P P1 1 1pp作用于結構，按全非線性進作用于結構，按全非線性進行結構分析，迭代形成第一個塑性鉸和實際的荷載行結構分析，迭代形成第一個塑性鉸和實際的荷載增量倍數增量倍數 1 1； 單元模式與破壞形態的選取單元模式與破壞形態的選取( (續續) ) 4)4)檢驗結構是否成為機構，若是，給出極限荷載，檢驗結構是否成為機構，若是，給出極限荷載，計算結束。否則，估算出現下一個塑性塑性鉸時的荷計算結束。否則，估算出現下一個塑性塑性鉸時的荷載增量倍數載增量倍數 i i； 5)5)以上次計算結束時的

16、結構狀態為初態，以以上次計算結束時的結構狀態為初態，以 P Pi i i pp作用于結構，按全非線性進行結構分析，迭作用于結構，按全非線性進行結構分析，迭代形成第代形成第i i個塑性鉸和實際的荷載增量倍數個塑性鉸和實際的荷載增量倍數 i i； 6)6)重復重復4)4)5)5)的計算，直至第的計算，直至第n n個塑性鉸出現時結個塑性鉸出現時結構成為機構。此時，結構的極限荷載為構成為機構。此時，結構的極限荷載為: : Pppiin1(12-90)(12-90) 5.3 5.3 穩定分析與極限承載力計算的關系穩定分析與極限承載力計算的關系H共同點在于兩者都是計算橋梁結構達到某種失效狀態共同點在于兩者

17、都是計算橋梁結構達到某種失效狀態時的最大荷載，時的最大荷載，在特定情況下，兩者是一致的在特定情況下，兩者是一致的，因此，因此許多學者將兩者混為一談。許多學者將兩者混為一談。H結構出現失穩并不一定完全破壞；在極限承載力作用結構出現失穩并不一定完全破壞；在極限承載力作用下，結構也不一定失穩。因此，下，結構也不一定失穩。因此，臨界荷載與極限承載臨界荷載與極限承載力一般情況下是不同的。力一般情況下是不同的。H由于定義由于定義兩種結構失效的狀態不同兩種結構失效的狀態不同。因此，研究這兩。因此，研究這兩個問題的方法也有區別。個問題的方法也有區別。 本章首先介紹了橋梁結構穩定問題的分類及穩定理本章首先介紹了

18、橋梁結構穩定問題的分類及穩定理論的的發展歷程。論的的發展歷程。 根據穩定與平衡的關系，建立了求解第一類穩定問根據穩定與平衡的關系，建立了求解第一類穩定問題的控制方程，并介紹了橋梁結構第一類穩定問題的題的控制方程，并介紹了橋梁結構第一類穩定問題的求解方法。求解方法。 通過討論圓弧拱穩定問題的解析解，給出了計算拱通過討論圓弧拱穩定問題的解析解，給出了計算拱橋穩定和考慮非保向力效應的實用方法。橋穩定和考慮非保向力效應的實用方法。 通過討論材料非線性問題，引出了橋梁極限承載力通過討論材料非線性問題，引出了橋梁極限承載力及其全過程分析問題，指出只有通過對結構幾何非線及其全過程分析問題，指出只有通過對結構幾何非線性關系以及材料非線性本構關系的研究，才能深入揭性關