1、實數(shù)考點突破一、知識梳理1.平方根（ 1）算術平方根的定義：一個正數(shù)x 的平方等于a,即 _，那么這個正數(shù)x 就叫做a 的 _.0的算術平方根是_。（ 2）平方根的定義：如果一個數(shù)x 的平方等于 a ，即 _，那么這個數(shù) x 就叫做 a 的_ 。（ 3）平方根的性質：一個正數(shù)有 _個平方根，它們 _； 0 只有 _個平方根，它是 _；負數(shù) _平方根。（ 4）開平方：求一個數(shù) a 的 _的運算，叫做開平方。2.立方根x 的 _等于 a ，即 _，那么這個數(shù) x 就叫做 a的立方根。（ 1）立方根的定義：如果一個數(shù)（ 2）立方根的性質：每個數(shù)a 都只有 _個立方根。正數(shù)的立方根是 _；0 的立方根

2、是 _；負數(shù)的立方根是 _。（ 3）開立方：求一個數(shù)a 的 _的運算叫做開立方。3.實數(shù)（ 1）無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做_。（ 2）實數(shù)的定義： _和 _統(tǒng)稱實數(shù)。（ 3）實數(shù)的分類： 按定義分： _ ；按性質分： _ 。（ 4）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系：_與數(shù)軸上的點是 _對應的。（ 5）有關概念：在實數(shù)范圍內，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內的意義_。4.實數(shù)的運算：（ 1）實數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算和_一樣，而且有理數(shù)的運算律對 _仍然適用。（ 2）兩個非負數(shù)的算術平方根的積等于這兩個數(shù)積的算術平方根，算術平方根的商等于這兩個數(shù)商的算術平方根，用式子表示為 _ ；_

3、 。二、考點例析考點 1平方根、立方根的定義與性質例 1 （ 1）下列各數(shù)是否有平方根？若有，求出其平方根；若沒有，說明理由。 625 （ -2）2 （ -1） 3（ 2）下列各數(shù)是否有立方根？若有，求出其立方根。 1 -343 -2227分析：（ 1）要判斷一個對象有無平方根，首先要對這個對象進行轉化，直到能看出它的符號，然后依據(jù)平方根的性質進行判斷。（2）因為正數(shù)、 0、負數(shù)均有立方根，所以所給各數(shù)都有立方根。解：（ 1）因為 625>0，故其平方根有兩個，即 ±625 =±25；因為（ -2）2=4>0 ，故其平方根有兩個，即± ( 2)2=&#

4、177;2；因為（ -1）3 =-1<0,故其不存在平方根。（2）由立方根的性質可知，所給各數(shù)均有立方根。3113343 7；27； 3 -22 的立方根 34 。說明：只有非負數(shù)才有平方根，這一點同學們一定要牢固掌握。考點 2實數(shù)的分類與性質例 2下列各數(shù)中： 1 ，7 ， 3.14159, ,1034,0,0.3 ,38 ,16,2.1211221112224,3其中有理數(shù)有_ ；無理數(shù)有 _ 。分析：對于3 8 、16 等應先化簡再判斷。解：有理數(shù)：1 ， 3.14159,0,0.3, 3 8 , 164無理數(shù)有： 7 , ,10, 3 4 ,2.12112111222 3說明：本

5、題考查有理數(shù)和無理數(shù)的概念，要正確判斷一個數(shù)屬于哪一類，理解各數(shù)的意義是關鍵。例 321的相反數(shù)是；11 的絕對值是；-81 的倒數(shù)是。121分析：如果 a 表示一個正實數(shù)，那么a 就表示一個負實數(shù)，a與 a 互為相反數(shù)； 0 的相反數(shù)依然是0。一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0 的絕對值是0。非零實數(shù) a 的倒數(shù)是1 。a解：2 1的相反數(shù)是 1-2 ；11 的絕對值是11819； -=-12111，所以 -81 的倒數(shù)是 - 11 。1219說明：解決此問題要牢記實數(shù)的性質，實數(shù)范圍內一個數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和在有理數(shù)范圍內的意義是一樣的。考點 3實數(shù)

6、的運算例 4（ 1）計算：30.00892211178316125（ 2）化簡 82(22) 得（）（A）-2（ B ）2 2（C） 2（D）4 2 2分析：有理數(shù)的運算法則、性質、運算律等在實數(shù)范圍內仍然適用，本例根據(jù)運算順序直接計算即可。解：（ 1）原式 =0.2 ×5225(1) =1515(5)17575 1；455444（2）82(22)822 22 2222 = 2。故選（ A ）。說明：在實數(shù)范圍內進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，運算順序依然是從高級到低級。值得注意的是，在進行開方運算時，正實數(shù)和零可以開任何次方，負實數(shù)能開奇次方，但不能開偶次方。考點 4非負數(shù)例

7、5已知 x， y 為實數(shù)，且 x 1 3( y2)20 ，則 xy 的值為（） .（A）3（B） 3（ C）1（D） 1分析：本題主要考查非負數(shù)的性質及其應用，非負數(shù)，即不是負數(shù)，也即正數(shù)和零，常見的非負數(shù)主要有三種：實數(shù)的絕對值、實數(shù)的算術平方根、實數(shù)的偶次方。它有一個非常重要的性質：若干個非負數(shù)的和為0，這幾個非負數(shù)均為零。利用這個性質可解本題，解：由題意，得x10 ， y20 ，即 x1， y2 ，所以 xy1 。故選（ D）。說明：非負數(shù)是中考常考的知識點，同學們應從其意義入手，理解并掌握它。考點 5數(shù)形結合題例 6已知實數(shù) a、 b 在數(shù)軸上的位置如圖所示：b0 a試化簡： a-b

8、a b分析：要化簡 a-b a b，需根據(jù)數(shù)軸上a、 b 的位置判斷 a-b 和 a+b 的符號。解：因為 a>0， b<0，且 a < b，所以 a-b>0，a+b<0，所以原式 =（a-b） +（ a+b）=a-b+a+b=2a說明：數(shù)形結合是解決數(shù)學問題常用的思想方法，解題時必須通過所給圖形抓住相關數(shù)的信息。考點 6探究題例 7閱讀下列解題過程：115454545454542254116565656565656225請回答下列問題：（1）、觀察上面的解題過程，請直接寫出式子：1n 2nn 1（2）、利用上面所提供的解法，請化簡：111112132435410

9、9分析：通過閱讀解題過程不難發(fā)現(xiàn)，每個式子的結果都等于分母中兩個式子的差。解：（ 1）1n1n 。nn1（ 2）原式 =21324354109 =101。說明：這類題目需要我們細心觀察及思考，探究其中的規(guī)律，尋找解決問題的途徑。三、易錯點例析1、對平方根、算術平方根、立方根的概念與性質理解不透理解不透平方根、算術平方根、立方根的概念與性質，往往出現(xiàn)以下錯誤：求一個正數(shù)的平方根時，漏掉其中一個，而求立方根時，又多寫一個；求算術平方根時前面加上“ ”成了平方根等等。例 1 （1）求 6 1 的平方根（ 2）求81 的算術平方根4125581 的算術平方根是9錯解：（ 1） 64；（ 2）42錯解分

10、析：錯解（1）中混淆了平方根和算術平方根；錯解（2）中81=9，81 的算術平方根其實是 9 的算術平方根，而9 的算術平方根是3。正確解法：（ 1）6 1255；（ 2） 81 的算術平方根是 3。442例 2 求 64 與 -27 的立方根。錯解： 64 的立方根是 ±4， -27 沒有立方根。錯解分析： 64 的立方根是 4，只有一個，認為64 的立方根有兩個且互為相反數(shù)，是與正數(shù)的平方根相混淆； -27 的立方根是 -3，錯誤地認為 -27 沒有立方根是與負數(shù)沒有平方根相混淆。正確解法：因為 43=64，所以64 的立方根是4。因為（ -3） 3=-27 ，所以 -27 的立

11、方根是 -3。2、忽略平方根成立的條件只有非負數(shù)才能開平方，這一條件解題時往往被我們忽略。例 3 當 m 取何值時，m2 有意義？錯解：不論 m 取何值時，2m 都無意義。錯解分析：考慮不全，漏掉了m=0 時的情況。正確解法：當 m=0 時， -m2=0，此時m2 有意義。3、實數(shù)分類時只看表面形式對實數(shù)進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據(jù)結果去判斷。例 4 下列各數(shù) 2、 3.14159、 - 9、 35、（- 7）2、1、3 8中無理數(shù)有35錯解：無理數(shù)有、 -9、3 5、（-7）2、3 8。3錯解分析：這種錯誤認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。其實能化簡的應先化簡， -9=-3 ，（-72

12、，3 8 =2，）=7所以它們是有理數(shù)。正確解法：無理數(shù)有3、3 5。4、運算錯誤在進行實數(shù)的運算時要注意運算法則與公式的正確應用，千萬不要忽略公式的應用條件。例 5化簡（ 1） 5a9a（2）( 9)( 25)錯解：（ 1） 5a9a=5a3a =2；（2） ( 9)(25) =(9)(25) =（ -3） ×（ -5）=15錯解分析：（ 1）中合并同類二次根式時丟掉了a 從而出錯；（ 2）中忽略了公式 a ba b 的應用條件，即a0， b0，因為負數(shù)沒有平方根，雖然最后結果正確，但解法是錯誤的。正確解法：（1） 5 a9a=5a3 a =2 a ；（2） ( 9)( 25)=9

13、25 =925 =3×5=15。四、考點鏈接中考中對于實數(shù)一章的考查，其題型主要有選擇題、填空題、解答題。近幾年題型變化比較大，創(chuàng)設了一些新的情境，考查學生靈活運用所學知識的能力，這也是近幾年考查的熱點和趨勢。下面是2007 年各省市關于實數(shù)的中考題的歸類說明。1、利用平方根、算術平方根、立方根的定義與性質解題（ 1）（資陽市）如果某數(shù)的一個平方根是-6，那么這個數(shù)為 _（ 2）（安順市）16 的平方根是（ 3） (南京市 )1 的算術平方根是（）41111282216（ 4） (遵義市 )的立方根是（ 5） (永州市 ) 3 0.001 _。（ 6）（南寧市）若( x 1)2 10

14、 ，則 x的值等于（）A 1B 2C0或 2D0或 2分析：本組題目主要考查平方根、算術平方根、立方根的定義與性質，其中（6）小題與方程相結合，可由 (x1)210 得（ x+1） 2=1，又由（ ±1） 2=1 得 x+1= ±1，再進一步求出x 即可。解：（ 1） 36；（ 2） ±2；（ 3）選 B；（ 4） 2；（ 5） 0.1；（ 6）選 D2、考查實數(shù)的有關概念及實數(shù)大小的比較（ 7） (金華市 ) 2 的相反數(shù)是（ 8）（旅順口）如圖，在數(shù)軸上，A， B 兩點之間表示整數(shù)的點有5個3（ 9）（江西省）在數(shù)軸上與表示3 的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)

15、是（ 10） (河北省 )比較大小： 750 （填 “ ”、 “ ”或 “ ”）（ 11） (廣州市 )下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A 2B 1C0D 2(12)(中山市 )在三個數(shù)0.5、5 、133A、0.55C、1B 、33中，最大的數(shù)是（）。D、不能確定分析：涉及數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、無理數(shù)等實數(shù)的有關概念及實數(shù)大小的比較歷來是中考考查的基本內容。實數(shù)進行大小比較的基本原則是：數(shù)軸上右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)。解：（ 7）2 ；（ 8） 4；（ 9） 2 ；（ 10）；（ 11） A； (12) B3、考查非負數(shù)的性質及其應用（ 13）（成都市）已知a 2(b 5)20 ，那么 ab 的值

16、為分析：先根據(jù)非負數(shù)的性質求出a、 b 的值，然后代入代數(shù)式求解即可。解：由題意，得 a-2=0， b+5=0，即 a=2，b=-5 ，所以 ab =2+(-5)=-3 。故 ab 的值為 -3。4、考查實數(shù)的化簡與運算（ 14）（濰坊市）化簡40 的結果是（）A10B210C45D20（ 15）（江西省）已知：20n 是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n 為（）A2B3C4D5（ 16）（南京市）下列各數(shù)中，與2 3 的積為有理數(shù)的是（）2323233（ 17）（荊門市）下列計算錯誤的是()A 147 7 2B 605 23C 9a25a 8 aD.3 22326.（ 18）（青 島 市 ）計算：1 3（19）（黃岡市）計算：