1、第六章第六章 空間力系空間力系6.1 空間力系的簡化空間力系的簡化6.2空間力系的平衡空間力系的平衡6.3 重心與形心重心與形心空間力系：空間匯交（共點）力系，空間力偶系空間力系：空間匯交（共點）力系，空間力偶系, ,空空間任意力系間任意力系, ,空間平行力系。空間平行力系。6.1空間力系的簡化空間力系的簡化6.1.1 力在空間直角坐標軸上的投影 如圖所示，若力如圖所示，若力F與三個直角坐標軸的夾角分別為與三個直角坐標軸的夾角分別為 、 、 ，則力在各坐標軸上的投影可由力的大小與該坐標軸的夾，則力在各坐標軸上的投影可由力的大小與該坐標軸的夾角余弦的乘積來計算，即角余弦的乘積來計算，即 cosc

2、oscosxyzFFFFFF(6-1) 利用式利用式(6-1)計算投影的方法稱為直接投影法。而若力計算投影的方法稱為直接投影法。而若力F與坐標軸與坐標軸Ox和和Oy的夾角的夾角 、 不易確定時，可先將力不易確定時，可先將力F投影投影到到Oxy平面上，得到一力在平面上的投影量平面上，得到一力在平面上的投影量Fxy，然后再將，然后再將Fxy投影到投影到x軸、軸、y軸上。如圖所示，當已知軸上。如圖所示，當已知 、 角時，力在角時，力在坐標軸上的投影量可由下式計算：坐標軸上的投影量可由下式計算：sincossin sincos xyzFFFFFF(6-2) 由式由式(6-2)計算投影的方法又稱為二次投

3、影法。但需注意，計算投影的方法又稱為二次投影法。但需注意，力在坐標軸上的投影為一代數量，而力在一平面上的投影應力在坐標軸上的投影為一代數量，而力在一平面上的投影應為一矢量，這是因為在平面上的投影量不能簡單由坐標軸的為一矢量，這是因為在平面上的投影量不能簡單由坐標軸的正負來確定其方向。正負來確定其方向。 同力在坐標軸上的投影類似，可將力矢沿三個坐標軸方向同力在坐標軸上的投影類似，可將力矢沿三個坐標軸方向分解為三個正交分力分解為三個正交分力Fx、Fy、Fz，如圖所示，則有，如圖所示，則有xyzFFFF 由力在坐標軸上的投影和分解的形式可知，其正交由力在坐標軸上的投影和分解的形式可知，其正交分力應與

4、其在坐標軸上相應的投影值有如下關系：分力應與其在坐標軸上相應的投影值有如下關系：xyzFFFxyzFiFjFk(6-3) 式中式中i、j、k分別為沿三個坐標軸分別為沿三個坐標軸x、y、z的單位矢量，則的單位矢量，則力矢力矢F沿直角坐標軸的解析表達式為沿直角坐標軸的解析表達式為 即力矢即力矢F可由在直角坐標軸上的投影來表示。若已知力可由在直角坐標軸上的投影來表示。若已知力在坐標軸上的投影在坐標軸上的投影Fx、Fy、Fz，則力的大小和方向余弦可由，則力的大小和方向余弦可由下式確定：下式確定： xyzFFFFijk(6-4) 222cos, cos, cosxyzyxzFFFFFFFFFF(6-5)

5、 必須注意，由式必須注意，由式(6-5)只能確定力矢的大小和方向，不能只能確定力矢的大小和方向，不能確定其作用線位置。而由力矢的三個分量可確定力的三要素。確定其作用線位置。而由力矢的三個分量可確定力的三要素。力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內），力對該軸的矩為零。軸的矩為零。( )()zoxyxyM FM FF h（66）6.1.2 力對軸的矩 ( )()()()xxxxyxzzyMFMFMFMFFyFz( )()()()yyxyyyzxzMFMFMFMFFzFx 力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關系

6、( )zyxMFFxFy ( )( )OzyxxMFyFzFMF ( )( )OxzyyMFzFxFMF ( )( )OyxzzMFxFyFMF 1212FFFF空間力偶的三要素空間力偶的三要素（1 1） 大小：力與力偶臂的乘積；大小：力與力偶臂的乘積；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：轉動方向；方向：轉動方向；6.1.3 空間力偶BAMrF一一. .空間任意力系向一點的簡化空間任意力系向一點的簡化iiFF()iOiMMF空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系. .6.1.4 空間任意力系的簡化RixyzFFF

7、 iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF()()()OxyzMMF iMF jMF k主矢主矢空間力偶系的合力偶矩空間力偶系的合力偶矩由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有由力對點的矩與力對軸的矩的關系，有空間匯交力系的合力空間匯交力系的合力 合力合力ROdMF合力合力. .合力作用線距簡化中心為合力作用線距簡化中心為.5空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）空間任意力系的簡化結果分析（最后結果）RR0,0,OOFMFMR0,0OFM 過簡化中心合力過簡化中心合力RR()( )OOOMdFMFMF合力矩定理：合力對某點合力矩定理：合力對某點( (軸）之矩等于各分力對同一點（軸

8、）軸）之矩等于各分力對同一點（軸）之矩的矢量和之矩的矢量和. .合力偶合力偶一個合一個合力偶力偶，此時與簡化中心無關。，此時與簡化中心無關。R0,0OFM 力螺旋力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋中心軸過簡化中心的力螺旋OOMFMF/, 0, 0RR鉆頭鉆孔時施加的力螺旋鉆頭鉆孔時施加的力螺旋既不平行也不垂直既不平行也不垂直RR0,0,OOFMF M力螺旋中心軸距簡化中心為力螺旋中心軸距簡化中心為RsinOMdF平衡平衡平衡平衡R0,0OFM 空間任意力系平衡的充要條件：空間任意力系平衡的充要條件：.2.1.空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xy

9、zMMM 空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標軸空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標軸中每一個軸上的投影的代數和等于零，以及這些力對于每一中每一個軸上的投影的代數和等于零，以及這些力對于每一個坐標軸的矩的代數和也等于零個坐標軸的矩的代數和也等于零. .該力系的主矢、主矩分別為零該力系的主矢、主矩分別為零. .6.2空間力系的平衡空間力系的平衡6.2.2 空間約束 常見的約束有：球形鉸鏈、止推軸承、導向軸承、萬常見的約束有：球形鉸鏈、止推軸承、導向軸承、萬向接頭、帶有銷子的夾板、導軌、空間的固定端支座等。向接頭、帶有銷子的夾板、導軌、空間的固定端支座等。 一般當剛體受到空間任

10、意力系作用時，在每個約束處，一般當剛體受到空間任意力系作用時，在每個約束處，其約束反力的未知量可能有其約束反力的未知量可能有1個到個到6個。個。 空間任意力系為所有力系中最一般的力系，所有其他形空間任意力系為所有力系中最一般的力系，所有其他形式的力系均可看作是它的特殊形式。所以，由空間任意力系式的力系均可看作是它的特殊形式。所以，由空間任意力系又可導出其他力系的平衡方程。又可導出其他力系的平衡方程。6.2.3 6.2.3 空間力系的特殊情況空間力系的特殊情況 0zF 0yF 0 xF（6-15），1.空間匯交力系空間匯交力系若將簡化中心取在匯交點處，則若將簡化中心取在匯交點處，則 ，故空間，故

11、空間匯交力系的平衡方程為匯交力系的平衡方程為 0OM000zxyFMMFF(6-16) 若假設力系中各力與若假設力系中各力與z軸平行，則不論該力系是否平軸平行，則不論該力系是否平衡，在式衡，在式(6-14)中中 ， ，及，及 三式三式將恒為零，即為恒等式，則空間平行力系只有三個平衡方將恒為零，即為恒等式，則空間平行力系只有三個平衡方程，即程，即0 xF 0yF 0zMF2.空間平行力系空間平行力系3.空間力偶系空間力偶系0RF由于力偶系的主矢恒為零，即由于力偶系的主矢恒為零，即 ，故空間力偶系的，故空間力偶系的平衡方程為平衡方程為0 xM0yM0zM， (6-17)求：三根桿所受力。求：三根桿

12、所受力。例：例： 已知：已知：P P=1000N ,=1000N ,各桿重不計。各桿重不計。解：各桿均為二力桿，取球鉸解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受，畫受力圖建坐標系如圖。力圖建坐標系如圖。0 xF 0yF 0zF 由045sin45sinOCOBFF045cos45cos45cosOAOCOBFFF045sinPFOA解得 （壓）N1414OAF（拉）N707OCOBFF6.3重心和形心重心和形心6.3.1 重心的定義及其坐標公式 不變形的物體不變形的物體 (剛體剛體)在地球附近無論如何放置，其平在地球附近無論如何放置，其平行分布重力的合力作用線，都通過此物體上一個確定的點，行分布重力的

13、合力作用線，都通過此物體上一個確定的點，這一點稱為物體的重心。這一點稱為物體的重心。 對對y軸用合力矩定理軸用合力矩定理1122.CnniiP xP xP xP xP x有iiCPxxP對對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理1122.CnniiP yP yPyPyP z 有iiCPyyP再對再對x軸用合力矩定理軸用合力矩定理1122.CnniiP zP zP zP zP z iiCPzzP則計算重心坐標的公式為則計算重心坐標的公式為iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（619）對均質物體，均質板狀物體，有對均質物體，均質板狀物體，有iiCVxxPiiCV yyPi iCVzzPiiCAxxA

14、iiCAyyAi iCAzzA稱為重心或形心公式稱為重心或形心公式 由上式可知，對于勻質物體，其重心的位置與其重量無由上式可知，對于勻質物體，其重心的位置與其重量無關，而僅與其幾何形狀有關。物體的幾何形狀的中心又稱關，而僅與其幾何形狀有關。物體的幾何形狀的中心又稱為物體的形心。為物體的形心。 對于勻質物體，其重心和形心位置是重合對于勻質物體，其重心和形心位置是重合的。的。 對于一般較為復雜的物體，確定其重心位置的方法一對于一般較為復雜的物體，確定其重心位置的方法一般有以下三種。般有以下三種。1. .簡單幾何形狀物體的重心簡單幾何形狀物體的重心對具有對稱面，或對稱軸，或對稱中心的均質物體，對具有

15、對稱面，或對稱軸，或對稱中心的均質物體，其重心必相應地在這個對稱面，或對稱軸，或對稱中心上。其重心必相應地在這個對稱面，或對稱軸，或對稱中心上。 6.3.2 確定物體重心的方法 2. .用組合法求重心用組合法求重心 若可將一均質形體分割為幾個已知其重心位置的簡若可將一均質形體分割為幾個已知其重心位置的簡單圖形，則可應用分割法求解該形體的重心坐標。單圖形，則可應用分割法求解該形體的重心坐標。(1)分割法分割法有些物體的形狀比較復雜，如果能將物體分割成幾個已知有些物體的形狀比較復雜，如果能將物體分割成幾個已知重心的簡單形體，則其重心可用公式求出，這種方法稱為分重心的簡單形體，則其重心可用公式求出，

16、這種方法稱為分割法。割法。(2)負面積法負面積法(負體積法負體積法)若在物體內切去一部分若在物體內切去一部分(如有空穴或孔洞的物體如有空穴或孔洞的物體)，則其重心，則其重心仍可利用式求出，只是切去部分的面積或體積取負值，這種仍可利用式求出，只是切去部分的面積或體積取負值，這種方法稱為負面積法方法稱為負面積法(或負體積法或負體積法)。求：其重心坐標求：其重心坐標已知：均質等厚已知：均質等厚Z Z字型薄板尺寸如圖所示。字型薄板尺寸如圖所示。解解: :厚度方向重心坐標已確定，厚度方向重心坐標已確定，則用虛線分割如圖，用虛線分割如圖，為三個小矩形，為三個小矩形，其面積與坐標分別為其面積與坐標分別為只求

17、重心的只求重心的x,y坐標即可。坐標即可。mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC3. .用實驗方法求重心用實驗方法求重心 當物體的外形較復雜而不易由公式求其重心位置時，可利當物體的外形較復雜而不易由公式求其重心位置時，可利用實驗的方法測出其重心的位置，一般通過實驗手段得到物用實驗的方法測出其重心的位置，一般通過實驗手段得到物體重心的方法有懸掛法和稱重法兩種。體重心的方法有懸掛法和稱重法兩種。 1、 懸掛法懸掛法 對于邊界較復雜的如圖對于邊界較復雜的如圖4.17所示的薄板，可先將薄板懸掛所示的薄板，可先將薄板懸掛于任一點于任一點A，根據二力平衡公理，重心，根據二力平衡公理，重心C必在通過必在通過A點的鉛垂點的鉛垂線上，可先畫出此鉛垂線，如圖線上，可先畫出此鉛垂線，如圖4.17(a)中虛線所示。再將薄板中虛線所示。再將薄板懸掛于另一點懸掛于另一點B，同理又得一過，同理又得一過B點的鉛垂線，如圖點的鉛垂線，如圖4.17(b)所所示，這兩鉛垂線的交點示，這兩鉛垂線的交點C即為