1、第一節第一節 向量及其線性運算向量及其線性運算 一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系 二、向量與向量的線性運算二、向量與向量的線性運算 三、向量的坐標表示式三、向量的坐標表示式 四、用坐標表示向量的模和方向余弦四、用坐標表示向量的模和方向余弦第六章 向量代數與空間解析幾何空間直角坐標系空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符三個坐標軸的正方向符合合右手系右手系. .一、空間直角坐標系x xy yzoxyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限空間的點空間的點有序數組有序數組( , , )x y z11 特殊點的表示特殊點的表示:(0,0,0)o( , ,

2、 )m x y z xyzo( ,0,0)p x(0, ,0)qy(0,0, )rz( , ,0)a x y(0, , )by z( , , )c x o z坐標軸上的點坐標軸上的點,p,q,r坐標面上的點坐標面上的點,a,b,cxyzo 1mpnqr 2m12?dm m222212,dm ppnnm兩點間的距離公式兩點間的距離公式121,m pxx21,pnyy221,nmzz22212dm ppnnm22212212121.m mxxyyzz空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為( , , ) ,m x y z(0,0,0)odom222.xyz點條標

3、軸設點軸為點則點標為線長軸 例例 1 1 求求m m（x x, ,y y, ,z z）到到三三坐坐的的距距離離。 解解 m m在在x x的的投投影影p p，p p的的坐坐p p（x x，0 0，0 0）, ,且且段段m mp p的的度度就就是是m m到到x x的的距距離離. .由由（1 1）式式，得得22|00mpxxyzxy222（） （） （） 同理可得，點同理可得，點到到軸和軸和軸的距離分別為軸的距離分別為myz2222|,|,mqxzmrxy 其中其中,q r分別是點分別是點m在在yz軸和軸和軸上的投影。軸上的投影。例例 2 2在在y軸上求與點軸上求與點y(1,3,7)(5,7,5)a

4、b和等距離的點。等距離的點。解解 因為所求的點在因為所求的點在軸上，故可以設它為軸上，故可以設它為(0,0),my依題意有依題意有| |mamb即有即有03700750yy 222222（1） （） （）（5） （） （） 解得解得2y 因此，所求的點為因此，所求的點為(0, 2,0).my向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：1m2m a模長為模長為1 1的向量的向量. .零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：二、向量與向量的線性運算12m m 12m m 0a 或或或或或或1、向量的概念120m m 自由向量

5、：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .aabaa1 1 加法加法：abcabc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc| |cab分為同向和反向分為同向和反向bac|cab（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）2 2、向量的線性運算、向量的線性運算1 1、向量的加減法、向量的加減法向量的加法符合下列運算規律：向量的加法符合下列運算規律：（1 1）交換律：）交換律：.ab

6、ba（2 2）結合律：）結合律：()abcabc().abc（3 3）()0.aa 2 2 減法減法()abab abbbc()cabab ababab(1)0,|aa(2)0,0a(3)0,| | |aaa2a12a向量與數的乘法向量與數的乘法數與向量的乘積符合下列運算規律：數與向量的乘積符合下列運算規律：（1）結合律：）結合律：()()aa ()a（2）分配律：）分配律：()aaa()abab0.ababa定理設向量，那末向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數 ，使兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系0aa設表示與非零向量同方向的單位向量，按照向量與數的乘積的規定，按照向量與數的乘積的

7、規定，0|aa a 0.|aaa上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量. 例例3 3 已知平行四邊形已知平行四邊形abcdabcd的對角線向量的對角線向量為為 ， , ,試用向量試用向量a a和和b b表示向量表示向量,aca bdb 解解 設設 的交點為的交點為o o（圖），由于平（圖），由于平行四邊形對角線互相平分，故行四邊形對角線互相平分，故.abda 和,ac bd 1111,2222aoaca boodbdb12()12abaoobaobodaadaood 根 據 三 角 形 法 則 ，

8、 有 （ a-b） , - （ a+b） .三、向量的坐標表示式三、向量的坐標表示式向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式,xyzaaaa ,xyzbbbb,xxyyzzabababab()()() ;xxyyzzab iabjab k,xxyyzzabababab()()() ;xxyyzzab iabjab k,xyzaaaa()()() .xyza iaja kxyzo( , , )m x y z (0,0, )rz( ,0,0)p x(0, ,0)qy如圖所示：如圖所示：向量的坐標表示向量的坐標表示rxiyjzk則有r, ,rx y z

9、上式稱為向量的坐標表示式記作：設向量設向量( ,)xyzra a a向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式222|xyzaaaa1、向量的模、向量的模四、用坐標表示向量的模和方向余弦四、用坐標表示向量的模和方向余弦空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：0,a 0,b ab( , )a b( , )b a類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角. .特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在它們的夾角可在0 0與與 之間任意取值之間任意取值. .(0)2 2、方向余弦、方向余弦非零向量非零向量

10、 的方向角的方向角：a非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角. .0,0,0.xyzo 1m2mxyzo 1m2m由圖分析可知由圖分析可知|cosxaa|cosyaa|coszaa向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .pqr22212111m mm pm qm r2220 xyzaaa當當 時，時，222cos,xxyzaaaa222cos,yxyzaaaa222cos.zxyzaaaa向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式222coscoscos1方向余弦的和方向余弦的和0a|aa

11、cos , cos, cos .特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為例例4 4 已知點已知點 求向量求向量11(2,1,3)(3,0,1).mm和方向相同的方向相同的12m m12m m的模、方向余弦及與的模、方向余弦及與單位向量單位向量. .解解 由（由（2 2）式和（）式和（3 3）式，得）式，得12(32,03)(1,1, 2),m m（-1），1-故故22212116 ,112c o s, c o s, c o s.666mma（ - 2 ）由（由（1111）式知，向量）式知，向量(cos ,cos ,cos )ea是與是與a a方向方向相同的單位向量，所以與相同的單位向量，所以與12m m 方向相同的單位方向相同的單位向量為向量為112(,).666e 例例5 5 設向量設向量 的方向角的方向角,42aa為銳角，為銳角，且且求求 向量的坐標表示式向量的坐標表示式a|2a | cos2 cos2 ,4| cos2 cos0,22| cos22 ,2xyzaaaaaaa 解解 因為因為222coscoscos142于是有于是