1、高中數學選修精品教學資料習題課(2)一、選擇題12013·福建高考設函數f(x)的定義域為r,x0(x00)是f(x)的極大值點,以下結論一定正確的是()a. xr,f(x)f(x0)b. x0是f(x)的極小值點c. x0是f(x)的極小值點d. x0是f(x)的極小值點解析：極大值點不一定為最大值點,故a錯；yf(x)與yf(x)關于y軸對稱,故x0為f(x)的極大值點,b錯；yf(x)與yf(x)關于x軸對稱,故x0為f(x)的極小值點,x0不一定為f(x)的極小值點,c錯；yf(x)與yf(x)關于原點對稱,x0是f(x)的極小值點,故d對答案：d2函數yf(x)的定義域為r

2、,導函數yf(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)()a. 無極大值點,有四個極小值點b. 無極小值點,有四個極大值點c. 有兩個極大值點,兩個極小值點d. 有三個極大值點,一個極小值點解析：f(x)0的根分別如題圖a、c、e、g.x<a時,f(x)>0,a<x<c時f(x)<0,a為極大值點又c<x<e時,f(x)>0知c為極小值點,e<x<g時,f(x)<0知e為極大值點,g<x時,f(x)>0知g為極小值點故選c.答案：c3若x2與x4是函數f(x)x3ax2bx的兩個極值點,則有()aa2,b4ba3,b24c

3、a1,b3da2,b4解析：f(x)3x22axb,依題意有x2和x4是方程3x22axb0的兩個根,所以有24,2×4,解得a3,b24.答案：b4函數f(x)x2cosx在區間,0上的最小值是()ab2c.d. 1解析：f(x)12sinx,x,0,sinx1,0,2sinx0,2f(x)12sinx>0在,0上恒成立f(x)在,0上單調遞增f(x)min2cos().答案：a5若f(x)x3ax24在(0,2)內單調遞減,則實數a的取值范圍是()aa3ba3ca3d0<a<3解析：f(x)3x22ax,f(x)在(0,2)內遞減,a3,故選a.答案：a6201

4、3·湖北高考已知a為常數,函數f(x)x(lnxax)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),則()a. f(x1)>0,f(x2)>b. f(x1)<0,f(x2)<c. f(x1)>0,f(x2)<d. f(x1)<0,f(x2)>解析：f(x)lnx2ax1,依題意知f(x)0有兩個不等實根x1,x2.即曲線y11lnx與y22ax有兩個不同交點,如圖由直線yx是曲線y1lnx的切線,可知：0<2a<1,且0<x1<1<x2.a(0,)由0<x1<1,得f(x1)x1(lnx1ax1)

5、<0,當x1<x<x2時,f(x)>0,當x>x2時,f(x)<0,f(x2)>f(1)a>,故選d.答案：d二、填空題7函數f(x)x33x21在x_處取得極小值解析：由f(x)3x26x0,解得x0或x2.列表如下：x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)極大值極小值當x2時,f(x)取得極小值答案：28設p：f(x)lnx2x2mx1在(0,)上是遞增的,q：m4,則p是q的_條件解析：f(x)lnx2x2mx1在(0,)上是遞增的,可知在(0,)上f(x)4xm0恒成立,而4x4,當且僅當x時等號成立,(4x)min4,故只需

6、要4m0,即m4即可故p是q的充要條件答案：充要9方程30的解有_個(填數字)解析：設f(x)3,x(0,),則f(x)<0,所以f(x)在(0,)上單調遞減又f(9)>0,f(100)103<0,所以曲線f(x)在(0,)上與x軸只有1個交點,即原方程只有1個解答案：1三、解答題102013·課標全國卷已知函數f(x)ex(axb)x24x,曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a,b的值；(2)討論f(x)的單調性,并求f(x)的極大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4,f(0)4.故b4,ab8.從而a4,b

7、4.(2)由(1)知,f(x)4ex(x1)x24x,f(x)4ex(x2)2x44(x2)(ex)令f(x)0得,xln2或x2.從而當x(,2)(ln2,)時,f(x)>0；當x(2,ln2)時,f(x)<0.故f(x)在(,2),(ln2,)單調遞增,在(2,ln2)單調遞減當x2時,函數f(x)取得極大值,極大值為f(2)4(1e2)11設函數f(x)a2lnxx2ax,(a>0)(1)求f(x)的單調區間；(2)求所有實數a,使e1f(x)e2對x1,e恒成立注：e為自然對數的底數解：(1)因為f(x)a2lnxx2ax,其中x>0,所以f(x)2xa.由于a

8、>0,所以f(x)的增區間為(0,a),減區間為(a,)(2)由題意得,f(1)a1e1,即ae,由(1)知f(x)在1,e內單調遞增,要使e1f(x)e2對x1,e恒成立,只要解得ae.122013·湖南高考已知函數f(x)ex.(1)求f(x)的單調區間；(2)證明：當f(x1)f(x2)(x1x2)時,x1x2<0.解：(1)函數f(x)的定義域為(,)f(x)()exexexex.當x<0時,f(x)>0；當x>0時,f(x)<0.所以f(x)的單調遞增區間為(,0),單調遞減區間為(0,)(2)當x<1時,由于>0,ex>0,故f(x)>0；同理,當x>1時,f(x)<0.當f(x1)f(x2)(x1x2)時,不妨設x1<x2,由(1)知,x1(,0),x2(0,1)下面證明：x(0,1),f(x)<f(x),即證ex<ex.此不等式等價于(1x)ex<0,令g(x)(1x)ex,則g(x)xex(e2x1)當x(0,1)時,g(x)<0,g(x)單調遞減,從而g(x