1、推廣推廣第四章第四章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意：注意：善于類比善于類比, , 區(qū)別異同區(qū)別異同一元函數(shù)、極限與連續(xù)一元函數(shù)、極限與連續(xù) 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值 4.1.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 4.1 4.1 多元函數(shù)、極限與連續(xù)多元函數(shù)、極限與連續(xù) 八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0. 八個(gè)卦限八個(gè)卦限zyx0mxynz(x,y,z)m (x,y,z)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)0zyx0mxynz(x,y,z)(x,y,z)坐標(biāo)和點(diǎn)坐

2、標(biāo)和點(diǎn) m1)1)位于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：位于坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：a.若若m(x,y,z)為為z軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，b.若若m(x,y,z)為為x軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，c.若若m(x,y,z)為為y軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)，則則z=0則則y=0則則x=02)2)位于坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：位于坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)：a.若若m(x,y,z)為為xoy軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，b.若若m(x,y,z)為為xoz軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，c.若若m(x,y,z)為為yoz軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)，一些特殊點(diǎn)的表示一些特殊點(diǎn)的表示則則x=0,y=0則則y=0,z=0則則x=0,z=00zyx0nm點(diǎn)到坐標(biāo)面的距離點(diǎn)到

3、坐標(biāo)面的距離m點(diǎn)到原點(diǎn)的距離點(diǎn)到原點(diǎn)的距離m點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離pq到到z軸軸:221yxd 到到x軸軸:到到y(tǒng)軸軸:222yzd 223zxd m(x,y,z)d1d2d3.0zyx.p2.p1二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)設(shè)p1(x1,y1,z1)和和p2(x2,y2,z2)為空間任意兩點(diǎn)，則其距離為為空間任意兩點(diǎn)，則其距離為 例例1 1 求證：以求證：以p1(- -1,4,8)、p2(- -2,7,3)和和p3(2,3,13)三點(diǎn)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)樗裕巳切问堑妊切巍Ｋ裕巳切问堑妊切巍?/p>

4、121 3pppp21221221221)()()(zzyyxxpp35)83()47() 12(22221pp35)813()43() 12(22231pp由于由于例例2 2 一動(dòng)點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)p(x,y,z)到原點(diǎn)到原點(diǎn)o(0,0,0)的距離為定值的距離為定值1 1，求，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?, 1= |po所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得 1)0()0()0(222222 zyxzyx化簡(jiǎn)，得所求軌跡方程為化簡(jiǎn)，得所求軌跡方程為 1=+222zyx則方程則方程(4-2)(4-2)就叫做曲面就叫做曲面s的方程，而曲面的方程，而曲面s就叫就叫做

5、方程做方程(4-2)(4-2)的圖形。的圖形。三、空間曲面與曲線三、空間曲面與曲線若曲面若曲面s與三元方程與三元方程 f(x,y,z)=0 (4-2)(4-2)有下述關(guān)系：有下述關(guān)系：(1)曲面曲面s上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(4-2)(4-2)；(2)不在曲面不在曲面s上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(4-2)(4-2)。1.1.平面方程平面方程一般式方程：一般式方程：點(diǎn)法式方程：點(diǎn)法式方程：其中其中a,b,c是平面法向量是平面法向量ax+by+cz+d=0，截距式方程：截距式方程：2220abc000()()()0a xxb yyc zz1xyzabc

6、平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：0=+czbyax(1)通過原點(diǎn)通過原點(diǎn), ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為即即d=0(2)平行于坐標(biāo)軸平行于坐標(biāo)軸 平行于平行于x軸軸：平行于平行于y軸：軸：平行于平行于z軸：軸：0=+dczby, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為a=00=+dczax, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為b=00=+dbyax, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為c=0(4)垂直于坐標(biāo)軸垂直于坐標(biāo)軸 垂直于垂直于x軸軸：垂直于垂直于y軸：軸：垂直于垂直于z軸：軸：0=+ dax, ,平面方程的一般形式為平面方程的一

7、般形式為b=0且且c=00=+ dby, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為a=0且且c=00=+ dcz, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為a=0且且b=0(3)通過坐標(biāo)軸通過坐標(biāo)軸 通過通過x軸軸：通過通過y軸：軸：通過通過z軸：軸：0=+czby, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為a=0且且d=00=+czax, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為b=0且且d=00=+ byax, ,平面方程的一般形式為平面方程的一般形式為c=0且且d=0例例3 3 求過求過x軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)p(2,- -2,3)的平面方程。的平面方程。 解：解：因?yàn)槠矫孢^因?yàn)槠矫孢^x軸

8、，所以設(shè)平面的方程為軸，所以設(shè)平面的方程為 0=+czby將點(diǎn)將點(diǎn)p(2,- -2,3)代入上式，得代入上式，得 0=3+2cb解得解得 cb23=cb23=將將代入方程代入方程by+cz=0中，得中，得0=+23czcy因?yàn)橐驗(yàn)閏0， 故所求平面方程為故所求平面方程為 0=+23zy0=2+3zy即即例例4 4 設(shè)平面過點(diǎn)設(shè)平面過點(diǎn)p(a,0,0),q(0,b,0),r(0,0,c) ( (其中其中abc0) )，求該，求該平面的方程。平面的方程。解：解：設(shè)平面的方程為設(shè)平面的方程為 0 dczbyax將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 cdcbdbadadccdbbdaa ,000將將 cd

9、cbdbada , ,代入所設(shè)方程代入所設(shè)方程, ,得得 0 dzcdybdxaddzyxd=)c+b+a(即即由題設(shè)由題設(shè)abc0可知可知， 平面不經(jīng)過原點(diǎn)，平面不經(jīng)過原點(diǎn)， 所以所以 d0于是所求平面的方程為于是所求平面的方程為 1=+c cb ba azyx2.2.二次曲面方程二次曲面方程把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。為了了解三元方程了解三元方程f(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀，通常采用所表示的曲面的形狀，通常采用平行截口法平行截口法。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線。即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，考察其交線（即

10、平行截口法）的形狀，然后加以相截，考察其交線（即平行截口法）的形狀，然后加以綜合，從而了解綜合，從而了解曲面的全貌曲面的全貌。試用平行截口法考察下面的二次曲面。試用平行截口法考察下面的二次曲面。xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx22222 xzy0平行截口法平行截口法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 1. 橢圓拋物面橢圓拋物面.zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zq

11、ypx 2222平行截口法平行截口法 （馬鞍面）（馬鞍面）2.2.雙曲拋物面雙曲拋物面 平行截口法平行截口法2. 2. 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222平行截口法平行截口法2.2.雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 222212222 byaxabzxyo3.3.橢圓柱面橢圓柱面zxy = 0y12222 bzaxo4.4.雙曲柱面雙曲柱面pxy22 zxyo5.5.拋物柱面拋

12、物柱面曲線曲線 c 00),(xzyfcy zo繞繞 z軸軸6.6.旋轉(zhuǎn)面的方程旋轉(zhuǎn)面的方程曲線曲線 c 00),(xzyfxcy zo繞繞 z軸軸6.6.旋轉(zhuǎn)面的方程旋轉(zhuǎn)面的方程曲線曲線 c00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 scsmn), 0(11zy zz 1zpmpy |11y1zy zo繞繞 z軸軸22yx f (y1, z1)=0m(x,y,z)6.6.旋轉(zhuǎn)面的方程旋轉(zhuǎn)面的方程x s曲線曲線 c 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 sxcsmn), 0(11zyzz 1zpmpy |11y1z0),( 22 zyxfs：.繞繞 z軸軸.22y

13、x f (y1, z1)=0m(x,y,z)6.6.旋轉(zhuǎn)面的方程旋轉(zhuǎn)面的方程y zo sx zbyax 雙曲線雙曲線0y7.7.繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周7.7.x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線7.7.繞繞 x 軸一周軸一周axyo8.8.上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 8.8.a.xyoz 得得單單葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 byazx8.8.上題雙曲線

14、上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面x yoz 0 0 2222 =z=byax兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax9.9.旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面yoz 02 xazy10.10.拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周10.10.旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面

15、yayxz22 .oxz生活中見過這個(gè)曲面嗎？生活中見過這個(gè)曲面嗎？.10.10. 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面13. 例例四、空間曲線一般方程四、空間曲線一般方程空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線。空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線。設(shè)設(shè)f(x,y,z)=0和和g(x,y,z)=0是兩個(gè)曲面的方程，它們是兩個(gè)曲面的方程，它們的交線為的交線為c。因?yàn)榍€。因?yàn)榍€c上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組這兩個(gè)曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組這個(gè)方程叫做空間曲線這個(gè)方程叫做空間曲線c的一般方程。的一般方程。0),(0),

16、(zyxgzyxf其交線都是其交線都是xoy平面上的圓周平面上的圓周222ryx由此可看出表示由此可看出表示空間曲線空間曲線的方程組不是唯一的。的方程組不是唯一的。例例5 5 考慮方程組考慮方程組與與的交線。的交線。02222zrzyx2222222ryxrzyx二、二、多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念一、一、 區(qū)域區(qū)域三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性4.1.2 4.1.2 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念 以一點(diǎn)以一點(diǎn)p0(x0,y0)為圓心，長(zhǎng)度為半徑為圓心，長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域的圓形區(qū)域( (不包括圓周，記做不包括圓周，記做u(x0,y0),）或?yàn)椋┗驗(yàn)閡

17、(p0,)一、區(qū)域一、區(qū)域 ( (圓鄰域圓鄰域) )( (球鄰域球鄰域) ) ),(),(0zyxpu)()()(202020zzyyxx例如例如, ,在平面上在平面上, ,在空間中在空間中, , ),(),(0yxpu)()(2020yyxx1 1、鄰域、鄰域在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)?),() ,u(0yxp。0p因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含。鄰域可以互相包含。,0 xx0 yy2. 區(qū)域區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 e 及一點(diǎn)及一點(diǎn) p : 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn)p的某鄰域

18、的某鄰域u(p) e, 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn)p的某鄰域的某鄰域u(p)e=, 若對(duì)點(diǎn)若對(duì)點(diǎn)p的任一鄰域的任一鄰域u(p)既含既含e中的內(nèi)點(diǎn)也含中的內(nèi)點(diǎn)也含e的外點(diǎn)的外點(diǎn), ,e則稱則稱 p 為為 e 的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱p為為e的的外點(diǎn)外點(diǎn);則稱則稱p為為e的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)。顯然顯然, e 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 e , e 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 e , e 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 e, 也可能不屬于也可能不屬于 e。(2)聚點(diǎn)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的若對(duì)任意給定的 , , 點(diǎn)點(diǎn)p 的去心鄰域的去心鄰域) ,(pue內(nèi)總有內(nèi)總有e中的點(diǎn)中的點(diǎn), , 則則稱稱p是是e的的聚點(diǎn)聚點(diǎn)。聚

19、點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于e , 也可以不屬于也可以不屬于e ( (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 e 的的導(dǎo)集導(dǎo)集 . .e的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) ) )d(3)開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集若點(diǎn)集e的點(diǎn)都是的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)，則稱，則稱e為為開集開集； 若點(diǎn)集若點(diǎn)集e e , , 則稱則稱e為為閉集閉集； 若集若集d中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于d的折線相連的折線相連, , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域。則稱則稱d是是連通的連通的; ; 連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱區(qū)域區(qū)

20、域；。 。 e的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為e的的邊界邊界，記作，記作 e ;例如，例如，在平面上在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開域是最大的開域, , 也是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域。但非區(qū)域。11oxy 對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域d，若存在正數(shù)若存在正數(shù)k , 使一切點(diǎn)使一切點(diǎn)p d與某定點(diǎn)與某定點(diǎn) a的距離的距離 apk, 則稱則稱d為為有界域有界域, 否則稱為否則稱為無界域。無界域。3. n維空間維空間n

21、元有序數(shù)組元有序數(shù)組(x1,x2,xn)的全體稱為的全體稱為n維空間維空間, ,記作記作rn，即即n維空間中的每一個(gè)元素維空間中的每一個(gè)元素(x1,x2,xn)，稱為空間中的，稱為空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)一個(gè)點(diǎn)，數(shù)xk稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo)。個(gè)坐標(biāo)。rrrrnnkxxxxkn,2, 1,r),(21當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)xk=0時(shí)，時(shí)， 稱該元素為稱該元素為rn中的零元，記作中的零元，記作0。 2222211)()()(),(nnyxyxyxyxrn中點(diǎn)a的的 鄰域鄰域?yàn)闉?,(,r),(axxxaun,),(yxyx或規(guī)定為規(guī)定為 22221nxxxxrn中的點(diǎn)中的點(diǎn)x=(x1,x2,xn

22、)與點(diǎn)與點(diǎn)y=(y1,y2,yn)的距離記作的距離記作rn中的點(diǎn)中的點(diǎn)x=(x1,x2,xn)與零元與零元0的距離為的距離為當(dāng)當(dāng)n=1,2,3時(shí)，時(shí)，|x|通常記作通常記作|x|。rn中的變?cè)械淖冊(cè)獂與定元與定元a滿足滿足|x- -a|0，記作，記作 xa。引例：引例： 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式三角形面積的海倫公式,2hrv,(為常數(shù)）rvtrp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(ttvtvcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappshr二、多元函數(shù)概念二、多元函數(shù)概念 定義定義1 1.

23、 . 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,rnd dppfu, )(或點(diǎn)集點(diǎn)集d 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域； 數(shù)集數(shù)集dp,pfuu)(，稱為函數(shù)的，稱為函數(shù)的值域值域。特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)n=2時(shí)，有二元函數(shù)時(shí)，有二元函數(shù)2r),(),(dyxyxfz當(dāng)當(dāng)n=3時(shí)，有三元函數(shù)時(shí)，有三元函數(shù)3),(),(=r rdzyxzyxfu映射映射r:df稱為定義稱為定義在在 d 上的上的n元函數(shù)，元函數(shù)，記作記作),(21nxxxfu定義定義2 2 設(shè)有三個(gè)變量設(shè)有三個(gè)變量x,y,z，若變量，若變量x,y在允許的區(qū)在允許的區(qū)域內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量域內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按著一定的規(guī)律總按著一定的規(guī)律

24、總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則變量有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則變量z稱為稱為x,y的二元的二元函數(shù)，記作函數(shù)，記作z=f(x,y)其中其中x,y稱為自變量，稱為自變量，z 稱為因變量。稱為因變量。xzy例如例如，二元函數(shù)，二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyx圓域圓域說明說明: : 二元函數(shù)二元函數(shù)z = f (x, y), (x, y) d圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面。圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面。, )sin(=yxz的圖形一般為的圖形一般為空間曲面空間曲面 。12r),(yx三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為圖形為

25、r4空間中的超曲面。空間中的超曲面。單位閉球單位閉球xyzo又如又如)arcsin()2(22yxz 1)1(221 yxz例例6 6 求下列函數(shù)定義域求下列函數(shù)定義域,| ),( yxyxd解：解：(1)函數(shù)函數(shù)z的定義域是整個(gè)的定義域是整個(gè)xoy平面，是無界開區(qū)平面，是無界開區(qū)域，即域，即10| ),(22 yxyxd(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域是整的定義域是整xoy個(gè)個(gè)平面上，中心在原點(diǎn)，半徑平面上，中心在原點(diǎn)，半徑為為1的圓周及其圓內(nèi)部各點(diǎn)的全體，它是有界閉區(qū)域，即的圓周及其圓內(nèi)部各點(diǎn)的全體，它是有界閉區(qū)域，即 xyz1ln1)1( 222242511)2(yxyxz 例例7 7 求下列函

26、數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域10, 0| ),(xyxyxd且解：解：(1)函數(shù)函數(shù)z的定義域是無界區(qū)域，即的定義域是無界區(qū)域，即 0425, 1| ),(2222 yxyxyxd(2)函數(shù)函數(shù)z的定義域是的定義域是 即橢圓即橢圓 x2+4y2=25 內(nèi)與圓內(nèi)與圓 x2+y2=1 外的公共外的公共部分，部分，它是不包括圓周和橢圓上的點(diǎn)的開區(qū)域。它是不包括圓周和橢圓上的點(diǎn)的開區(qū)域。4.1.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 ayxfyyxx),(lim00ayxf),(lim020200)()(yyxxpp定義定義2 2 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0,y0)的

27、某一鄰域內(nèi)有的某一鄰域內(nèi)有定義定義( (在在p0處可以無定義處可以無定義) )，若，若p(x,y)沿沿任何路徑無限任何路徑無限趨趨于定點(diǎn)于定點(diǎn)p0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個(gè)常數(shù)無限趨于一個(gè)常數(shù)a，則，則稱稱a是函數(shù)當(dāng)是函數(shù)當(dāng)p(x,y)p0(x0,y0)時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作或或其中其中是指是指p與與p0間的距離間的距離。對(duì)于該定義，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：對(duì)于該定義，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 1 1、即使當(dāng)點(diǎn)、即使當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著許多沿著許多特殊的方式特殊的方式趨近于趨近于p0時(shí)，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都趨近于同一個(gè)常數(shù)，也不能判定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都趨近于同一個(gè)常數(shù)，也不能判定)

28、,(lim0yxf的存在。的存在。2 2、當(dāng)、當(dāng)p沿著兩條不同的曲線趨近于沿著兩條不同的曲線趨近于p0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x,y)趨近趨近于不同的值，可以斷定極限于不同的值，可以斷定極限 不存在。不存在。),(lim0yxf解：解：設(shè)設(shè) p(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同! !故故f(x,y)在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在。點(diǎn)極限不存在。22),(yxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)的極限。的極限。例例8 8 討論函數(shù)討論函數(shù)xyxyyx11lim00

29、例例9 9 求求xyxyyx11lim00 xyxyxyyx) 11(11lim00解：解：xyxyxyyx) 11(lim0011lim00 xyyx21例例1010 求極限求極限yxyyx)sin(lim02解：解：=)sin(lim02yxyyxxyxyxyx)sin(lim02xyxyxyxyx)sin(limlim02022=(2),(lim),(),(00yxfyxyx),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx(3)則稱函數(shù)則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0,y0)連續(xù)，否則稱函數(shù)連續(xù)，否則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0,y0)處間斷。處間斷。定義

30、定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)滿足條件滿足條件(1)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0,y0)及其鄰域內(nèi)有定義；及其鄰域內(nèi)有定義；存在；存在；解解：(1)由前面的由前面的例例5 5討論可知，函數(shù)討論可知，函數(shù)z1當(dāng)當(dāng)p(x,y)沿直沿直線線y=kx趨于點(diǎn)趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)極限不存在，故時(shí)極限不存在，故z1的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是xoy平面上的孤立點(diǎn)平面上的孤立點(diǎn)(0,0)。 (2)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)z2的定義域是的定義域是1+22yx122 yx故函數(shù)故函數(shù)z的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn)是221yxxyz11222yxz例例1111 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)(2)(1)4.2 4.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)

31、數(shù)與全微分 定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)義，當(dāng)y固定在固定在y0而而x在在x0處有增量處有增量x 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量有增量f(x0+x,y0)- -f(x0,y0)，稱其為函數(shù)在點(diǎn)稱其為函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處處對(duì)對(duì)x的的偏增量偏增量。4.2.1 4.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏導(dǎo)數(shù)，記為的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxf存在，存在，則稱此則稱此極限極限

32、為函數(shù)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)對(duì)對(duì)x極限極限)(0 xf)()(00 xfxxfx0limx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxyxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意：注意：;),(00yxxz0),(dd0yyyxfy同樣可定義對(duì)同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù)若函數(shù)z = f (x , y)在域在域d內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)處對(duì)x或或y),(,yxfzxfxzxx則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù)則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), , 也簡(jiǎn)稱為也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,)

33、,(0 xf),(0 xfy記為記為yy00y偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在，),(,yxfzyfyzyy),(zyxfx例如，例如，三元函數(shù)三元函數(shù)u = f (x, y,z)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)處對(duì)x的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上推廣到二元以上的函數(shù)。的函數(shù)。 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)定義為( (請(qǐng)自己寫出請(qǐng)自己寫出) )例例1 1 求求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)。處的偏導(dǎo)數(shù)。解法解法1:1:xz) 1 , 1 (xz解法解法2:2:) 1, 1(xz) 1, 1(yz,3

34、2yx yzyx23 , 51312) 1 , 1 (yz51213132xx1)32(xx51xz231yy 1)23(yy51yz例例2 2 0002),(2222yxyxyxxyyxf當(dāng)當(dāng)設(shè)解解: :xxxx00)(02lim20 xfxfx) 0 , 0 () 0 ,0 (lim0),( 00 xf=0求求),(),(0000yxffyyyy0)(002lim20yfyfy) 0 , 0 ()0 , 0 (lim0),( 00yf=0yzxz ,例例3 3 設(shè)設(shè) z=xy ，求求 。 解：解：把看作把看作y常數(shù)，則常數(shù)，則z=xy是關(guān)于是關(guān)于x的冪函數(shù)，的冪函數(shù)，由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，得

35、由冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，得 1 yyxxz把看作把看作x常數(shù)，則常數(shù)，則z=xy是關(guān)于是關(guān)于y的指數(shù)函數(shù)，的指數(shù)函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，得由指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，得 xxyzyln 例例4 4 求求222zyxr解解: :xr2222zyxx2rx,ryyrrzzr的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfz00),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線是曲線0),(xxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) m0 處的切線處的切線m0tx對(duì)對(duì) x 軸的斜率。軸的斜率。在點(diǎn)在點(diǎn)m0 處的切線處的切線m0tx對(duì)對(duì)y軸的斜率。軸

36、的斜率。是曲線是曲線yxz0 xytoxt0y0m注意：注意：函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在, ,但在該點(diǎn)不一定連續(xù)但在該點(diǎn)不一定連續(xù). .顯然顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0000 xxfxfx),(dd),(0000yyfyfy),(dd),(00在上節(jié)已證在上節(jié)已證f (x , y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)！并不連續(xù)！4.2.2 4.2.2 全微分全微分設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x,y) 的某一鄰域內(nèi)有的某一鄰域內(nèi)有定義，給定義，給x以增量以增量x，同時(shí)給，同時(shí)給 y 以增量以增量y時(shí)，時(shí)，則則z=f(x+

37、x,y+y)- -f(x,y)，稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處對(duì)處對(duì)x的的全增量。全增量。4.2.2.1 4.2.2.1 定義定義 一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義 若函數(shù)若函數(shù)z = f (x, y)在定義域在定義域d的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)(x , y), )(oybxaz其中其中a , b不依賴于不依賴于 x , y，僅與，僅與x, y有關(guān)，有關(guān)，則稱函數(shù)則稱函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)的的全微分全微分，記作，記作bdydxafz+=d=d若函數(shù)在域若函數(shù)在域d內(nèi)各點(diǎn)都可微，內(nèi)各點(diǎn)都可微，則稱此函數(shù)在則稱此函數(shù)在d內(nèi)內(nèi)可微。可微。22)()(yxf (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,

38、y)可微可微，ax+by稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x,y)處全增量處全增量 z=f(x+x,y+y)- -f(x,y) 可表示成可表示成考慮考慮z=ax+by+o()，它對(duì)一切，它對(duì)一切x,y都是成立都是成立的。顯然對(duì)的。顯然對(duì)y=0也成立，于是也成立，于是)(+=oxaz即即xoaxz)(+=)()(limlim00 xaxoaxzxx其中因此因此axz 同理同理byz定理定理1 1( (可微的必要條件可微的必要條件) ) 若函數(shù)若函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)可微，則它在點(diǎn)可微，則它在點(diǎn)(x.y)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 必存在，必存在，且且yzxz ,yzbxza,dyyzd

39、xxzdz 二元函數(shù)的全微分可寫成二元函數(shù)的全微分可寫成推廣三元函數(shù)推廣三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分公式為的全微分公式為dzzudyyudxxudu(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：(1)函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定義：由微分定義：得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微函數(shù)可微 即即例例5 5. .計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù) z=x2y+

40、y2 的全微分。的全微分。解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閤z yz,2xyyx22定理定理2 2 ( (充分條件充分條件) )yzxz,若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)dyyxxydxdz)2+(+2=2在點(diǎn)在點(diǎn)p(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可微分。所以所以例例6 6. .計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)的全微分。的全微分。 zyeyxu2sin解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閡dxd1yyd) cos(221zeyzydzyezyzzyzyxyeuzeyuu=,+2cos21=, 1=例例7 7 求函數(shù)求函數(shù) z=exy 在點(diǎn)在點(diǎn) (2,1) 處的全微分。處的全微分。 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)閤yxyxexe

41、= =y yz z ,xyyexz2 21 1= =y y2 2= =x x2 21 1= =y y2 2= =x x2e2e= =| |y yz z, ,e e= =| |x xz z將點(diǎn)將點(diǎn)(2,1)代入上式，得代入上式，得所以所以 dyedxedz222 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 yyxfxyxfdzyx),(+),(=yyxfxyxfdzzyx),(+),(=yyxfxyxfzyx),(+),( yyxfxyxfyyxxfyx),(+),()+,+(例例8 8 計(jì)算計(jì)算(0.99)2.02的近似值。的近似值。解：解：設(shè)設(shè)f(x,y)=xy , ,取取 02. 0

42、, 2,01. 0, 1 yyxx則則 f(1,2)=198. 002. 00)01. 0(21)99. 0(02. 2 2|)2 , 1(211 yxyxyxf0|ln)2 , 1(211 yxyyxxf從而，得從而，得4.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域d內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是則稱它們是z = f (x, y) 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)。按求導(dǎo)順序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)

43、數(shù)：按求導(dǎo)順序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù). .例如，例如，z= f (x, y)關(guān)于關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x, y)關(guān)于關(guān)于x的的n 1階偏導(dǎo)數(shù)，再關(guān)于階偏導(dǎo)數(shù)，再關(guān)于 y 的一階的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為11nnxz例例9.9.求函數(shù)求函數(shù)yezxsin解：解：xz22xzyzxyz2yxz2 22 yz注意：注意：此處此處xyzyxz22但這一結(jié)論并不總成立。但這一結(jié)論并不總成立。yexsinye

44、xcosyexsinyexcosyexcosyexsin的二階偏導(dǎo)數(shù)。的二階偏導(dǎo)數(shù)。xyyxff定理定理2 2 若若fxy(x,y)和和fyx(x,y)都在區(qū)域都在區(qū)域d內(nèi)連續(xù)，則內(nèi)連續(xù)，則(證明略) 例例1010 證明函數(shù)證明函數(shù)22lnyxz02222yzxz證明：證明：xz22xz滿足方程滿足方程22yxx22222)(2)(yxxxyxyz22yxy22222)(yxxy22yz22222)(2)(yxyyyx22222)(yxyx所以所以02222yzxz例例1111 設(shè)設(shè)z=cos(2xy)，求，求 ， 23yxz 23xyz 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?)2sin(2xyyxz )2cos

45、(4)2sin(22xyxyxyyxz 而而z=cos(2xy)是初等函數(shù)，所以它的各階扁導(dǎo)數(shù)也是初等是初等函數(shù)，所以它的各階扁導(dǎo)數(shù)也是初等數(shù)，它們?cè)跀?shù)，它們?cè)趚oy面上是連續(xù)的，所以面上是連續(xù)的，所以 和和 與求與求導(dǎo)次序無關(guān)，則有導(dǎo)次序無關(guān)，則有 x xy yz z2 2y yx xz z2 2)2sin(8+)2cos(4)2cos(4=2xyyxxyxxyx2 23 3x xy yz z)2sin(8+)2cos(4)2cos(4=2xyxyxyyxyy2 23 3y yx xz z)2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyx)2sin(8+)2cos(8=2xyyxxyy例例12

46、12證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯0222222zuyuxu證明：證明：xu22xu利用對(duì)稱性，有利用對(duì)稱性，有,3152322ryryu222222zuyuxu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義；記號(hào)；幾何意義定義；記號(hào)；幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處

47、偏導(dǎo)數(shù)的方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí)與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則xuuyxydddddd多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t4.3 4.3 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 xvvz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3 3 若函數(shù)若函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn) (u,v) 處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合

48、函數(shù)則復(fù)合函數(shù)xzyzyuuzyvvzxuuzzvuyxyx),(),(=yxyxfz對(duì)對(duì)x及及y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)存在且有數(shù)存在且有在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處有處有),(),(yxvyxu推廣：推廣：設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微。設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微。1)1)中間變量是中間變量是一元函數(shù)一元函數(shù)的情形。的情形。例如，例如，)(, )(, ),(tvtuvufzdtdzdtduuzdtvdvzzvutt2)2)中間變量中間變量多于兩個(gè)的多于兩個(gè)的情形。情形。例如，例如，, ),(wvufz tzddzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(, )(, )(twtvtu又如又如, ,),(,

49、),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時(shí)當(dāng)它們都具有可微條件時(shí), , 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意：注意： 這里這里xzxfxz表示固定表示固定 y 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)，求導(dǎo)，xf表示固定表示固定 v 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)口訣：口訣： 分段用乘分段用乘, , 分叉用加分叉用加, , 單路全導(dǎo)單路全導(dǎo), , 叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同，不同，v解：解：xzxv 2ln xyxxyx22)ln(2yzxuuzxvvzyvuyuuzyvvzzvuyxyxyv 2ln yyxxyy22)ln(2xvu例例1 1 設(shè)設(shè)z=ulnv，u=x2+y2，v=xy，求求.,yzxz

50、例例2 2 設(shè)設(shè) .ddtzztyxtttzdd)1(4)23(sec222txyxt txxzddtyyzddtz求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù),1),23tan(2txyxtz, ty 解解: :)21()23(sec22tyxt )23(sec322yxt)23(sec)2143(223yxttt例例3.3.設(shè)設(shè),)1 (yxyzyzxz,求解解: :xz 12)1 (yxyyxuuz,1xyuyv vuz xvvz)1ln(1)1 (xyxyxyxyyyuuzyvvzyz zvuyyx例例4 4 設(shè)設(shè) ，求，求 ),(xyyxxyfz yzxz ,解：解： xyyxfxxyxyyxyfxyyxxyf

51、xzxz,)(,1,221xyxyyxfyxyyxfxyxyyxyf xyyxfxyxyyxxfxyyxyf,221 xyyxfxxyxyyxxfxyyxxyfyzyz,)1(,)(,221xxyyxfyxxyyxfxyxyyxxf xyyxyfxyyxfyxxyyxxf,212二、隱含數(shù)的微分法二、隱含數(shù)的微分法1 1、一個(gè)方程的情形、一個(gè)方程的情形1)1)設(shè)方程設(shè)方程f(x,y)=0確定函數(shù)確定函數(shù)y=y(x)，求求 dxdyxf 0 定理定理4.54.5yxffdxdy 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得dxdyfy ),(yxfu xy例例5 5設(shè)設(shè)x2+y2=1，求，求dxdy

52、及及22dxyd解解：法：法1 1122yxyxf),(dxdyyxff yx22 22dxyd dxdydxd2yyxy 31y yxdxd2yyxxy 322yxy 法法2 2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo)022 yyxyxy yx 2 2）設(shè)方程設(shè)方程f(x,y,z)=0確定二元隱函數(shù)確定二元隱函數(shù)z=z(x,y)求求yzxz , ),(zyxfu xf zxffxz yzfz zyffyz xyz方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xzfz 0方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得yf 0定理定理4.64.6例例6 6 設(shè)設(shè)x2+y2+z2- -4z=0，求求22xz,y

53、z,xz 解：解：法法1 1zzyxzyxf4222),(xfx2 ,yf,y 2 42 zfzxz zxff zx 2.zy 222xz xzx2)2()()2(zxzxz32222)z(x)z( yz, zyff zxx 23224)z(y 法法2 2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo)0422 xxzz zx兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求導(dǎo)求導(dǎo)0422 yyzz zy例例7 7設(shè)設(shè)0 xyzez，求，求yxz2解：解：),(zyxfxyzezxz zxff xyeyzz xyeyzzyxz 2)(xzy )(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz3222)()(xyeyxxyz

54、eezzzzyz zyff xyexzz 設(shè)設(shè) 00)v ,u, y,x(g)v ,u, y,x(f求求yv,xv,yu,xu 確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù): :),(yxuu ),(,yxvv 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), ,得得即即 xvuxvugxvgxugfxvfxufxf xufu xvfv 0 xg xugu xvgv 0 二二. .方程組的情形方程組的情形解方程組即得解方程組即得例例8 設(shè)設(shè) 10 xvyuyvxu求求yv,xv,yu,xu 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得xuxu 即即 vxvxxuyuxvyxux xu,yxyvxu22 xv22yxxvyu

55、解解 xvy 0 xuy xvxv 0 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)y 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得 10 xvyuyvxu 00yvxyuyuyvyvyux即即 uyvxyuyvyvyyux yu,yxyuxv22 yv22yxyvxu 例例9 910222zyxzyx, , 求求.,dzdydzdx設(shè)設(shè)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)z 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得解：解：01 dzdydzdx0222zdzdyydzdxx 1dzdydzdxzdzdyydzdxx即即dzdydzdx;xyyz.xyzx一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)一元函數(shù) 二元函數(shù)二元函數(shù) 定義域定義域 數(shù)軸上的區(qū)間數(shù)軸上的區(qū)間 平面

56、中的區(qū)域平面中的區(qū)域 圖像圖像 平面中的曲線平面中的曲線 空間中的曲面空間中的曲面 極限極限 單極限單極限 二重極限二重極限 微分學(xué)微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 積分學(xué)積分學(xué) 定積分定積分 二重積分二重積分 一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值4.4 4.4 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值xyz一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 定義定義 若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值( (極小值極小值) )。極大值和極小值極大值和

57、極小值例如：例如：在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極小值有極小值; ;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有極大值有極大值; ;在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 無極值無極值. .統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)。),(),(00yxfyxf或2232yxz22+=yxzyxz xyzxyz說明：說明：使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。 定理定理5 5( (必要條件必要條件) )證明證明: :據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立. .0),(,0),(0000yxfyxfyx 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。但駐點(diǎn)不一定是

58、極值點(diǎn)。例如：例如：z=xy有駐點(diǎn)有駐點(diǎn)(0, 0)，但在該點(diǎn)不取極值。但在該點(diǎn)不取極值。 且在該點(diǎn)取得極值，則有且在該點(diǎn)取得極值，則有若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)存在偏導(dǎo)數(shù)，存在偏導(dǎo)數(shù)，因函數(shù)因函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，故取得極值，故函數(shù)函數(shù)z=f(x,y0)在在x=x0取得極值取得極值函數(shù)函數(shù)z=f(x0,y)在在y=y0取得極值取得極值時(shí)時(shí), , 具有極值具有極值定理定理6 6 ( (充分條件充分條件) )內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且令令則則: :1)當(dāng)當(dāng)a0 時(shí)取極小值時(shí)取極小值.2)2)當(dāng)當(dāng)3)3)當(dāng)當(dāng)時(shí)

59、時(shí), , 沒有極值。沒有極值。時(shí)時(shí), , 不能確定不能確定 , , 需另行討論需另行討論. .若函數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域的某鄰域0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac利用利用定理定理6 6的的1)、2)，把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法敘述如下：的極值的求法敘述如下：第一步：解方程組第一步：解方程組 0),(, 0),( yxfyxfyx求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐

60、點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值值a、b和和c。第三步：定出第三步：定出ac- -b2的符號(hào)，按的符號(hào)，按定理定理2 2的結(jié)論判定的結(jié)論判定f(x0,y0)是否是極值、是極大值還是極小值。是否是極值、是極大值還是極小值。例例1.1.求函數(shù)求函數(shù) f(x,y)=x3- -y3+3x2+3y2- -9x 的極值。的極值。解：解：第一步：求駐點(diǎn)第一步：求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)： (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步：判別第二步：判別. .在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組解方程組abc),