1、英國小學數學畢業測試中空間觀念試題的分析 張麟 唐彩斌空間觀念是義務教育數學課程標準（2011版）中提到的十個核心詞之一，所謂空間觀念，主要是根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。怎么來評價學生的空間觀念，一直是擺在我們面前迫切需要解決的問題。在國內的小學測試卷中我們經常會看到這樣一道題目：如下圖所示，在正方體木塊的6個面上分別刻有不同的點數，其中按箭頭方向翻動木塊，當翻到E格時，向上的面的點數是（ ）。（填數字）可能有老師會認為這是一道好題，學生要經歷充分的空間想象才能解決這個問題

2、，達到了測查空間觀念的目的。其實并不然，很多學生拿到這道題目根本想都不去想，直接拿起一塊橡皮，將數字標在相應的面上，然后按圖示翻轉一下，便填上了答案（甚至有的老師平時就是這樣教的）。可想而知，這樣的解決過程學生是沒有經歷空間想象的，違背了題目的本意，沒有達到測查空間觀念的目的。當然不能怪學生和老師，只能反思我們這樣的題目是否很科學，卷面測試中如何測查空間觀念？怎樣的題目是合適的、是科學的？這些問題或許我們可以從英國的小學數學畢業試卷中得到些啟示。一、 英國通過哪些內容來測查學生的空間觀念？（一）立體圖形與展開圖立體圖形的展開圖是考察學生空間想象能力的常用形式，在英國的畢業卷中也多次出現這樣的題

3、目。題目的類型主要有以下兩種：1判斷立體圖形的展開圖是否正確 例1：2000年畢業測試B卷中的第十三題。 看著下面的圖案，哪些是正方形為底的棱錐的展開圖，打上，不是的話，請打上×。此題是一題開放題，主要考察學生是否能夠通過空間想象將展開圖與立體圖形之間進行轉換，關于棱錐展開圖的題目國內比較少見。2在展開圖上畫出立體圖形上相對應的圖案例2：2006年畢業測試B卷第十六題這里有一個正方形，它的上半部分涂了陰影，下半部分是白色的。把它展開后，如圖所示，請將陰影部分補充完整。 本題需要學生根據正方體上的圖案特征，然后想象出展開后這些圖案會在相應的哪個面上，并判斷出正確的擺放位置。需要學生有較

4、強的空間想象力。（二）軸對稱關于軸對稱的題目是在英國畢業測試卷中出現頻率最高的題型。英國畢業測試卷總題數一般為2226題不等，而每份卷子中都會有與軸對稱相關的題目出現，題數在13題不等，由此可見英國對于軸對稱的重視程度。題目的類型主要有以下三類：1判斷是否是軸對稱圖形例3:2000年畢業測試A卷第九題格子圖中有一些陰影圖形。哪三個是對稱圖形？ 本題需要學生根據這些圖形的特征，假設出對稱軸的位置，并想象著將圖形對折，從而判斷是否是軸對稱圖形。其中B和F這兩個圖形可能會造成學生判斷失誤。2畫已知圖形的對稱軸例4：2002年畢業測試B卷第五題用尺子畫出下面每個圖形的對稱軸。 本題比較有特色，既需要考

5、慮到外輪廓圖形的對稱性，也要考慮到圖形內部的若干個圓對圖形對稱性的影響。而且第1幅圖、第3幅圖都不只一條對稱軸，具有一定的開放性。3根據部分圖形及對稱軸將圖形畫完整例5：2011年畢業測試A卷第二題根據對稱軸畫出對稱圖形的另一半，并涂上陰影（其中有一個格子已經畫好）。本題的對稱軸是45°方向的，對于學生來說具有一定的難度。需要具有較強的空間想象能力。（三）圖形的運動描述圖形的運動和變化是空間觀念內容之一。這塊內容在國內平時的教學中越來越重視，但在測試中還是出現相對較少。在英國的畢業測試中對孩子這個方面能力的測查出現的比較多，主要有以下的三類：1平面圖形的平移例6：2010年畢業測試A

6、卷第二十四題這張方格紙中有一個四邊形。這個四邊形被平移了，因此點A就移動到了點B。在新的位置畫出這個四邊形。使用直尺。本題是斜著將圖形平移，而且有一個點已經給出了。解決的策略有兩種：一是可以判斷點A的移動路徑，然后將其他點重復這樣的路徑移動，最后畫出移動后的圖形。二是可以根據這個四邊形的特征，由已知的一個點，畫出這個四邊形。需要學生有一定的空間想象力以及對圖形特征的把握能力。2 平面圖形的旋轉關于平面圖形的旋轉又可以分成兩類：一類是畫出旋轉后的圖形（例7），另一類是選擇正確的旋轉后的圖形（例8）。例7：2007年畢業測試B卷第二十題格子圖中有一個陰影圖形，杰米繞著格子圖的中心將這個圖形順時針旋

7、轉90度，請在新的位置畫出旋轉后的圖形。本題因為有預設的環狀網格，每一格30°，所以降低了解決的難度。需要學生判斷旋轉的方向和中心點，然后根據圖形的特征在正確地位置畫出來。例8:2009年畢業測試卷A卷第三題斯蒂芬在正方形卡片里畫了這樣的圖案。他轉動了卡片，下面卡片中哪些與斯蒂芬的卡片有相同的圖案，請打。本題需要學生整體考慮正方形卡片內的一個角以及另外三個圖形之間的相對位置關系，需要有一定的空間想象能力。正確的答案為第2幅圖。3立體圖形的運動例9：2001年畢業測試B卷第八題湯姆用四個小方塊組成一個圖形，并畫了兩個圓。湯姆擺動圖形，請在下圖中畫出兩個圓的位置。 本題是由四個小立方體拼

8、成的一個立體圖形，進行翻動，然后判斷出原來立體圖形上的兩個圓點的位置。需要考慮到立體圖形的相對位置，也要考慮到圓點在立體圖形上的絕對位置，考察了學生的空間想象能力。（四）圖形的分割與拼組在圖形的分割與拼組的過程中，需要把握圖形的特征，想象出分解后或組合后圖形的情況，是培養空間觀念的一種有效的手段。特別是圖形的分割為后續學習添加輔助線打下了基礎。英國的畢業試卷中出現了多道有關于圖形分割與拼組的試題。1圖形的分割例10：2003年畢業測試B卷第十題從A點出發畫出兩條直線，把下圖分成一個四邊形和兩個三角形。本題學生需要明確四邊形和三角形的特征，然后想象出兩條直線畫完后，整個圖形的分割情況。題目的答案

9、不唯一，具有開放性。2圖形的拼組例11：2009年畢業測試B卷第六題這里有四個圖形。它們能沿著直線排成一行，彼此之間沒有空隙。把它們的排列順序寫在橫線上。本題需要學生先觀察各個圖形的特征，然后根據各個圖形之間的關系，通過想象將這些圖形嘗試著進行拼合，需要較強的觀察力和空間想象能力。正確的答案為：D、B、A、C。（五）坐標中的位置關系課程標準指出：空間觀念的內容包括，想象出物體的方位和相互之間的位置關系。英國的畢業測試卷中出現了很多根據圖形的特征，并利用坐標系來表示出相應點的位置，以考察學生的空間觀念。例12：2004年畢業測試A卷第二十題 這是一個風箏形，請寫出D點的坐標。本題學生需要掌握風箏

10、形的特征，然后將B點平移到A點正上方，得出距離為2，然后推斷出B點到D點的距離應該是4，從而得出D點的坐標（5,2）。考察學生的綜合分析能力和空間想象力。 二、英國小學數學畢業試卷空間觀念的試題特點。（一）避免操作可以得出結果的試題在平時測試中我們時常發現，有時需要空間想象解決的題目，如果出得不好，往往學生會現場制作一個符合題意的物品，然后用一個簡單的操作完成，而沒有去通過觀察和想象完成，這樣題目就失去了原有的意義。英國的畢業試題中就很好地避免了這個問題，設計的試題，要么是無法進行實物操作，要么是制作這個物品很困難，這樣就突顯出考察學生空間觀念的意義。例13：2004年畢業測試A卷第十三題下面

11、是一個柱體的展開圖，在正確的圖案下面打。本題如果通過制作一個實物然后操作是非常困難和費時的，在測試中是不太能實現的。所以只能通過在頭腦中想象著打開和折疊，才能做出判斷，這樣就達到了考察學生空間想象能力的目的。（二）充分利用了坐標坐標是聯系點和數的有效工具，有了坐標就可以進行圖形和數之間的轉換。小學階段主要運用到坐標系的第一象限，用于表述平面內的某個點的位置。英國的小學畢業測試中有很多關于坐標的試題，以考察學生的空間觀念。例14:2000年畢業測試A卷第二十二題這個陰影三角形是這個白三角形沿著對稱軸畫出的軸對稱圖形。寫出A點和B點的坐標。例15：2002年畢業測試卷A卷第十七題陰影圖形是一個平行

12、四邊形，請寫出A點的坐標。從這兩個例題可以看出，英國的小學數學畢業測試中運用坐標是非常普遍的，有的是跟軸對稱知識相結合，有的是與圖形的特征知識點相結合，將這些知識點與坐標結合，可以更有效地考察學生的空間觀念。我們平時講數對更多地用來表示現實物體，比如：說座位，看來我們需要更快地過渡到用數對來描述圖形的屬性。 （三）作圖題的背景網格圖變化豐富跟平移與旋轉或軸對稱有關的作圖題一般都會提供網格圖，國內比較常見的就是正方形的網格圖。英國則不同，它的網格圖變換較多，有正方形（見前面例6）、近似圓弧形（見前面例7）、正六邊形、菱形、圓形和正方形結合等。如下面各題：例16：2005年畢業測試B卷第五題 下面

13、的格子圖是由六邊形組成的，請畫出它的軸對稱圖形。例17：2007年畢業測試B卷第二題畫出下面陰影圖形的軸對稱圖形。例16：2009年畢業測試A卷第八題畫出下圖陰影圖形的軸對稱圖形，并涂上陰影。作圖題背景的變化可以有效地避免解題的程式化。變化就帶來了思考，學生在觀察圖形本身特征的時候，還要觀察構成網格圖的圖形的特征，這樣對學生鍛煉價值就更大了，增加了題目的思考含量，可以更好地反應出學生的空間觀念水平。（四）注重考察對基本圖形特征的掌握 對一些基本圖形特征的掌握是空間觀念能力的基礎。英國的畢業測試中有一些試題是專門考察學生對于某些基本圖形特征的掌握情況，但沒有出現直接考察概念性的問題，而是設計了比

14、較巧妙的試題。如下面各題：例17:2000年畢業測試A卷第6題 畫兩條直線使下圖成為一個長方形，使用直尺。例18：2003年畢業測試A卷第十五題下面的圖中是三個四邊形的對角線，請寫出這些四邊形的名稱。例19：2004年畢業測試B卷第十二題下面是一個正六邊形，添上3條線組成一個等邊三角形。使用尺子。這幾題雖然沒有出現直接考察這些圖形特征的語句，但通過這樣的形式，很好地檢測了學生是否掌握了正方形、長方形、“風箏型”、正三角形等基本圖形的特征。（五）注重思考的開放性 英國的畢業測試中很多關于空間觀念的試題答案不唯一，具有一定的開放性。這種開放性增加了想象的空間，對于鍛煉學生的空間觀念是很有幫助的。如下面各題： 例20：2002年畢業測試B卷第四題 在下圖中畫出一個沒有直角的三角形，使用尺子。例21:2003年畢業測試B卷第八題下面是一個無蓋的正方體的展開圖，請在方格圖中畫出正方體的頂。上面的兩題答案都有多種，一方面給了學生充足的思考空間，另一方面也能體現學生之間在空間