1、數學分析期末考試試題、敘述題：（每小題6分，共18分）1、牛頓-萊不尼茲公式002、an an收斂的cauchy收斂原理n 13 全微分二、計算題：（每小題8分，共32分）X22sint dt1、呵 2一2 12、求由曲線y=x和x = y圍成的圖形的面積和該圖形繞 x軸旋轉而成的幾何體的體積。3、QO求zn 4 n(n 1)的收斂半徑和收斂域，并求和5y ：2u4、已知u = x z ，求fxfy三、（每小題10分，共30分）1、寫出判別正項級數斂散性常用的三種方法并判別級數QOZn!2、討論反常積分p e"dx的斂散性3、討論函數列 Sn（x） =、，x2 +12 xW n 的一

2、致收斂性 n四、證明題（每小題10分，共20分）xn 11一一二2、證明函數01、設 xn >0,>1 （n =1,2），證明 Z xn 發散 xnnndx2y2 ; 0在（0, 0）點連續且可偏導，但它22x y =0在該點不可微。參考答案-、1、設f(x)在連續，F(x)是f(x)在a,b上的一個原函數，則成立 ba f (x)dx = F(b) -F(a)2、vs >0.EN >0,使得 Vm >n a N ,成立 an書 +2口卡 + +am <s3、設Du R2為開集，a,b z= f (x, y), (x, y)w D是定義在D上的二元函數，P0

3、(x0,y0)為D中的一定點，若存在只與點有關而與Ax,Ay無關的常數A和B,使得Az= AAx + BAy+o(«Ax2+Ay2)則稱函數 f在點Po(x。，y°)處是可微的，并稱A Ax + BAy為在點P0 (x0, y0)處的全微分二、1、分子和分母同時求導x22oSintdt2xsinx4lim z 二 lim-zx 0 x6 x 0 6x5(8分)2、兩曲線的交點為(0, 0) , (1 ,1o 1所求的面積為：(.x - x2)dx =-031) (2 分)(3分) 153 二所求的體積為：nj(xx )dx = (3分)3、oO解：設 f (x) =n 1n

4、xn(n 1)lim -nj：(n 1)(n 2)1n(n 1)=1 ,收斂半徑為1,收斂域-1,1(2分)8(x)= '、n 1(n 1) x1ln(1 -x),(0 <|x <1), xx ,f(x) = 0 f dt=1ln(1 -x),(0<|x <1) (3 分)x=0級數為0, x=1,級數為1, x=-1 ,級數為1-2ln2 ( 3分)丘 ；：u z ln x4、解：=x-2(3分)上-y.x :y入 -1=xz ln x + xz (5 分)zx三、1、解、有比較判別法,Cauchy,D' Alembert,Raabe判別法等(應寫出具

5、體的內容4分)(n 1)!（4分）由D' Alembert判別法知級數收斂（1分）.(n+1)n*.,1、nJLlim = lim (1 ) ef ： n! f ： n 1n n2、解：0 xp/e'dx =1 p A _x .x e dx- 1+ xpe-xdx (2 分)，對oxpJe-xdx ,由于x1xpAe -> 1(x-> +0)故 p>0 時dx收斂（4分）；'xpe-xdx ,由于T 0（ XT +=c） （4分）故對一切的"xp'e*dx收斂，綜上所述 p>0,積分收斂3、解:Sn(x) = Jx2 +，收斂于 x (4 分) n nlim sup Sn(x) - x =0n "x=(-二，：)所以函數列一致收斂性(6分)四、證明題（每小題10分,共20分）1、證明:1 2 n -223 xn1>x2,(n > 2) (6 分)n -111 ,發散，由比較判別法知級數發散（4分）n =2 n - 1f xy =0所以函數在（0, 0）點 x2y22、證明：0 M| f 丫 |W y | xy | (4 分) limx2y2(