1、2021年11月14日星期日12.2 2.2 極限的性質與運算法則極限的性質與運算法則一、一、性質性質性質性質1(唯一性唯一性) 若極限若極限lim f(x)存在，則極限唯一。存在，則極限唯一。注注 此定理對數列也成立。此定理對數列也成立。性質性質2(2(局部有界性局部有界性) )，存在，則存在，則若極限若極限0)(lim0 xfxx內有界。內有界。在在使使)(u)(00 xxf注注1、其他類型的極限對應的鄰域由定義中、其他類型的極限對應的鄰域由定義中x的變化范的變化范圍確定。圍確定。2、此處只說有一個空心鄰域，至于空心鄰域有多大由、此處只說有一個空心鄰域，至于空心鄰域有多大由具體函數確定。具

2、體函數確定。2021年11月14日星期日2性質性質3(局部保號性局部保號性)，則，則若若00)(lim0axfxx。，使使0)()(u00 xfxx性質性質4，使，使，若，若已知已知)(u0)(lim000 xxaxfxx。，則，則00)(axf注注。，結果仍是，結果仍是若已知中是若已知中是00)(axf性質性質5，使，使，若，若，已知已知0)(lim)(lim00bxgaxfxxxx。，則，則，baxgxfx)()()(ux002021年11月14日星期日3二、二、四則運算法則四則運算法則 根據極限的定義根據極限的定義, 只能驗證某個常數只能驗證某個常數 a是否為某個函數是否為某個函數(x)

3、的極限的極限, 而不能求出函數而不能求出函數(x)的極限的極限. 為了解決極限的計為了解決極限的計算問題算問題, 下面介紹極限的運算法則下面介紹極限的運算法則; 并利用這些法則和一些并利用這些法則和一些已知結果來求函數極限。已知結果來求函數極限。定理定理. 0b,ba)x(g)x( flim)3(;ba)x(g)x( flim)2(;ba)x(g)x( flim)1(,b)x(glim,a)x( flim 其中其中則則設設2021年11月14日星期日4證證.b)x(glim,a)x( flim . 0, 0.b)x(g,a)x( f 其中其中)ba()x(g)x( f . 0.)1( 成立成立

4、)ba()x(g)x( f ab)b)(a( )ba(. 0.)2(成立成立ba)x(g)x( f baba )b(bab . 0ab . 0b)b(b2 0)b(bab .)3(成立成立2021年11月14日星期日5推論推論1 1).x( flimc)x(cflim,c,)x( flim 則則為常數為常數而而存在存在如果如果常數因子可以提到極限記號外面常數因子可以提到極限記號外面. .)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果推論推論2 2)x(falim)x(falim)x(falim)x(fa)x(fa)x(falim),n, 2

5、 , 1i (a,)x(flimnn2211nn2211ii 則則為常數為常數而而存在存在如果如果推論推論3 3)x(flim)x(flim)x(flim)x(f)x(f )x(flim),n, 2 , 1i ()x(flimn21n21i 則則存在存在如果如果推論推論4 4.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 則則是正整數是正整數而而存在且不為零存在且不為零如果如果推論推論5 52021年11月14日星期日6注注應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為應用時必須注意條件，如極限存在、分母不為零、偶次根號下非負等；零、偶次根號下非負等；定理和推論中定理和推論中c、n、a

6、都是與自變量無關的常量。都是與自變量無關的常量。 如如111lim11limnnnnnn(3)(3)參加求極限的函數應為有限個參加求極限的函數應為有限個。 2021年11月14日星期日7例例。求極限求極限nnnxxaxaxa1100lim例例).nnn2n1(lim222n 求求2021年11月14日星期日8等情等情、即不會出現即不會出現當代入結果為一個數當代入結果為一個數01000(0況況)時可直接代入時可直接代入 (其理論根據是初等函數的連續性，我們在這其理論根據是初等函數的連續性，我們在這一章的最后一節學習一章的最后一節學習) 。例例。求極限求極限2arctan)2()43lg(2lim

7、2xxxxx 利用極限的運算性質和一些簡單的極限結果，可以計算一利用極限的運算性質和一些簡單的極限結果，可以計算一些復雜的函數極限。下面總結一下求函數極限的基本方法。些復雜的函數極限。下面總結一下求函數極限的基本方法。 1、代入法代入法答案答案2注意注意 代入時把所有代入時把所有x都換成都換成x0，不能只代入一部分。，不能只代入一部分。2021年11月14日星期日9例例1 1.5x3x1xlim232x 求求解解)5x3x(lim22x 5limx3limxlim2x2x22x 5limxlim3)xlim(2x2x22x 52322 , 03 5x3x1xlim232x )5x3x(lim1

8、limxlim22x2x32x .37 3123 2021年11月14日星期日10解解)3x2x(lim21x , 0 商的法則不能用商的法則不能用)1x4(lim1x 又又, 03 1x43x2xlim21x . 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例2 2.3x2x1x4lim21x 求求.3x2x1x4lim21x 2021年11月14日星期日112、消零法消零法因因子子。因因子子或或時時，可可考考慮慮盡盡可可能能化化去去或或當當出出現現000若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，若分子分母都是多項式且都趨于零時，可將其分解因式，再消去公因式，直至可直

9、接代入。再消去公因式，直至可直接代入。例例。求極限求極限121672016lim23232xxxxxxx計算過程計算過程2021年11月14日星期日12解解例例3 3.3x2x1xlim221x 求求.,1x分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時.1x后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 )1x)(3x()1x)(1x(lim3x2x1xlim1x221x 3x1xlim1x .21 2021年11月14日星期日133、消最大公因子法消最大公因子法。求極限求極限74132lim3525xxxxx例例練習練習。求極限求極限1273lim534nnnn答案答案

10、 0同樣都是多項式，若分子、分母都趨于無窮大，則分子、同樣都是多項式，若分子、分母都趨于無窮大，則分子、分母分母除以最高次數的項除以最高次數的項。計算過程計算過程 很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數很容易可以看出，這一類的極限只和分子、分母的次數以及以及(次數相等時次數相等時)最高次項的系數有關。最高次項的系數有關。2021年11月14日星期日14例例5 5.6xx41xx2lim2324x 求求解解0112614lim1264lim42422423xxxxxxxxxxx 6xx41xx2lim2324x例例4 4.1x4x75x3x2lim2323x 求求解解33x2323xx

11、1x47x5x32lim1x4x75x3x2lim .72 2021年11月14日星期日15例例6 6).nnn2n1(lim222n 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時,n 2n222nnn21lim)nnn2n1(lim 2nn)1n(n21lim )n11(21limn .21 先變形再求極限先變形再求極限.2021年11月14日星期日16實際實際上是上是我們我們下一下一節將節將要學要學到的到的備忘備忘時，時，000bamnmnbamn不存在不存在000mmmnnnxbxbxbaxaxa110110lim消極大公因子法對分子、分母含指數形式也適用。消極大公因子法對分子、

12、分母含指數形式也適用。例例。求極限求極限113)2(3)2(limnnnnn計算過程計算過程。還是還是楚是楚是求分式極限，一定看清求分式極限，一定看清00注注2021年11月14日星期日174、有理化法有理化法若分子或分母有根號若分子或分母有根號(特別是有根號相減特別是有根號相減)時，可將之有理時，可將之有理 化?；＠?。求極限求極限31145limxxx計算過程計算過程練習練習。求極限求極限)()(limbxaxbxaxx答案答案ba 當當x-時結果為時結果為-(a+b)，故，故x時極限不存在時極限不存在2021年11月14日星期日18例例7 7.2xx22xlim2x 求求解解 x22x

13、2xx22xx22xlim2x 原式原式 x22x2xx22xlim2x x22x1lim2x x2lim2xlim12x2x 41 2021年11月14日星期日195、通分法通分法式式。，可可考考慮慮通通分分化化為為兩兩個個分分式式相相減減，若若是是00例例。求極限求極限xxx1112lim21答案答案21練習練習。求極限求極限311311limxxx答案答案 -12021年11月14日星期日206、變量代換法變量代換法例例方便時可考慮變量代換以簡化計算方便時可考慮變量代換以簡化計算(注意變化趨勢也隨之注意變化趨勢也隨之改變改變)。、求極限求極限)n(11lim1nmxxmnx練習練習。求極

14、限求極限1212lim110 xxx答案答案 不存在。不存在。計算過程計算過程提提 示示取取t滿足滿足xt=1，則，則x0-時時t-；x0+時時t+。2021年11月14日星期日217、其他其他必要時會用到以前所學的公式或其他計算技巧。必要時會用到以前所學的公式或其他計算技巧。例例。求極限求極限) 1(1321211limnnn答案答案 1練習練習。求極限求極限nnn242) 12(31lim答案答案 12021年11月14日星期日22 。1032022)1612()2(lim1xxxxx 。13)21(lim2222xxxx 。)(lim3xxxxx 。)81221(lim432xxx 。x

15、x1arctanlim50計算極限計算極限。、，求，求若若babxxaxx0)1(lim2思考題思考題2021年11月14日星期日121672016lim23232xxxxxxx)3()2()5()2(lim222xxxxx735lim2xxx x3-x2-16x-20= x3+2x2-3x2-6x-10 x-20=x2 (x+2) -3x (x+2) -10 (x+2) = (x+2) (x2 -3x-10)= (x+2) (x+2) (x-5) 注意從高次冪到低次冪注意從高次冪到低次冪依次配項依次配項2021年11月14日星期日分子、分母同除以最分子、分母同除以最高次冪高次冪5x74132

16、lim3525xxxxx5253714132limxxxxx217lim1lim41lim3lim25253xxxxxxxx2021年11月14日星期日113)2(3)2(limnnnnn1)32(31)32(31lim1nnn1)32(lim31)32(lim311nnnn31分子、分母同除以分子、分母同除以“最大最大項項”。也可以也可以)3(31nn 2021年11月14日星期日平方差公式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)31145limxxxxxxxxxxxx451)1)(1 ()45)(45(lim32332331xxxxxx4511)4(5lim3231xxxx451lim3231523立方差公式立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b)2021年11月14日星期日mnxxx11lim1為把兩個根號同時去掉為把兩個根號同時去掉,做變量代換做變量代換，即即)(mnmnxttx當當x1時時t1，因此，因此nmttt11lim1)1)(1()1)(1(lim111 nmtttttttnm消零法。例如對分子：消零法。例如對分子： -tm+1= -tm +tm-1 tm-1 +tm-2 - t