1、一、無窮積分收斂與發散概念一、無窮積分收斂與發散概念二、無窮積分與級數二、無窮積分與級數l 基本積分公式基本積分公式 ckukdu)1( cuduu1)2(1 cuduuln1)3( caaduauuln)4( cedueuu)5(基本積分公式基本積分公式 cuudusincos)6( cuuducossin)7( cuudutansec)8(2 cuuducotcsc)9(2 cuuduarcsin1)12(2 cuuduarctan1)13(2 cuuduusectansec)10( cuuduucsccotcsc)11(一、無窮積分收斂與發散概念一、無窮積分收斂與發散概念1 1 定義定義

2、1 1 設函數設函數 在區間在區間 , a（或（或 ),( , b有定義，符號有定義，符號dxxfa )( （或（或)(,)(dxxfdxxfb 稱為函數稱為函數 的的無窮積分無窮積分。定義定義2 2 設設,aprp 函數函數 在在 可積，可積，,pa若極限若極限 papdxxf)(lim存在存在則稱無窮積分則稱無窮積分dxxfa )(不存在不存在)，收斂收斂 （發散），（發散），)(xf)(xf)(xfdxxfa )(.)(lim)(dxxfdxxfpaap 其極限稱為無窮積分其極限稱為無窮積分 ( (的值的值),),即即定義定義3 3 設設 函數函數f(xf(x) )在在q,bq,b ,b

3、qrq 若極限若極限 bqqdxxf)(lim存在存在 bdxxf)(收斂收斂 bdxxf)(（的值），即（的值），即.)(lim)(dxxfdxxfbqqb 可積，可積，（不存在），（不存在），則稱無窮積分則稱無窮積分其極限稱為無窮積分其極限稱為無窮積分(發散發散)，定義定義4 4 若若 兩個無窮積分兩個無窮積分,rc dxxfc )(dxxfc )(都收斂都收斂 dxxf)(則稱無窮積分則稱無窮積分 收斂收斂.)()()(dxxfdxxfdxxfcc 與與（至少有一個發散），（至少有一個發散），(發散發散)，且且幾何意義幾何意義:axy)(xfy 例例1 1 求下列無窮積分求下列無窮積分:

4、 : 0;dxex 0;2dxxex例例2 2 求下列無窮積分求下列無窮積分: :;102 xdx;102 xdx.12 xdx2. 2. 例題例題.)(ln132dxxx 注注: : 若要考察若要考察 在區間在區間 的可積性的可積性)(xf),(要驗證下面兩個極限要驗證下面兩個極限 papdxxf)(lim bqqdxxf)(lim與與都存在都存在. .計算方法計算方法: 若函數若函數 在區間在區間存在原函數存在原函數 ,即即)(xf則則),a)(xf),()( xfxf dxxfa )(dxxfpap )(limpapxf)(lim )()(limafpfp )()(aff axf)(3.

5、練習練習(1) ;)1(12 xxdx;122)2(2 xxdx;11)3(1arctan2dxexx 例例3 3 判別無窮積分判別無窮積分)0( axdxa 例例4 4 判別無窮積分判別無窮積分 2)(ln xxdx的斂散性的斂散性. .的斂散性的斂散性.二二. .無窮積分與級數無窮積分與級數,)(dxxfa ,)(dxxfb .)(dxxf ,)(dxxf dxxfb )(的斂散性都可歸結為的斂散性都可歸結為形如形如 的無窮積分的無窮積分. .dxxfa )(收斂收斂收斂收斂 發散發散發散發散 axdx 11nn 1 1 定理定理1 1 無窮積分無窮積分 收斂收斂 adxxf)(收斂于同一

6、收斂于同一數，且數，且 11)(kaakkdxxf對任意數列對任意數列 有有 ,nnan ), aan而而 級數級數,lim,1 nnaaa.)()(11 kaaakkdxxfdxxf證明證明必要性必要性 已知無窮積分收斂，即已知無窮積分收斂，即dxxfdxxfnaana 1)(lim)( nkaankkdxxf11)(lim.)(11 kaakkdxxf充分性充分性已知對任意數列已知對任意數列 ,na而而,1aa nnalim時，時， 級數級數 收斂收斂 11)(kaakkdxxf于同一個數，即它的部分和數列于同一個數，即它的部分和數列 nkaakkdxxf11)( dxxfnaa 1)(或或收斂于同一個數。由海涅極限定理，無窮收斂于同一個數。由海涅極限定理，無窮積分積分 收斂，收斂， adxxf)(dxxfdxxfnaana 1)(lim)(.)(11 kaakkdxxf收斂收斂, adxxf)(,)()(