1、第二節第二節 數列的極限數列的極限一、數列極限的定義一、數列極限的定義二、收斂數列的性質二、收斂數列的性質三、小結、作業三、小結、作業1/28“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、數列極限的定義2/28r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas3/28 一列有序排列的數一列有序排列的數 ,21nxxx （1） 稱為一個稱為一個（無窮）數列無窮）數列，其中的每個數稱為數列

2、的，其中的每個數稱為數列的項項，nx稱為稱為第第 n 項項或或通項通項(一般項一般項)。數列。數列(1)記為記為 1nnx或或nx。 例如例如, 8 , 4 , 2,81,41,21,2 1 nn簡簡記記為為。簡記為簡記為21 n;,2 n?；蚧? n;,21n4/28 例例1 1（1） a, aq, aq2, aq3, , aqn-1,. 其中其中a,q為常數且為常數且q 0。一般項公式為。一般項公式為 xn = aq n-1。此數列簡記為。此數列簡記為aqn-1 或或aqn-1 。1n;,)1( , 1 , 1, 11 n:)1(1 n:)1(1nnn 。,)1(,34,21, 21nnn

3、 （2）（3）5/281. 在幾何上一個數列可看成實數軸上的一個在幾何上一個數列可看成實數軸上的一個點點 列，也可看成實數軸上的一個動點列，也可看成實數軸上的一個動點1x2x3x4xnx注：注：2. 數列可看成是以自然數為自變量的函數：數列可看成是以自然數為自變量的函數：xn = f ( n ) .6/287/28數列極限的直觀定義 對對 xn: x1 , x2 , x3 , , xn , 若隨著若隨著 n 的無限增大的無限增大(記作記作 n )， 有有xn無無限接近某個定數限接近某個定數 a， (允許某些允許某些xn甚至全部甚至全部 xn等于等于a)， 則稱則稱 xn 有極限有極限(為為a)

4、或或收斂收斂(于于 a)，記作記作: xn= a 或或 xn a (n )nlim8/28例例2 2 討論 的極限解解 因為因為 xn= = 1+ 所以所以 xn 1 (n )，即，即 xn =1。nnn 1)1( nnn 1)1( nn 1)1( nlim問題問題: 怎樣用數學語言來精確地刻劃數列極限的概念， 即表達：隨著項數n的無限增大，有項xn無限接近(或等于)a？9/28 隨著n ，有xn無限接近(或等于)常數a，也就是 | xn-a| 無限接近(或等于)0 任給定 | xn-a| 的上界 ，不論它有多么小，只要n足夠大（n 某個n），總可以使| xn-a| n 時的一切時的一切xn,

5、 ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱數列那末就稱數列 xn 有有極限極限（為（為 a）, ,或者稱數列或者稱數列 xn 收斂收斂（于（于 a）, ,記為記為 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果數列沒有極限如果數列沒有極限, 就說數列是就說數列是發散發散的的.11/28注意： 1） （ 0）必須可以任意小。 2）n與 有關。 3）若n( )存在，則必不唯一。 4）幾何解釋：x2 nx1 nx 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內內都落在都落在所有的點所有的點時時當當naaxnnn 12/28 5) 收斂性和極限值都與數列

6、中有限個項無關?？梢匀我飧膭印⒃鰟h數列中有限個項，不影響其收斂性和極限值。 數列極限的定義未給出求極限的方法數列極限的定義未給出求極限的方法.注意：注意：13/28例例3. 1)1(lim 1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n即即所以所以,，取取1 ,1max n,時時則當則當nn 1)1(1nnn總總有有. 1)1(lim1 nnnn.證畢證畢14/28特別,1001 給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001 給定給定,1000時時只要只要 n。有有1000011 nx,1

7、00001 給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有注意注意: :用定義證數列極限存在時用定義證數列極限存在時, 關鍵是任意給關鍵是任意給定定 說明相應的說明相應的n存在存在, 但不必求出但不必求出最小的最小的n., 0 15/28例例4 4 對xn= ， 證明 。證證 任給定 0，因為 | xn - 0| = 而所以可取 n( ) = max , 1。證畢。 若由可取n( )= max -1 , 1。證畢。2)1()1( nn0lim nnxnn1)1(12 11 nn111)1(12 nn116/28例例5 5.lim),(cxccxnnn 證明證明為常數為常數設設證證

8、cxn cc ,成立成立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數對于一切自然數.limcxnn 說明說明: : 常數列的極限等于同一常數常數列的極限等于同一常數.證畢證畢17/28例例6 6. 1, 0lim qqnn其其中中證證明明證證, 0 任給任給,0 nnqx要要使使,lnln qn即即,1,lnlnmaxqn 可取可取,時時則當則當nn ,0 nq就有就有證畢。證畢。. 0lim nnq,lnlnqn 只只要要;00limlim nnnq則則, 0 q若若, 10 q若若18/28例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設設證證, 0 任給任給.li

9、maxnn ,0,lim 對對axnn, axnnnn時時，恒恒有有使使得得當當axaxaxnnn 從而有從而有aaxn ，a .證證畢畢19/28二、收斂數列的性質二、收斂數列的性質1、有界性有界性定定義義: 對對數數列列nx， 若若存存在在正正數數m， 使使得得一一切切正正 整整數數n， 恒恒有有mxn 成成立立，則則稱稱數數列列xn有有界界; 否否則則， 稱稱為為無無界界， 例如例如,，數列數列1 nnxn，數列數列nnx2 從從幾幾何何上上看看： 有界有界；無界。無界。數數列列xn對對應應于于點點列列可可落落于于某某個個有有界界閉閉區區間間內內。 20/28定理定理1 1 收斂的數列必

10、定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axnnnn時時，恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxmn記記,mxnn 皆皆有有則則對對一一切切自自然然數數 證證畢畢。有有界界故故 .nx推論推論 無界數列必定發散無界數列必定發散. .21/28例例8 8 n+(-1)nn: 0, 4, 0, 8, 0, 12, 是無界的是無界的, 注意注意收斂收斂有界有界;發散發散無界無界.收斂收斂有界有界;發散發散無界無界. n+(-1)nn 發散發散. 22/28例例9 9.)1(1是是發發散散的的證證明明數數列列 n

11、nx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成成立立有有時時使使得得當當 axnnnn),21,21(, aaxnnn時時即即當當區間長度為區間長度為1.,1, 1 兩兩個個數數無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的區間內的區間內. xn發散發散. 證畢。證畢。23/282、唯一性、唯一性定理定理2 2 每個收斂的數列只有一個極限每個收斂的數列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,，使得，使得，任給定任給定21,0nn ;1 axnnn時，恒有時，恒有;2 bxnnn時，恒有時，恒有當當

12、,max21nnn 取取時，有時，有則當則當nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數列極限唯一故收斂數列極限唯一.證畢。證畢。24/283、子數列的收斂性、子數列的收斂性 ）（或或的的的的一一個個數數列列稱稱為為原原數數列列到到中中的的先先后后次次序序，這這樣樣得得這這些些項項在在原原數數列列保保持持中中任任意意抽抽取取無無限限多多項項并并定定義義：在在數數列列子子列列子子數數列列nnnxxx： 1nnx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 項，顯然，項，顯然，中卻是第中卻是第在原數列在原數列而而項，項，是第

13、是第中，一般項中，一般項在子數列在子數列注意：注意：例如，例如，,2121knnnxxxxx： 1knkx25/28定理定理3 3 數列數列 xn 收斂于收斂于a xn 的任一子數列的任一子數列都收斂于都收斂于a證證 “” 的任一子數列的任一子數列是數列是數列設數列設數列nnxxk,limaxnn .,00 axnnnn恒有恒有時時，使，使，任給定任給定,nk 取取,時時則當則當kk ，有有nnnnnkk . axkn.limaxknk “”易證易證(略略)。證畢。證畢。26/28推論推論 若xn有發散子列或有兩個收斂于不同極限的子列 xn發散.例例1010 (1) (1) x xn n =

14、(-1) = (-1)n n 有子列有子列 x x2n2n =1 =11 1， xx2n-12n-1=-1 =-1 -1-1 ，(2)(2) x xn n = n+(-1) = n+(-1)n nn n 有子列有子列 x x2n2n=4n =4n 無界無界, , x x2n2n 發散發散. . x xn n 發散發散. . (-1)(-1)n n 發散發散. .27/28三、小結三、小結1.1.數列數列: :定義，幾何表示，主要定義，幾何表示，主要研究其變化規律。研究其變化規律。2.2.數列極限：數列極限： 直觀描述，直觀描述，精確定義，幾何意義。精確定義，幾何意義。3.3.收斂數列的性質收斂

15、數列的性質: : 有界性，唯一性，數列與子數列的收斂性的有界性，唯一性，數列與子數列的收斂性的關系。關系。28/28作 業習題1-2 2; 3 (3); 4; 5; 6一、一、 利用數列極限的定義證明利用數列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n 二、二、 設數列設數列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim nnnyx. . 練練 習習 題題1 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、數

16、列極限的定義1 1、割圓術：、割圓術：“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、數列極限的定義“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、數列極限的定義“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、數列極限的定義“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、數列極限的定義“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、數列極限的定義“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又