1、1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡要說明其物理意義。2. 答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為 H J D , EB, B 0, D，（3tt分）（表明了電磁場和它們的源之間的全部關(guān)系除了真實電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源； 除電荷外，變化的磁場也是電場的源。1. 寫出時變電磁場在 1 為理想導(dǎo)體與 2 為理想介質(zhì)分界面時的邊界條件。2. 時變場的一般邊界條件 D2n、E2t 0、H2t Js、B2n 0。（或矢量式n D2、n E2 0 、n H2 Js、 n B2 0)1. 簡述穿過閉合曲面的通量及其物理定義2. A ds 是矢量 A穿過閉合曲面 S的通量

2、或發(fā)散量。若> 0，流出S面的通量大于流入的 s通量，即通量由S面內(nèi)向外擴散，說明 S面內(nèi)有正源若< 0，則流入 S面的通量大于流出的通量，即通量向 S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi)有負源。若=0，則流入S面的通量等于流出的通量，說明 S面內(nèi)無源。1. 在直角坐標系證明 A 02.A(ex xey y ezz)ex(AyzAzx)ey(AzxAxz)ez(AxyAyx )x yzyzzxxy例靜電場1. 簡述亥姆霍茲定理并舉例說明。2. 亥姆霍茲定理研究一個矢量場，必須研究它的散度和旋度，才能確定該矢量場的性質(zhì)D dsq0D 0 有源sE dl 0 E 0 無旋1. 已知 R r r ，證明

3、 R R R eRRR 。2. 證明zzR exx R R R R x x y yexeyezexeyezy z R R RR1. 試寫出一般電流連續(xù)性方程的積分與微分形式 ，恒定電流的呢？2. 一般電流 J dS dq /dt 0, J / t ； 恒定電流 J dS 0, J 01. 試寫出靜電場基本方程的積分與微分形式 。2. 答靜電場基本方程的積分形式 E ds 1 q ， E dl 0s 0 l微分形式 D , E 01. 試寫出靜電場基本方程的微分形式，并說明其物理意義。2. 靜電場基本方程微分形式 D , E 0 ，說明激發(fā)靜電場的源是空間電荷的分布（或是激 發(fā)靜電場的源是是電荷

4、的分布）。1. 試說明導(dǎo)體處于靜電平衡時特性。2. 答導(dǎo)體處于靜電平衡時特性有導(dǎo)體內(nèi) E 0 ；導(dǎo)體是等位體（導(dǎo)體表面是等位面）； 導(dǎo)體內(nèi)無電荷，電荷分布在導(dǎo)體的表面（孤立導(dǎo)體，曲率）； 導(dǎo)體表面附近電場強度垂直于表面，且 E n/ 0 。1. 試寫出兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。2. 答在界面上 D的法向量連續(xù) D1n D2n 或（n1 D2 n1 D2 ）；E的切向分量連續(xù) E1t E2t 或 （ n1 E1 n1 E2）1. 試寫出 1為理想導(dǎo)體，二為理想介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。2. 在界面上D的法向量 D2n或（n1 D2）；E的切向分量 E2t 0或（n1 E2 0）1. 試寫

5、出電位函數(shù) 表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。2. 答電位函數(shù) 表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件為 1 21. 試推導(dǎo)靜電場的泊松方程。2. 解由 D，其中 D E,E ，DE 為常數(shù)22泊松方程1. 簡述唯一性定理，并說明其物理意義2. 對于某一空間區(qū)域 V，邊界面為 s， 滿足給定對導(dǎo)體給定 q）則解是唯一的。只要滿足唯一性定理中的條件，解是唯一的，可以用能想到的最簡便的方法求解（直接求解法、鏡像法、分離變量法），還可以由經(jīng)驗先寫出試探解，只要滿足給定的邊界條件，也是唯一解不滿足唯一性定理中的條件無解或有多解。1. 試寫出恒定電場的邊界條件。2. 答恒定電場的邊界條件為，1. 分離

6、變量法的基本步驟有哪些?2. 答具體步驟是 1、先假定待求的位函數(shù)由兩個或三個各自僅含有一個坐標變量的乘積所組成。2、把假定 的函數(shù)代入拉氏方程，使原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換為兩個或三個常微分方程。解這些方程，并利用給定的邊界 條件決定其中待定常數(shù)和函數(shù)后，最終即可解得待求的位函數(shù)。1. 敘述什么是鏡像法？其關(guān)鍵和理論依據(jù)各是什么？2. 答鏡像法是用等效的鏡像電荷代替原來場問題的邊界，其關(guān)鍵是確定鏡像電荷的大小和位置，理論依據(jù) 是唯一性定理。7、 試題關(guān)鍵字恒定磁場的基本方程1. 試寫出真空中恒定磁場的基本方程的積分與微分形式，并說明其物理意義2. 答真空中恒定磁場的基本方程的積分與微分形式分別為B

7、0HJB ds 0 sH dl I說明恒定磁場是一個無散有旋場，電流是激發(fā)恒定磁場的源。1. 試寫出恒定磁場的邊界條件，并說明其物理意義 2. 答:恒定磁場的邊界條件為: n (H1 H2) Js , n (B1 B2) 0，說明磁場在不同的邊界條件下磁場 強度的切向分量是不連續(xù)的，但是磁感應(yīng)強強度的法向分量是連續(xù)。1. 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點電荷的電場強度公式和泊松方程。2. 解 點電荷 q 產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程E 0 和 D由 D 得D dd據(jù)散度定理，上式即為D d S qs利用球?qū)ΨQ性，得故得點電荷的電場表示式E er由于 E 0 ，可取E ，則得D E 寫出在空氣和 的理

8、想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件 解 空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為n E 0n H J s根據(jù)電磁對偶原理，采用以下對偶形式即得泊松方程即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件n H 0n EJ ms式中，Jms為表面磁流密度。1. 試寫媒質(zhì) 1為理想介質(zhì) 2 為理想導(dǎo)體分界面時變場的邊界條件2. 答邊界條件為E1tE2t0 或n E1 0H1t JsnH1JsB1nB2n或 n B1 0D1nsn D1s1. 試寫出理想介質(zhì)在無源區(qū)的麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式2. 答HjEE j HB0D01. 試寫出波的極化方式的分類，并說明它們各自有什么樣的特點2. 答波的極化方式的分為圓極化，直線極

9、化，橢圓極化三種。圓極化的特點 Exm Eym ，且Exm , Eym 的相位差為 ，xm ym xm ym 2直線極化的特點 Exm ,Eym 的相位差為相位相差0, ，橢圓極化的特點Exm Eym ，且 Exm,Eym的相位差為或0, ，1. 能流密度矢量（坡印廷矢量） S 是怎樣定義的？坡印廷定理是怎樣描述的？2. 答能流密度矢量 印廷定理的表達式為 恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系。坡印廷矢量） S 定義為單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位截面的能量。坡(E H) dS d (1 E 1 H2)dE2ds dt 2 2，反映了電磁場中能量的守2. 時變場的一般邊界條件 D1n D2n、 E1t E2t

10、 、 H1t H2t Js、 B1n B2n。 （寫成矢量式n (D1D2)、n(E1E2)0、n (H1H2)Js、n (B1B2)0一樣給5分)1. 已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為 和 , 其間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率 為 ，且電纜長度 ， 忽略端部效應(yīng)， 求電纜單位長度的外自感。2. 設(shè)電纜帶有電流常數(shù)分別為 。 求此球形電容器的電 容 。1. 圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑 ， 外導(dǎo)體內(nèi)徑 ，其間充有 兩種電介質(zhì) 與， 它們的分界面的半徑為 。 已知 與 的相對介電1. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為 , 一層電介質(zhì)厚度 ，電導(dǎo)率 ，相對介電常數(shù) ，另一層電介質(zhì)厚度 ，電導(dǎo)率 。 相對介電常數(shù) ，

11、當電容器加有電壓 時， 求(1) 電介質(zhì)中的電流 ；(2) 兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷 ；(3) 電容器消耗的功率2.(1)(3)1. 已知真空中二均勻平面波的電場強度分別為:和 求合 成波電場強度的瞬 時表示式及極化方式2.得合成波為右旋圓極化波1. 無源的真空中，已知時變電磁場磁場強度的瞬時矢量為試求(1)的值 ; (2) 電場強度瞬時矢量和復(fù)矢量(即相量)2. (1)由得故得(2)1. 證明任一沿 傳播的線極化波可分解為兩個振幅相等, 旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波 的疊加2. 證明 設(shè)線極化波和 分別是振幅為 的右旋和左旋圓極化波1. 圖示由兩個半徑分別為 和 的同心導(dǎo)體球殼組成的球形 電容器

12、，在球殼間 以半徑 為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)， 其 介電常數(shù)分別為和 ，試證明此球形電容器的電容為2. 證明設(shè)內(nèi)導(dǎo)體殼外表面所帶的電荷量為 Q，則兩導(dǎo)體球殼間的電壓為1. 已知 求(1) 穿過面積 在 方向的總電流(2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上 的平均值2.(1)(2) 面積中心 , ,(3) 的平均值1. 兩個互相平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)， 尺寸如圖所示， 其中 ， 。略去端部效應(yīng)， 試求兩線 圈間的互感。2. 設(shè)線框 帶有電流 ，線框的回路方向為順時針。線框 產(chǎn)生的 為1. 無源真空中，已知時變電磁場的磁場強度 為；, 其中 、 為常數(shù)，求位 移電流

13、密度 。2. 因為1. 空氣中傳播的均勻平面波電場為E exE0e jkr ，已知電磁波沿軸傳播，頻率為 f。求(1) 磁場H ；(2) 波長 ；(3) 能流密度S和平均能流密度 Sav；(4) 能量密度 W 。2. 解1)H 1 ez exE0e jkeyE0e jk rSav 2Re(E H ) ez 2 00E01 2 14)W0E20H221. 頻率為100MHz 的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（ z ）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為r 4、 r 1，0 。設(shè)電場沿x方向，即 E exEx ；當t 0，z 1 m時，電場等8于其振幅值 10 4V /m 。試求1) H(z,t

14、) 和E(z,t)； （2） 波的傳播速度；（3） 平均波印廷矢量。2. 解以余弦形式寫出電場強度表示式E（z,t） exEx（z,t）exEm cos（ t kz xE）把數(shù)據(jù)代入 Em 10 4V/mrad /mxEkz 41rad86E(z,t) ex10 4 cos(2 108tz )V /m6ExH (z,t) eyH y ey x384cos(2 108t 4316010 4 cos(2 108t 43z 6)A/m2）波的傳播速度v 半徑為a的球體中充滿密度 (r) 的體電荷，已知電位移分布為r3 Ar 2 Dra5 Aa4r2其中 A為常數(shù)，試求電荷密度 (r) 1 3 108

15、 1.5 108m/s0 0 23) 平均坡印廷矢量為 Sav 1ReE H *2Sav 1 Reex10 4e j( 3z 6) ey 10 ej( 3 z 6)2 60421 Reez (10 4) 解 由 D ，有 2 6010 8 2 ezW /m2z 1201. 兩點電荷q1 8C 位于z軸上z 4處，q24C位于 y 軸上 y 4處，求(4,0,0) 處的電場強度。2. 解 電荷q1在 (4,0,0) 處產(chǎn)生的電場為Eq1 r r1E140r r120 (4 2)3ex4 ez4電荷q2 在(4,0,0) 處產(chǎn)生的電場為40r r23r r21 ex4 ey 40 (4 2) 3故

16、 (4,0,0) 處的電場為B ezE Eex ey ez 2E1 E 232 2 00 Qsin308a6a(r a)(r a)(r)D r12 ddr (r 2Dr ) r dr故在 r a區(qū)域(r)1 d 2 3 2 20 2r2(r3 Ar2)0(5r 2 4Ar)r dr在 r a 區(qū)域(r)540 1 d 2 (a5 Aa4)r2drrr201. 一半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)為 r 0 ，其內(nèi)均勻分布自由電荷 ，證明中心點的電位為2. 解 由可得到22r 1(3 )R022 r 3 04 r 2D14 r 2D2D14 R03r , E1D23rR03,E22D1故中心點的電位為

17、R0r R0)r R0)D1R0323 0r 2R0(0) E1dr E2drR0R02R02r R0)r R0)R3 dr 02 dr0 3 r 0R03 0r2 r 1()R22 r (3 0 )R01. 一個半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為 ，球內(nèi)的極化強度P er K r ，其中K 為一常數(shù)。（1） 計算 束縛電荷體密度和面密度；（2） 計算自由電荷密度；（3）計算球內(nèi)、外的電場和電位分布。2. 解 （1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為pPr2 dr (r在 r R 的球面上，束縛電荷面密度為Kp n P r R er P r R R2)由于D0E P ，所以D 0 E P 0 D P即(1

18、0 ) D P由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為DP0p K 2p2 0 (0)r2總的自由電荷量RK R 1 2 4 RK q d 2 4 r 2dr003）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強度分別為PKE1 0 er (0)r (r R)E2erq24 0r 2RKer2r 0(0)r 2(r R)介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為R1 E dl E1dr E2drRKdrr ( 0)r R 0(0)r2 drln R Kr 0(0)(r R)2 E2drRK 2 dr RK (r R)r r 0(0)r0( 0 )r1. 如圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零

19、， (0,y ) a( y, ) 0 (x, 0) 0 (x,b) U0根據(jù)條件和，電位 (x, y) 的通解應(yīng)取為n y n x(x, y)Ansinh( n y )sin( n x)n 1 a a由條件，有U0Ansinh()sin(n 1 anxa兩邊同乘以sin(n xa) ，并從0到a對 x積分，得到An2U0asinh( n b a)asin(n x)dx2U0n sinh( n b a)(1 cosn )4U0 n sinh( n b a) 0，n 1,3,5,n 2,4,6,故得到槽內(nèi)的電位分布(x,y)4U0n 1,3,5,y4.2sinh( )sin( )nsinh(n b

20、 a) a a1. 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為 b ，其間有一極薄的導(dǎo)體片由 y d 到y(tǒng) b( z )。上板和 薄片保持電位U0，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從 y 0到 y d ，電位線性變 化， (0, y) U 0y d 。2. 解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為(x,y) 1(x,y) 2(x,y)其中， 1(x, y) 為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間(電壓為U 0 )的電位，即 1(x,y) U0y b；2(x,y) 是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊界條件為 2( x,0) 2(x,b) 0 2(x,y) 0 (x ) 2(0, y)(0

21、, y) 1(0, y)U0dU0yU0U0by(0 y d)(d y b)根據(jù)條件和，可設(shè) 2(x,y) 的通解為n2(x,y)An sin( n y)e b xn 1 b由條件有nyn 1 Ansin( b )U0U0y b0 yU0U0b0y(0 y d)(d y b)兩邊同乘以sin( n y b) ，并從 0到b對 y 積分，得到dbnyAn2Ub 0(1db1) y sin( nb y )dy2Ub0 (1by)sin(b)dyb0 db bb dbb2U0 bn d( 解 （1）在點電荷 q 的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極 化電荷。根據(jù)鏡

22、像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（b ）、（ c ）所示）nU)02 dbsin(nbd)故得到(x,y)Ub0 y 2dbU20 n12 sin(nbd)sin(nby )e b xb d n 1 n b b1. 如題（ a ）圖所示，在 z 0的下半空間是介電常數(shù)為 的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為h 處有一點電荷q 。求（1） z 0和z 0的兩個半空間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明 表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷 q 。0hz qo題 4.24圖（ a ）q ，位于 z hq0 q ， 位于 z h0上半空間內(nèi)的電位由點電荷 q和鏡像電荷 q 共同產(chǎn)生，即q

23、q14 0R1 4 0Rq 10 14 0 r2 （z h）20 r2 （z h）2下半空間內(nèi)的電位由點電荷 q和鏡像電荷 q 共同產(chǎn)生，即q q q 12 4 R2 2 （0） r 解 （1）導(dǎo)體球上除帶有電荷量Q 之外，點電荷 q還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號的兩種不同電荷。根 據(jù)鏡像法，像電荷q 和 q 的大小和位置分別為（如題圖所示） （z h）22）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為 p n P1 P2 z 0 0（E1z E2z） z 0( 0)hq2 (0)(r2 h2)3 2極化電荷總電量為qPPdSP2 rdrS0( 0)hq0r0 (r 2 h2)32dr( 0)

24、q01. 一個半徑為R 的導(dǎo)體球帶有電荷量為Q ，在球體外距離球心為D 處有一個點電荷q 。（1）求點電荷q與 導(dǎo)體球之間的靜電力；（2）證明當 q與Q同號，且QRDR2DRq (D2 R2 )2 D成立時， F 表現(xiàn)為吸引力DqqqRDqd0導(dǎo)體球自身所帶的電荷Q 則與位于球心的點電荷Q 等效。故點電荷q受到的靜電力為F Fq q Fq q FQ qqq q(D q )224 0(D d )2 4 0D2q Q (R D)q Rq4 0 D D D R D 22）當q與Q同號，且F 表現(xiàn)為吸引力，即 F 0時，則應(yīng)有Q (R D)q Rq 0D 2 D D R D 2 2由此可得出QRD3R

25、2 2 2 q (D2 R2 )2 D1. 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為 b，長為 l 。設(shè)外加電壓為U 0 sin t ，試計算電容 器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。2. 解 當外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時的電場分布可 視為相同（準靜態(tài)電場），即E erU0 sin t r ln (b a)故電容器兩極板間的位移電流密度為JderU 0 cos t rln (b a)id Jd dS020lU0 cos tsr ln(b a)errd dz式中，2lln( b a)2lln(b a)U0 cos t C U 0

26、 cos t是長為 l 的圓柱形電容器的電容流過電容器的傳導(dǎo)電流為CddUtC U0 cos t可見id ic1. 已知在空氣中E ey0.1sin10 cxos(6 10 9t ) z ，求H 和 。(提示將E 代入直角坐標中的波方程，可求得 。)2. 解 電場 E 應(yīng)滿足波動方程2Et2將已知的E eyEy 代入方程，得2E2E2Ez2x2式中2Ey 2 92y0.1(10 )2 sin10 xcos(6 109t z)x22E2y 0.1sin10 x 2 cos(6 109t z)z22Ey0 0 2y 0.1 0 0 sin10 x (6 109)2 cos(6 109tz)t2故得

27、(10 )22 0 0(6 109)2 0則300 54.41rad/m由E 0 Ht1 1EyEy1E 1 ex y ez y 0 0 z x19 ex0.1 sin10 x sin(6 109tz)0ez0.1 10 cos10 x cos(6 109tz)將上式對時間t 積分，得9 ex 0.1 sin10 x cos(6 109tz0 6 109ez cos10 x sin(6 109tz)49ex2.3 10 4 sin10 x cos(6 109t 54.41z)49ez1.33 10 4 cos10 x sin(6 109t 54.41z)A/m1. 在自由空間中，已知電場 E(z,t) ey10 sin( t )zV/m ，試求磁場強度 H (z,t)2. 解 以余弦為基準，重新寫出已知的電場表示式E(z,t) ey103 cos( t z2)V/m1H (z,t) 1 ez E (z,t)0這是一個沿+z 方向傳播的均勻平面波的電場，其初相角為 90 。與之相伴的磁場為1 ez ey103 cos t z0 z y 2120cos t z 2ex 2 65sin( t z)A/m1.1均勻平面波的磁場強度 H 的振幅為 3A/m以相位常數(shù) 30rad/m在空氣中沿 ez方向傳播。當 t=0和z=0時，若H 的取向為 ey ，