1、高考數學精品復習資料 2019.5第三章導數及其應用學案13導數的概念及運算導學目標： 1.了解導數概念的實際背景，理解函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念了解曲線的切線的概念.2.能根據導數定義，求函數yc (c為常數)，yx，yx2，y，y的導數熟記基本初等函數的導數公式(c，xm (m為有理數)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導數)，能利用基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(axb)的導數自主梳理1函數的平均變化率一般地，已知函數yf(x)，x0，x1是其定義域內不同的兩點，記xx

2、1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，則當x0時，商_稱作函數yf(x)在區間x0，x0x(或x0x，x0)的平均變化率2函數yf(x)在xx0處的導數(1)定義函數yf(x)在點x0處的瞬時變化率_通常稱為f(x)在xx0處的導數，并記作f(x0)，即_(2)幾何意義函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是過曲線yf(x)上點(x0，f(x0)的_導函數yf(x)的值域即為_3函數f(x)的導函數如果函數yf(x)在開區間(a，b)內每一點都是可導的，就說f(x)在開區間(a，b)內可導，其導數也是開區間(a，b)內的函數，又稱作f(x)的導函數，記作_4基

3、本初等函數的導數公式表原函數導函數f(x)cf(x)_f(x)x (q*)f(x)_ (q*)f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)ax (a>0，a1)f(x)_(a>0，a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0，a1，且x>0)f(x)_(a>0，a1，且x>0)f(x)ln xf(x)_5導數運算法則(1)f(x)±g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)_ g(x)06復合函數的求導法則：設函數u(x)在點x處有導數ux(x)，函數yf(u)在點x處的對應點u處有導數yuf(u)，則復合函數yf(

4、x)在點x處有導數，且yxyu·ux，或寫作fx(x)f(u)(x)自我檢測1在曲線yx21的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1x，2y)，則為 ()ax2bx2cx2d2x2設yx2·ex，則y等于 ()ax2ex2xb2xexc(2xx2)exd(xx2)·ex3(20xx·全國)若曲線yx在點(a，a)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a等于 ()a64b32c16d84(20xx·臨汾模擬)若函數f(x)exaex的導函數是奇函數，并且曲線yf(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是 ()abln 2c.dln 25(

5、20xx·湖北)已知函數f(x)f()cos xsin x，則f()_.探究點一利用導數的定義求函數的導數例1利用導數的定義求函數的導數：(1)f(x)在x1處的導數；(2)f(x).變式遷移1求函數y在x0到x0x之間的平均變化率，并求出其導函數探究點二導數的運算例2求下列函數的導數：(1)y(1)；(2)y；(3)yxex；(4)ytan x.變式遷移2求下列函數的導數：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y.探究點三求復合函數的導數例3(20xx·莆田模擬)求下列函數的導數：(1)y(1sin x)2；(2)y；(3)yln；(4)yxe1cos x

6、.變式遷移3求下列函數的導數：(1)y；(2)ysin2；(3)yx.探究點四導數的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點p(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過點p(2,4)的切線方程；(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程變式遷移4求曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程1準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面：(1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，若直線與曲線只有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點(2)曲線未必在其切線的“同側”，如曲線yx3在其過(0,0)點的切線y0的兩側2曲線的切線的求法：若已知

7、曲線過點p(x0，y0)，求曲線過點p的切線則需分點p(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解(1)點p(x0，y0)是切點的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當點p(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標p(x1，f(x1)；第二步：寫出過p(x1，f(x1)的切線方程為yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：將點p的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點p(x0，y0)的切線方程3求函數的導數要準確地把函數分割為基本初等函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數在求導過程中，要

8、仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，聯系基本初等函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要適當變形 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知函數f(x)2ln(3x)8x，則 的值為 ()a10b10c20d202(20xx·溫州調研)如圖是函數f(x)x2axb的部分圖象，則函數g(x)ln xf(x)的零點所在的區間是 ()a.b(1,2)c.d(2,3)3若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為 ()a4xy30bx4y50c4xy30dx4y304(20xx·遼寧)已知點p在曲線y上，為曲線在點p處的切線的傾斜角，則的取值范圍

9、是 ()a.b.c.d.5(20xx·珠海模擬)在下列四個函數中，滿足性質：“對于區間(1,2)上的任意x1，x2 (x1x2)，|f(x2)f(x1)|<|x2x1|恒成立”的只有 ()af(x)bf(x)|x|cf(x)2xdf(x)x2題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為st3t22t，那么速度為零的時刻是_7若點p是曲線f(x)x2ln x上任意一點，則點p到直線yx2的最小距離為_8設點p是曲線yx23x3上的一個動點，則以p為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是_三、解答題(共38分)9(12分

10、)求下列函數在xx0處的導數(1)f(x)，x02；(2)f(x)，x01.10(12分)(20xx·保定模擬)有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度11(14分)(20xx·平頂山模擬)已知函數f(x)x2aln x(ar)(1)若函數f(x)的圖象在x2處的切線方程為yxb，求a，b的值；(2)若函數f(x)在(1，)上為增函數，求a的取值范圍自主梳理1.2.（1）(2)切線的斜率切線斜率的取值范圍3.y或f(x)40x1cos xsin xaxln aex5(1)f(

11、x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我檢測1c2.c3.a4.d51解析f(x)f()sin xcos x，f()1.f()1.課堂活動區例1解題導引(1)用導數定義求函數導數必須把分式中的分母x這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現x，從而分子分母相約分(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”(3)注意在某點處的導數與導數定義式的區別：；(4)用導數的定義求導的步驟為：求函數的增量y；求平均變化率；化簡取極限解(1)，.(2)，.變式遷移1解y，.y'=.

12、例2解題導引求函數的導數要準確地把函數分割為基本函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形解(1)y(1)，y.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.變式遷移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3·ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解題導引(1)求復合函數導數的思路流

13、程為：(2)由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程解(1)y(1sin x)22(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x2cos xsin 2x.(2)y(3)y(ln)·()·(x21)·(x21).變式遷移3解(1)設u13x，yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(2)設yu2，usin v，v2x，則yxyu·uv·

14、;vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(3)y(x)x·x().例4解題導引(1)求曲線的切線要注意“過點p的切線”與“在點p處的切線”的差異；過點p的切線中，點p不一定是切點，點p也不一定在已知曲線上，而在點p處的切線，必以點p為切點(2)求函數對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數在該點處的導數即可(3)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決解(1)yx2，在點p(2,4)處的切線的斜率ky|x24.曲線在點p(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.(2)設曲線yx3與過點p(2,4)的切線相切于點a，則切線

15、的斜率ky|xx0x.切線方程為yx(xx0)，即yxxx.點p(2,4)在切線上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設切點為(x0，y0)，則切線的斜率為kx1，解得x0±1，故切點為，(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1，即3x3y20和xy20.變式遷移4解f(x)3x26x2.設切線的斜率為k.(1)當切點是原點時kf(0)2，所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0)，則有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲線的切線方程為yx.綜上，曲線f(x)x33x22x過原點的切線方程為y2x或yx.課后練習區1c2.c3.a4.d5.a61秒或2秒末7.812x3y809解(1)f(x)，f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(ln x)x1，f(1).(12分)10解設經時間t秒梯子上端下滑s米，則s5，當下端移開1.4 m時