1、優秀學習資料歡迎下載高中數學高考綜合復習專題二十二拋物線一、學問網絡二、高考考點1. 拋物線定義的應用；2. 拋物線的標準方程及其幾何性質；焦點、準線方程；3. 拋物線的焦點弦引出的問題；4. 直線與拋物線相交（或相切）引出的求法或范疇問題；5. 拋物線與三角形（或四邊形）問題；三、學問要點（一）定義與推論1. 定義：平面內與一個定點f 和一條定直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.定點 f 叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.這肯定義為拋物線上任意一點m 的焦點半徑與水平線段（或垂直線段）的等價轉換奠定理論基礎.2. 推論：拋物線的焦點半徑公式設為拋物線上任意一點，就優秀學習資料歡

2、迎下載設為拋物線上任意一點，就其它情形從略；（二）標準方程與幾何性質1. 標準方程設拋物線的焦點f 到準線l 的距離為p（焦參數），就在特定直角坐標系下導出拋物線的標準方程：認知：上述標準方程中的一次項的功能：一次項本身打算拋物線的外形與位置.其中，一次項所含變元對應的數軸為對稱軸（焦點所在數軸）；一次項系數的符號打算焦點所在半軸（或開口方向） ：系數為正， 焦點在相應的正半軸上（或開口朝著對稱軸正向），反之，焦點在負半軸上（或開口朝著對稱軸負向）；一次項系數的肯定值打算拋物線開口大小（外形）：恰等于焦點參數的2 倍 .2. 幾何性質對于拋物線（ 1）范疇：這條拋物線在y 軸右側，且向右上方和

3、右下方無限延長；（ 2）對稱性：關于x 軸對稱軸為這條拋物線的軸.認知：拋物線的準線與其對稱軸垂直（拋物線主要共性之一）（ 3）頂點：原點o（ 0， 0）（拋物線方程為標準方程的必要條件之一）（ 4）離心率：（拋物線主要共性之二）（三）挖掘與引申1. 拋物線方程的統一形式（ 1）頂點在原點，以x 軸為對稱軸的拋物線方程為，其焦點參數（一次項系數肯定值的一半）；焦點，準線；頂點在原點，以y 軸為對稱軸的拋物線方程為優秀學習資料歡迎下載，其焦點參數（一次項系數肯定值的一半）；焦點，準線；（ 2）頂點在，對稱軸垂直y 軸的拋物線方程為：，其焦點參數；頂點在，對稱軸垂直x 軸的拋物線方程為：，其焦點參

4、數；2. 拋物線的焦點弦設且 pq 為拋物線的一條經過焦點的弦.（ 1）弦端點同名坐標的關系（課本p119 ）（推導上述命題的副產品：，其中k 為直線 pq 的斜率）（ 2）焦點弦長公式（）（課本 p118 例 3 引申）；（）設直線pq 的傾斜角為，就故有：（ 3）的面積公式：；優秀學習資料歡迎下載（ 4）焦點半徑與的關系（定值）（ 5）平行與垂直關系的其它定值結論請讀者通過課本習題去認知：p123 6， p133 2；（四）直線與拋物線直線與拋物線的位置關系，理論上由直線方程與拋物線方程的聯立方程組實解的情形來確定，實踐中往往歸納為對相關一元二次方程的判別式的考察：直線與拋物線交于不同兩點

5、直線與拋物線交于一點（相切）或直線平行于拋物線的對稱軸；直線與拋物線不相交四、拋物線經典例題例 1 、（ 1）拋物線的焦點坐標為；（ 2）已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，拋物線上的點到焦點f 的距離為5，就拋物線方程為；（ 3）經過拋物線的對稱軸上一點作直線 l 與拋物線交于a、b 兩點，如a 點縱坐標為，就 b 點縱坐標為.分析：（ 1）將拋物線方程化為標準方程切入當時，拋物線標準方程為，此時，焦參數，焦點；當時，拋物線標準方程為，此時，焦參數，焦點；綜上可知，不論a 的正負如何，總有焦點坐標為.優秀學習資料歡迎下載（ 2）這里.留意到焦點半徑在不同標準方程下的不同形式，運用拋物線標準

6、方程的統一形式也不能躲開爭論，故而爽直地從標準方程的爭論入手；留意到點a 在 x 軸下方，因此，（）當拋物線焦點在x 軸正半軸上時，設拋物線方程為，就又點 a 在拋物線上，就由，得：或由得：p=9 或 p=1拋物線方程為：或（）當拋物線焦點在x 軸負半軸上時，設拋物線方程為，就，且仿（）解得p=1 或 p=9拋物線方程為或（）當拋物線焦點在y 軸負半軸上時，設拋物線方程為，就， p=4此時拋物線方程為于是綜合（）、（）、（）拋物線方程為或或.（ 3）為推導出其一般性的結論，我們將所給問題定義升級經過拋物線的對稱軸上肯定點作拋物線的弦ab ，如設，查找點 a 、b 的同名坐標之間的聯系；設弦 a

7、b 所直線方程為由與聯立，消去x ：優秀學習資料歡迎下載（）應用上述結論，當a=p，時，由得b 的縱坐標為 4p例 2 、已知拋物線，點 a2,3 ，f 為焦點，如拋物線上的動點到a 、f 的距離之和的最小值為，求拋物線方程.分析：在解析幾何中，關于到兩個定點的距離之和的最小值（或距離之差的最大值）問題，運用純代數方法解，導致復雜運算，因而常運用幾何方法與相關曲線的定義；解：留意到拋物線開口大小的不確定性（ 1）當點a 和焦點 f 在拋物線的異側時，由三角形性質得，解得 p=2 或 p=6 ；留意到p=6 時，拋物線方程為，此時如x=2 ，就，與點a 所在區域不符合；當p=2 時，拋物線方程為

8、， 當 x=2 時，符合此時的情形；（ 2）當點a 和焦點 f 在拋物線的同側時（如圖），作mn 準線l 于 點 n ，得，解得易驗證拋物線符合此時情形；于是綜合（1）、（ 2）得所求拋物線方程為或.優秀學習資料歡迎下載點評：求解此題有兩大誤區：一是不以點a 所在的不同區域分情形爭論，二是在由（1）（或（ 2）導出拋物線方程后不進行檢驗；事實上，在這里不論是a 在什么位置，總得成立，此題進行的檢驗是必要的.例 3、 經過拋物線的焦點作弦ab.（ 1）如弦ab 被焦點f 分成的線段之比為3：1；求該弦所在直線的方程；（ 2）求證：直線ab 不會是這條拋物線任意一條弦cd 的垂直平分線.分析：對于

9、比較復雜的拋物線的焦點問題，常采納對交點坐標“設而不解 ”的策略 .解：（ 1）設由題意知直線ab 的斜率存在且不為0，設直線ab 方程為將代入消去 x 得：由韋達定理得：又由題意得（或）由得：將代入解得：所求直線方程為：或.（ 2）證明：由題意拋物線焦點，準線；假設直線ab 為弦 cd 的垂直平分線.就留意到c， d 兩點在拋物線上過 c， d 分別作于 g，于 h就又有優秀學習資料歡迎下載由、知，即四邊形cdhg 為矩形軸軸這與直線ab 與拋物線有兩個交點沖突；于是可知，直線ab 不是弦cd 的垂直平分線；點評：（） 本例（ 1）的求解特色， 一是利用三角形相像轉化已知條件；弦 ab 被焦

10、點 f 分成的線段比為3：1（或）；二是以為基礎構造并查找出和的關系式，從而為利用式制造了條件.（）對于（2）等否定性命題，經常用反證法證明.請大家在解題過程中留意領悟和感悟反證法的思路與策略.例 4、 如圖，已知拋物線的焦點為f ，直線 l 過定點a4,0 ，且交拋物線于p、q 兩點；（ 1）如以pq 為直徑的圓經過原點，求p 的值；（ 2）在（ 1）的條件下，如，求動點r 的軌跡方程；分析： 留意到直線l 過定點 a4,0 ，引入新參數k，故考慮對p、q 坐標 “既設又解 ”；解：（ 1）當直線l 不垂直于x 軸時，設直線l 的方程為把代入拋物線方程得由題意：恒成立且由題設得優秀學習資料歡

11、迎下載、代入得：此時p=2當直線l 垂直于 x 軸時，直線l 的方程為x=4 ，將 x=4 代入拋物線方程得：.由得此時亦p=2于是綜合以上爭論得p=2.（ 2）解法一（既設又解）：設動點r 坐標為（ x,y ），由（ 1）知 p=2， f1,0由得：由、得：由、消去參數得：當直線l 垂直于 x 軸時，有，從而點滿意因此，所求動點r 的軌跡方程為.解法二（設而不解）：由（1）所設.得：又兩式組合得：，即當時得：留意到得 四邊形prqf 為平行四邊形.線段pq 與 fr 相互平分設 fr 中點為m ，由得優秀學習資料歡迎下載再留意到p、q、m 、a 四點共線由、得：而當時，適合式于是可知，所求動

12、點r 的軌跡方程為.點評：對于（2）解法一 “既設又解 ”的思路，過程簡略，不需認知條件幾何意義，便可導出動點r的條件，的幾何意義以及p、q、m 、a 四點共線的特別性質，解題具有較高的技術含量；例 5、 直線 l 與拋物線交于 a 、b 兩點， o 為原點，且有.（ 1）求證：直線l 恒過肯定點；（ 2）如，求直線l 的斜率的取值范疇.（ 3）設拋物線焦點為f，試問：角能否等于？如能，求出相應的直線l 的方程；如不能，試說明理由；分析： 鑒于問題的復雜性，考慮對a 、b 坐標 “既設又解 ”，留意到大前提有三個小題，故從大前提的認知與延長切入.解：（ 1）設，就有由得留意到這里，由得：，故由

13、得，（）當直線l 與 x 軸不垂直時，設其方程為，優秀學習資料歡迎下載將其與拋物線方程聯立，消去x 得：由題意：且由，得：直線l 的方程為，可見直線l 過定點 2,0 ；（）當軸時可得，直線 l 方程為，亦過定點 2,0 ；綜上可得，直線l 恒過定點 2,0 ；（ 2）由（ 1）得：由得：所求k 的取值范疇為（ 3）設，就有又而由拋物線定義知：優秀學習資料，歡迎下載將，代入解得：，這與且沖突；并留意到當軸時，綜上可知，；點評：如直線與拋物線交于不同兩點a 、b ，且，就弦 ab 具有與焦點弦相像的性質：（）弦端點同名坐標之積為定值：（）直線ab 經過拋物線的軸上肯定點.例 6、已知拋物線.設

14、ab 是拋物線上不重合的兩個任意點，且，（ o為坐標原點）（ 1）如，求點 m 的坐標；（ 2）試求動點m 的軌跡方程；分析：留意到這里解題頭緒的繁多，故考慮對a 、b 坐標 “既設又解 ”或“解而不設 ”，以 “求解 ”來化解解題的難度；解：設，就且.由得解法一（既設又解）：由得又優秀學習資料歡迎下載故得由、得（或）于是再由已知條件得此時點m 坐標為4p,0.（ 2）設動點mx,y，就由得又由得：由、得：整理得：所求動點m 的軌跡方程為.解法二（對a 、b 坐標解而不設）：由題意，設直線oa 的方程為，就直線ob：.設 mx,y ，得由解得優秀學習資料歡迎下載由解得由得（ 1）由得：當，即時

15、或時，均由得點；（ 2）留意到，由得消去參數k ，得即所求動點m 的軌跡方程為.點評：（ 1）此題已知條件：，四邊形 oamb為矩形 .（ 2）對解法一、解法二進行比較：（）對交點坐標“解而不設 ”思路簡捷，過程明朗，通俗易懂；因此，當直線方程或曲線方程比較簡潔時，要留意適時運用這一策略；（）細細品嘗，解法一中對a 、b 坐標的 “既設又解 ”，與前面解決直線與橢圓（或雙曲線）相交問題時，對交點坐標的 “只設不解 ”有著明顯不同；其中， 前面解決直線與橢圓（或雙曲線或拋物線）相交問題時， 設出交點坐標之后，解“直線方程與曲線方程聯立的方程組”，解題中途運用韋達定理；而此題中設出a 、b 坐標之

16、后，解的是“關于所設交點坐標的 等式所成的方程組”，而且是一解究竟，直到解出所設交點坐標，前后的“既設又解 ”，一樣說法，兩種風情，其中的區分與緣由，需要我們細細品嘗；優秀學習資料歡迎下載五、高考真題（一）挑選題（ 1）（ 2005·全國卷） 已知雙曲線（）的一條準線與拋物線的準線重合，就該雙曲線的離心率為（）a.b.c.d.分析：拋物線對于雙曲線有：的準線為由，得：由得于是：，應選d.（ 2）（ 2004·全國卷）的斜率的取值范疇為（設拋物線）的準線與x 軸交于點q，如過點q 的直線l 與拋物線有公共點，就直線la.b. -2 ， 2c. -1 ， 1d. -4 ， 4分

17、析：拋物線的準線方程為點 q 坐標為（ -2， 0）由題意，設直線l 的方程為代入得：可知， k=0 符合已知條件；當時，由得由，得應選 c.優秀學習資料歡迎下載（ 3）（ 2005·上海卷） 過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于a 、b 兩點，它們的橫坐標之和等于5，就這樣的直線（）a. 有且只有一條b. 有且只有兩條c.有無窮多條d. 不存在分析：拋物線的焦點f（ 1， 0） .如直線軸，就 a 、b 橫坐標之和等于2，與題意不合，故ab 不垂直于x 軸，于是由拋物線關于x 軸的對稱性知，這樣的直線有兩條，應選b.（二）解答題1. （ 2005·全國卷） 設兩點在拋物線

18、上， l 是 ab 的垂直平分線.（ 1）當且僅當取何值時，直線l 經過拋物線的焦點f？證明你的結論；（ 2）當直線l 的斜率為2 時，求 l 在 y 軸上截距的取值范疇.分析：從線段ab 的垂直平分線的性質切入（ 1）直線l 經過 f又 l 為弦 ab 的垂線平分線，問題由此可以突破（ 2）以 a 、 b 關于直線l 對稱的條件突破難點；解：（ 1）拋物線焦點即，優秀學習資料歡迎下載即當且僅當時，直線l 經過拋物線的焦點f.（ 2）設直線l 在 y 軸上的截距為b，就直線l 的方程為可設直線ab 的方程為代入得：由題意得：且又設弦ab 的中點為，解得：，即：留意到， 由得：由得：即直線l 在

19、 y 軸上的截距的取值范疇為優秀學習資料歡迎下載點評：利用解出的范疇，再利用直線l 經過弦 ab 的中點導出b 與 m 的關系式，就由導出b 的取值范疇便呼之欲出了；2.（ 2005·天津卷） 拋物線 c 的方程為，過拋物線c 上一點作斜率為的兩條直線分別交拋物線c 于兩點（ p、a、b 三點互不相同） ，且滿意（，且）.（ 1）求拋物線c 的焦點坐標和準線方程；（ 2）設直線ab 上一點 m ，滿意，證明：線段pm 的中點在y 軸上；（ 3）當時，如點p 坐標為（ 1， -1 ），求為鈍角時，點a 的縱坐標的取值范疇.分析：（）對于（2），為采納向量的坐標公式，通過直線方程去求解或

20、表示點a 、b 坐標；因此，解（2）由寫出斜率為 的直線方程切入，從求解a 、b 坐標突破（對a 、b 坐標既設又解）；（）對于（ 3），為鈍角，故仍從推導a 、b 以及入手.解：（ 1）拋物線方程這里的焦點參數，焦點坐標為，準線方程為（ 2）由題設知直線的方程為與拋物線方程聯立解得當時，優秀學習資料歡迎下載，同理，設點 m 坐標為，就由以及、得又，即線段pm 的中點在y 軸上 .（ 3）當時，由點 p（ 1， -1 ）在拋物線上得.由（ 2）得，留意到為鈍角而，當時，從而；當時，從而于是綜合、得所求的取值范疇為點評：對于此題而言，第（2）小題的處理至關重要，在這里，利用點p 坐標和斜率，第一

21、建立起直線的方程，而后與拋物線方程聯立，導出與的關系式，就獲知與的關系式，便一蹴而就，于是再利用題優秀學習資料歡迎下載設條件推導點m 的橫坐標與的關系便有八分勝算了；3.（ 2005·廣東卷） 在平面直線坐標系中，拋物線上異于坐標原點o 的不同兩點 a 、b 滿意（如圖）（ 1）求的重心 g 的軌跡方程；（ 2）的面積是否存在最小值？如存在，懇求出最小值；如不存在，請說明理由.分析：留意到拋物線方程的簡潔以及重心公式的結構，簡潔第一對a 、b 坐標 “設而不解 ”；其次是“解而不設 ”其.實，如留意到的表達式，就“解而不設 ”會更勝一籌；解：（ 1）設直線oa 的方程為，將其與拋物線

22、方程聯立，解得又由，設直線ob 的方程為，同懂得得設的重心為，就由三角形重心坐標公式（推導從略）得留意到，由，消去參數得即所求的重心 g 的軌跡方程為（ 2）設的面積為s，由得優秀學習資料歡迎下載當且僅當時取等號 .（當且僅當時取得）的面積存在最小值，且最小值為1.點評：對有關直線與曲線的交點“解而不設 ”，使解題的脈胳清楚，前途明朗，解題的技術含量較低；因此，對于方程簡潔的拋物線與直線相交問題，應留意適時的運用這一策略；4. （ 2005·江 西 卷 ） 如圖 ，設 拋物 線的焦點為f ， 動點p在直 線上運動，過點p 作拋物線c 的兩條切線pa 、pb ，且與拋物線c 分別相切于

23、 a 、b 兩點 .（ 1）求的重心g 的軌跡方程；（ 2）證明：分析：留意到這里的pa 、pb 為切線，并且拋物線方程簡潔，故考慮對a 、b 坐標 “設而不解 ”；對于（ 2），由于（1）中已經 設出并表示出a 、b 、p 的坐標，故首選以證明兩角的余弦值相等突破；解：（ 1）設切點由得：切線pa 的方程為切線 pb 的方程為由，聯立解得點p 坐標；設的重心坐標為，優秀學習資料歡迎下載解得：即留意到點p 在直線l 上，代入得：，即：所求的重心 g 的軌跡方程為.（ 2）由（ 1）知，又，且，優秀學習資料歡迎下載點評：在此證明習題的過程中，將有關點的坐標或向量的坐標分別代入目標式兩邊，乃是為了

24、在變形之后暴露出左右兩邊的相同之處；因此，當目標式兩邊中有同一量時，可考慮臨時保持這一量不變，而領先變化其余部分；“保留相同部分，變形不同部分”，這是用運算的方法證明等式成立的基本技巧；請同學們在上述解答中品悟這一技巧的應用；5. （ 2005·山東卷） 已知動圓過定點且與直線相切，其中p>0.（ 1）求動圓圓心的軌跡c 的方程；（ 2）設 a、 b 是軌跡 c 上異于原點o 的兩個不同點，直線oa 和 ob 的傾斜角分別為和 ，當 、變化且+為定值時，證明：直線ab 恒過定點，并求出該定點的坐標；分析：（ 1）定點，直線，得由直線與圓相切的充要條件知，動圓圓心m 到定直線l 的距離等于圓的半徑，據此，可運用“直接法 ”，也可運用 “定義法 ”求動圓圓心軌跡方程；（ 2）留意到這里最終須寫出直線ab 的方程，又直線oa 、ob 的方程易求，從而a 、b 坐標易解，故可優先挑選對點 a 、 b 的坐標“解而不設 ”；解：（ 1）設動圓圓心，定點，由動點m 到定點 f 和定直線l