1、2.3 數學歸納法數學歸納法課題引入課題引入不完全歸不完全歸納法納法,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知觀觀察察數數列列,212 a,313 a,414 anan1: 猜想歸納通項公式猜想歸納通項公式對于某類事物，由它的一些特殊事對于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般例或其全部可能情況，歸納出一般結論的推理方法，叫歸納法。結論的推理方法，叫歸納法。歸納法歸納法 完全歸納法完全歸納法不完全歸納法不完全歸納法由特殊由特殊 一般一般 特點特點:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何證明如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nn*

2、)費馬費馬（fermat）是）是1717世紀法國著名的數學世紀法國著名的數學家，他曾認為，當家，他曾認為，當n nn n時，時， 一定都是一定都是質數，這是他觀察當質數，這是他觀察當n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4時時的值都是質數，提出猜想得到的半個世的值都是質數，提出猜想得到的半個世紀后，紀后，1818世紀偉大的瑞士科學家歐拉世紀偉大的瑞士科學家歐拉（euler）發現）發現 4 294 967 2974 294 967 29767004176700417641641，從而否定了費馬的推，從而否定了費馬的推測沒想到當測沒想到當n n5 5這一結論便不成立這一結論便不成立 122n1

3、252舉例說明舉例說明：一個數列的通項公式是：一個數列的通項公式是：an= (n25n+5)2請算出請算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜測猜測an?由于由于a525 1，所以猜測是不正確的，所以猜測是不正確的所以由歸納法得到的結論所以由歸納法得到的結論不一定可靠不一定可靠 1111猜測是否正確呢？猜測是否正確呢？1) 55(22nnannn，都有對一切思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒思考：這個游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？下的條件是什么？多米諾骨牌（多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨）是一種用木制、骨制或制或塑料塑料制成的長方形制成的長方形骨牌骨牌。玩時

4、將骨牌。玩時將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次牌，其余的骨牌就會產生連鎖反應，依次倒下。倒下。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。多米諾是一項集動手、動腦于一體的運動。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志一張張擺下去，它不僅考驗參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養參與者的智力、想象力和創造力。力，而且還培養參與者的智力、想象力和創造力。多米諾是種文化。它起源于多米諾是種文化。它起源于中國中國，有著上千年的

5、歷史。，有著上千年的歷史。 只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨只要滿足以下兩個條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：牌就能全部倒下： （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。一定導致后一塊倒下。 （依據）（依據） 條件（條件（2）事實上給出了一個遞推關系：當）事實上給出了一個遞推關系：當第第k塊倒下時，相鄰的第塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。思考思考：你認為證明數列的通項公式：你認為證明數列的通項公式 是是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？能類比多米諾骨牌游

6、戲解決這個問題嗎？nan1 （1）第一塊骨牌倒下）第一塊骨牌倒下；（基礎）,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知觀觀察察數數列列二、數學歸納法的概念：二、數學歸納法的概念：證明某些與自然數有關的數學題證明某些與自然數有關的數學題, ,可用下列方法可用下列方法來證明它們的正確性來證明它們的正確性: :(1)(1)驗證驗證當當n n取第一個值取第一個值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)時命題成立時命題成立, ,(2)(2)假設假設當當n=k(kn=k(k n n* * ，k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題

7、也成立完成這兩步，就可以斷定這個命題對從完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數有正整數n n都成立。這種證明方法叫做都成立。這種證明方法叫做數學歸納法。數學歸納法。驗證驗證n=nn=n0 0時命時命題成立題成立若若當當n=k(n=k(k k n n0 0 ) )時命題成立時命題成立, , 證明當證明當n=k+1n=k+1時命題也成立時命題也成立命題對從命題對從n n0 0開始的所開始的所有正整數有正整數n n都成立。都成立。111111證明：證明：1）當n =1式，a = a +(1-1)d = a ,結論成立1）當n =1式，a = a +(1-1)d = a

8、 ,結論成立k1k1k+1kk+1kk+11k+111111n1n12)假設n = k式結論成立，即a = a +(k-1)d2)假設n = k式結論成立，即a = a +(k-1)d a= a +d a= a +d a= a +(k-1)d+da= a +(k-1)d+d = a +kd = a +(k+1)-1d = a +kd = a +(k+1)-1d 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立. 綜合1）、2）知a = a +(n-1)d成立.所以所以n=k+1時結論也成立時結論也成立那么那么nn1例：已知數列a 為等差，公差為d, :通項公式為a =a +(n-1)d求證求證n

9、n-1n1已知數列a 為等為q,求證:通項：公式為a = a qn nn n- -1 1練練習習比比數數列列，公公比比（提提示示：a a = = q qa a）注意注意 1.1. 用數學歸納法進行證明時用數學歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據是遞推的依據n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公

10、式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明證明：證明：當當n=1n=1時，左邊時，左邊=1=1，右邊，右邊=1=1，等式成立。，等式成立。 假設假設n=k(kn ,k1)n=k(kn ,k1)時等式成立時等式成立, ,即：即： 1+3+5+(2k-1)=k1+3+5+(2k-1)=k2 2， 當當n=k+1n=k+1時：時： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以當所以當n=k+1n=k+1時等式也成立。時等式也成立。 由由和和可知，對可知，對nn nn ，原等式都成

11、立。，原等式都成立。例、用數學歸納法證明例、用數學歸納法證明1+3+5+(2n-1)=n1+3+5+(2n-1)=n2 2 （nn nn ）. . 請問：請問：第第步中步中“當當n=k+1n=k+1時時”的證明可否改換為：的證明可否改換為：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?為什么？為什么？（k+1)1+(2k+1)2例例:用數學歸納法證明用數學歸納法證明2 22 22 22 2n n( (n n+ +1 1) )

12、( (2 2n n+ +1 1) )1 1 + +2 2 + +3 3 + + +n n = =6 6注意注意 1.1. 用數學歸納法進行證明時用數學歸納法進行證明時, ,要分兩個要分兩個步驟步驟, ,兩個步驟缺一不可兩個步驟缺一不可. .2 (1)(1)(歸納奠基歸納奠基) )是遞推的基礎是遞推的基礎. . 找準找準n n0 0(2)(2)(歸納遞推歸納遞推) )是遞推的依據是遞推的依據n nk k時時命題成立作為必用的條件運用，而命題成立作為必用的條件運用，而n nk+1k+1時情況則有待時情況則有待利用假設利用假設及已知的定義、公式、及已知的定義、公式、定理等加以證明定理等加以證明例、求

13、證例、求證: :( (n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)證明：證明： n=1 n=1時：左邊時：左邊=1+1=2=1+1=2，右邊，右邊=2=21 11=21=2，左邊，左邊= =右邊，等右邊，等 式成立。式成立。 假設當假設當n=k(kn n=k(kn ）時有：）時有： (k+1)(k+2)(k+k)=2(k+1)(k+2)(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 當當n=k+1n=k+1時：時： 左邊左邊=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2