1、一、復習引入1122/,()a bab abR11222121(,),(,),(,)A x yB xyABxx yy (3)若則1 1220ababa b第1頁/共15頁二、提出問題將平面向量的坐標表示如何拓展到空間呢？第2頁/共15頁三、概念形成概念1.空間直角坐標系(右手系)(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底 ,ij k 用表 示(2)在空間選定一點 和一個單位正交基底 ，以點 為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數軸： 軸、 軸、 軸，它們都叫坐標軸。我們稱建立了一個空間直角坐標系 ，點 叫原點，向量 都叫坐標向量。通過每兩個坐標軸的平面叫坐標

2、平面，分別稱為 平面， 平面， 平面。 O , , i j k O,ij k xyzOxyzO,ij k xO yyO zzO xxyzkjiO第3頁/共15頁三、概念形成概念2.空間直角坐標系中的坐標如圖給定空間直角坐標系和向量 ，設 為坐標向量,則存在唯一的有序實數組 ，使 ，有序實數組 叫作向量 在空間直角坐標系 中的坐標，記作：a,ij k 123(,)aaa123aa iaja k123(,)aaa123(,)aa aaOxyzaxyzijka1a i2a j3a k于是，我們在空間向量集合的元素與三元有序實數組集合的元素建立了一一對應關系。123(,)aa aa第4頁/共15頁三、

3、概念形成概念3.空間向量的直角坐標運算123123(,),( ,)aa a abb b b設則;ab;ab;a;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b加法減法數乘內積第5頁/共15頁三、概念形成概念3.空間向量的直角坐標運算111222( ,), (,)x y zB xyz設A則在空間直角坐標系Oxyz中,212121(,)ABOBOAxx yy zz 一個向量在直角坐標系中的坐標等于這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。提醒大家注意的是：要分清楚空間直角坐標系下點的坐標和向量的坐標第6頁/共1

4、5頁三、概念形成概念4.空間向量平行和垂直的條件123123(,),( ,)aa a abb b b設則/ a b；。;ab112233,()ab ab abR312123aaabbb1 122330a ba ba b/ ,(0) ab bab0abab第7頁/共15頁1.已知三、概念形成概念3.空間向量的直角坐標運算(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),2abcpa b qab c 例子：求：, ,p q pq 2.已知向量 ，求向量 使得 ，且 。( 2,2,0),( 2,0,2)ab nnanb(1,0, 1),(0,3,1),1pqpq ( , , )nx y z設( , ,

5、 )(1,1,1)nx x xx請同學們自己完成！第8頁/共15頁三、概念形成概念4.空間兩個向量的夾角與向量長度的計算公式123123(,),( ,)aa a abb b b設則2221222213232| | | aa aaaa aaaaaa2221222213232| | | bb bbbb bbbbbb1.距離公式(1)向量的長度（模）公式(2)空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，已知、 ，則111(,)A xyz222(,)B xyz212121(,)ABxxyyzz222212121|()()()ABxxyyzz第9頁/共15頁三、概念形成概念4.空間兩個向量的夾角與向量長度的

6、計算公式123123(,),( ,)aa a abb b b設則3.兩個向量夾角公式cos,| aba ba b1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbbab與 同向ab與 反向注意：(1)當 時， ；(2)當 時， ；(3)當 時， 。cos,1 a bcos,1 a bcos,0 a bab第10頁/共15頁四、應用舉例例1.如圖，在正方體 中， 求與所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D1111114A BB ED F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO第11頁/共15頁四、應用舉例例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，BCA=90，AA1=2，取A1B1、A1A中點P，Q：(1)求 的長；(2)求 ，并比較 的大小；(3)求證：AB1C1P。BQ 111cos,cos,BQ CBBA CB 111,BQ CBBA CB 與ABCA1B1C1PQ第12頁/共15頁四、應用舉例例3.已知空間三點A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1,-1,5)：(1)求以 為邊的平行四邊形的面積；(2)若 且 分別與 垂直，求向量 的坐標。,AB